湖南天壹名校联盟2024届高三下学期5月适应性考试数学试题含答案.pdf

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1、湖南天壹名校联盟2024届高三下学期5月适应性考试数学试题【高三数学试题参考答案第页(共页)】届高三月适应性考试数学参考答案、提示及评分细则【答案】C【解析】设扇形的半径为r,弧长为l,由扇形的面积S rr,解得r或r(舍去),所以l r,故选C【答案】A【解析】由题意可得z i i(i)(i)(i)i,故z i,故zz,故选A【答案】B【解析】解不等式|x|得x,则A(,),y s i n x,则B,所以AB,)故选B【答案】C【解析】由aaaa,aaaa 可得a,a,故公差d,故aad ,故选C【答案】D【解析】若ac,bc,则a,b可以是平行,也可以是相交或异面,故A错误;若ab,a,则

2、b或b,故B错误;若a,b,ca,cb,当a与b相交时,c,故C错误;若,a,在a上取一点P,作P Q,由面面垂直的性质定理可得P Q且P Q,即a与P Q重合,可得a,故D正确,故选D【答案】D【解析】记A,B分别表示“甲被选中”和“乙被选中”,故P(A)从 名体验者中选出名时,如果甲和乙被选中,则剩余个被选中的人可从甲和乙之外的名体验者中任意选择名,故选取方式有C种,从而P(A B)CC 故P(B|A)P(A B)P(A),故选D【答案】A【解析】依题意可得PMP N,|O P|c,所以|O M|O N|c,所以NMA B|NM|A B|c o sNM,A Bcac o s MO Ba c

3、,所以c o s MO B,所以MO B ,|OM|c o s MO Bc,|OM|s i nMO Bc,则M的坐标为(c,c),所以cacb,即cacac,可得eee,化简得ee,解得e,即e 故选A【答案】D【解析】由题意,设距离注水开始经历时长为t,则此时漏斗中水的体积V(t)k t(k)设圆锥底面半径为R,水面高度处截面圆的半径为r,则由三角形相似知识可知rhHR又因为V(t)rh,所以整理可得h#QQABQYaAggCIQJAAABgCUQHQCgIQkAAAACoOBBAMIAAASRNABCA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】k HRt,记常数k HRa,则h(t)a t,

4、由导数的定义可知,注水开始后t时长时,水面高度的瞬时增长率为h(t)at,因此h(t),h(t),其中V(t)rh(hHR)hRHh,同理有V(t)RHh又V(t)V(t)k tk ttt,所以tt(hh)(HH)于是h(t)h(t)(tt)(),故选D【答案】A B C【解析】由题可知C的虚轴长为,故实轴长为,则a,解得a,故双曲线的方程为yx,则cab,即c,故C的焦点坐标为(,),故A正确;注意到C的焦点在y轴上,故渐近线方程为yabxx,故B正确;由题意可知l的斜率存在,且C与l有交点时,l的斜率的绝对值大于C的渐近线斜率的绝对值,同理当l的斜率的绝对值大于C的渐近线斜率的绝对值时,C

5、与l有交点,故C正确;当l的斜率的绝对值等于C的渐近线的斜率的绝对值时,C与l无交点,故必要性不成立,D错误故选A B C【答案】A B【解析】A:易得T(),又T,所以;由f(),即s i n(),且,所以,故A正确;B:由A的分析知f(x)s i n(x),因为f(x)s i n(x)c o s x为偶函数,故B正确;C:由x(,),得x(,),故f(x)在(,)上单调递增,故C错误;D:因为f(),f(),f(),f(),故D错误故选A B【答案】A B D【解析】由于anan,且an 的首项为,故易有an,则两边同时取对数有l gan l gan,故l gan 是以l g 为首项,为公

6、比的等比数列,A正确;继续取对数有l g(l gan)l g(l gan)l g l g(l gan),故l g(l gan)是以l g(l g)l g 为首项,为公差的等差数列,B正确;由l gan 是以l g 为首项,为公比的等比数列有l ganl g n,则annanann(n)(n)n(n)(n)(n)nn,故Snnnn,且Sn关于n单调递增,故Sna,Snn,C错误,D正确,故选A B D【答案】,(写出一个得分,两个都正确得分,顺序错误不得分)【解析】易得样本数据,的中位数为 ,由于 ,故上四分位数为,故答案为:,【答案】【解析】由题意得,该正态分布曲线关于X 对称,故P(X ),

7、则P(X )P(X )P(X ),由题意得YB(,),故E(Y),故答案为#QQABQYaAggCIQJAAABgCUQHQCgIQkAAAACoOBBAMIAAASRNABCA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】【答案】【解析】设A(x,l nx),由f(x)l nx,f(x)x得kA Bf(x),所以kA Bx不妨设B(x,y),则|A B|(xx)(y l nx)y l nxxxx,由得(y l nx)x(xx)所以|xx|x,解得B(xx,l nxxx),由bxy得bxl nx(x)x,x(,)令函数g(x)xl nx(x)x,则g(x)x(x)(x)(x)x(x),故x(,)时g

8、(x),x(,)时g(x),所以g(x)在区间(,)单调递减,在(,)单调递增,所以g(x)g(),所以b,即b,故答案为 【解析】()因为bcac o sC,由正弦定理得s i nBs i nC s i nAc o sC分又因为s i nB s i n(AC)s i nAc o sC c o sAs i nC,所以c o sAs i nCs i nC分因为s i nC,所以c o sA又A(,),所以A 分()由B DD C,C Db,所以B D,B C分在A B C中,由余弦定理得abcb cc o sA,即cc(),分解得c (负根已舍去)分【评分细则】第一问如果不说明A的范围直接得出A

9、的值扣分,第二问列出余弦定理即可得分,最终答案正确为分【解析】()由题意可得a时,f(x)ex s i nx,f(),分f(x)ex c o sx,f(),分故曲线yf(x)在点(,f()处的切线方程为xy分()由a知当x,)时,yaex,y c o sx,分所以在,)上f(x)aex c o sx,f(x)在,)上单调递减,分当x(,)时,c o sx(,),令函数g(x)f(x),则g(x)aex s i nx,分所以f(x)在(,)上单调递减,因为f()a,f()ae,且f(x)连续不间断,由零点存在定理,此时f(x)在(,)内有唯一零点x,分所以当x(,x)时,f(x)单调递增,当x(

10、x,)时,f(x)单调递减,又因为f(x)f()a,所以在(,x)内无零点,分#QQABQYaAggCIQJAAABgCUQHQCgIQkAAAACoOBBAMIAAASRNABCA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】当x(x,)时,因为f(x),f()ae,且f(x)连续不间断,分所以由零点存在定理,f(x)在(x,)内有唯一零点,即f(x)在(,)内的零点个数为 分【评分细则】第一问最终求出的切线方程如果不是一般方程的形式只要斜率和切点横坐标计算正确也给满分,第二问分析出f(x)在,)上单调递减即给分,如果没有分析过程只要正确判断出零点个数即给分第二问如果考生采用参变分离等其他方法来做

11、,只要过程和结果正确都给满分【解析】()证明:设P BA BM,P CA CN在直三棱柱A B CABC的侧面矩形A ABB中,易知P AMB BM,则AMBMA PB B同理可得ANCNA PC C又因为B BC C,所以AMBMANCN,故AMA BANA C,因此AMNA BC,则MNBC分在直三棱柱A B CABC中,B B底面ABC,BC底面ABC,所以BCB B因为ABCA B C ,所以BCAB因为B B,AB平面A ABB,B BABB,所以BC平面A ABB因为P B平面A ABB,所以P BBC所以P BMN因为平面A BC平面P B C,平面A BC平面P B CMN,P

12、 B平面P B C,所以P B平面A BC因为A C平面A BC,所以P BA C分()由题意,B A,B C,B B两两垂直如图,以B为坐标原点,B A,B C,B B所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系不妨设B C,A Bk由()知P BA B,易证P A BA B B,则A BP AB BA B,故A BP AB BA AA AA A,即A A A B 分则A(k,),B(,k),C(,),所以A B(k,k),A C(k,)分设平面A BC的 一 个 法 向 量 为n(x,y,z),由nA BnA C得k x k zk xy,不 妨 取n(,k,)易知平面A B C的一

13、个法向量为n(,)分设平面A B C与 平 面A BC的 夹 角 为,则c o s|c o sn,n|nn|n|n|k,所 以s i n c o skk 分由题意知s i n,代入解得k,所以A BB Ck 分【评分细则】第一问证明,若用其他方法比如建系法证明出来也得满分,考生在作答时设的点可与解析不一致,酌情给分,第二问推理出来A A A B即可得分,最终答案正确为分【解析】()由题意,x ixi,y iyi,分#QQABQYaAggCIQJAAABgCUQHQCgIQkAAAACoOBBAMIAAASRNABCA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】故b ixiyi xy ixi x ,

14、aybx 分因此回归方程l为y x 分()设被删除的数据点为(x,y),由题意x x,设删除该数据点后,商贩称重重量和执法人员称重重量的平均值分别为x、y,分因此x ixi(ixix)(xx)x,y iyi(iyiy)()分对于回归方程l,b i(xix)(yiy)i(xix)i(xix)(yiy)(x x)(y y)i(xix)(x x)i(xix)(yiy)i(xix)ixiyi xy xy xy ixi xb,因此斜率相等得证 分故a y b x ,因此回归方程l为y x 分设点G(x,y)由|G A|G B|得|G A|G B|,代入得(x)【解析】()因为的准线过点A(,),所以p,

15、得p,则yx分y(x)y,化简得xyx,即(x)y,所以C:(x)y分()由()可知曲线C是以点C(,)为圆心,r为半径的圆(i)因为P S和P T与圆C相切,所以|P S|P T|设S P CT P C,分则P SP T|P S|P T|c o s|P S|(s i n)(|P C|r)(r|P C|)|P C|P C|设P(s,s),s,则|P C|(s)(s)ss(s)(),即|P C|(,)分所以P SP T|P C|P C|,当且仅当|P C|P C|,即|P C|(,)时,可以取等号所以P SP T的最小值为 分(i i)|PM|QN|(|P C|r)(|Q C|r)|P C|Q

16、C|(|P C|Q C|)由题意,可设l:xm y,mR 分由xm yyx,得ym y,判别式 m设P(x,y),Q(x,y),则yym,yy,所以|yy|(yy)yy m 分#QQABQYaAggCIQJAAABgCUQHQCgIQkAAAACoOBBAMIAAASRNABCA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】则|P C|Q C|(x)y(x)y m|y|m|y|(m)|yy|m,|P C|Q C|P Q|(xx)(yy)m|yy|(m)(m)分故|PM|QN|m(m)(m),记t m,),则|PM|QN|ttt(ttt)(ttt)tttttttt,因为t,),所以t(,即|PM|QN|的取值范围为(,分【评分细则】第一问中化简出圆的标准方程得分,如果考生最终答案不是标准方程扣分,第二问如果考生用其他方法来求最值和取值范围,例如:导数法,只要最终答案正确即可给满分#QQABQYaAggCIQJAAABgCUQHQCgIQkAAAACoOBBAMIAAASRNABCA=#