【数学】全概率公式 课件 2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

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1、7.1.27.1.2全概率公式全概率公式概率的乘法公式：A,B相互独立：古典概型：(2)求求P(AB)：复习回顾例题回顾例3.已银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.析：记事件Ai为“第i次按对密码”，事件A为“不超过2次就按对”，概率加法公式概率加法公式概率乘法公式概率乘法公式 我我们们首先把一个复首先把一个复杂杂事件表示事件表示为为一些一些简单简单事件运算的事件运算的结结果，然后利果，然后利用用概率的加法公式概率的加法公式和和乘

2、法公式乘法公式求其概率求其概率问题问题1.1.从有从有a a个红球和个红球和b b个蓝球的袋子中，每次随机摸出个蓝球的袋子中，每次随机摸出1 1个球，摸出的球不个球，摸出的球不再放回再放回.显然，第显然，第1 1次摸到红球的概率为次摸到红球的概率为 ，那么第那么第2 2次摸到红球的概率次摸到红球的概率是多大是多大?如何计算这个概率呢如何计算这个概率呢?因因为为抽抽签签具有公平性，所以第具有公平性，所以第2次摸到次摸到红红球的概率也球的概率也应该应该是是 .但是但是这这个个结结果并不果并不显显然，因然，因为为第第2次摸球的次摸球的结结果受第果受第1次摸球次摸球结结果的影响果的影响.下面下面我我们

3、给们给出出严严格的推格的推导导.用用Ri表示事件表示事件“第第i次摸到次摸到红红球球”，Bi表示事件表示事件“第第i次摸到次摸到蓝蓝球球”，i=1,2.如如图图示，那么事件示，那么事件R2可按第可按第1次可能的摸球次可能的摸球结结果果(红红球或球或蓝蓝球球)表示表示为为两个互斥事件的两个互斥事件的并，即并，即R2R1R2B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得利用概率的加法公式和乘法公式，得问题问题1.1.从有从有a a个红球和个红球和b b个蓝球的袋子中，每次随机摸出个蓝球的袋子中，每次随机摸出1 1个球，摸出的球不个球，摸出的球不再放回再放回.显然，第显然，第1 1次摸到红球的概率为次摸

4、到红球的概率为 ，那么第那么第2 2次摸到红球的概率次摸到红球的概率是多大是多大?如何计算这个概率呢如何计算这个概率呢?上述上述过过程采用的方法是程采用的方法是:按照按照某种某种标标准，将一个准，将一个复复杂杂事件事件表示表示为为两个互斥事件的并两个互斥事件的并，再由，再由概率概率的加法公式和乘法公式的加法公式和乘法公式求得求得这这个个复复杂杂事件的概率事件的概率.全概率公式全概率公式我们称上面的公式为我们称上面的公式为全概率公式全概率公式 全概率公式全概率公式全概率公式使用条件:A1,A2,An是一组两两互斥的事件；A1A2An=；P(Ai)0,且 .我们称上面的公式为我们称上面的公式为全概

5、率公式全概率公式 对公式的理解：某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,n)(Ai 互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2，,n)发生概率的总和。可以形象地可以形象地把全概率公式看成为把全概率公式看成为“由原因求结果由原因求结果”，每个原因对结果，每个原因对结果的发生有一定的的发生有一定的“作用作用”.”.即结果发生的可能性与各种原因的即结果发生的可能性与各种原因的“作用作用”大大小有关小有关 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因发生的概率是各原因Ai引起引起，BAi(i=1,2,n)发生概率的总和，

6、即全概率公式发生概率的总和，即全概率公式.全概率公式：全概率公式：例例4 某学校有某学校有 A，B两家餐厅，王同学第两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第如果第1天去天去A餐厅，那么第餐厅，那么第2天去天去A餐厅的概率为餐厅的概率为0.6；如果第；如果第1天去天去B餐厅，那么餐厅，那么第第2天去天去A餐厅的概率为餐厅的概率为0.8.计算王同学第计算王同学第2天去天去A餐厅用餐的概率餐厅用餐的概率.设设A1“第第1天去天去A餐餐厅厅”,B1“第第1天取天取B餐餐厅厅”,A2“第第2天去天去A餐餐厅厅”,则则 解：解：全概率公式求复杂事件概率的步骤

7、：全概率公式求复杂事件概率的步骤：1.设事件设事件：把事件把事件B(结果事件结果事件)看作某一过程的结果看作某一过程的结果,把把A1,A2,An 看作看作导致结果的若干个导致结果的若干个原因；原因；2.写概率写概率：由已知，写出：由已知，写出每一原因发生的概率每一原因发生的概率(即即P(Ai),且每一原因对结且每一原因对结果的影响程度果的影响程度(即即P(B|Ai)；3.代公式代公式：用全概率公式计算结果发生的概率用全概率公式计算结果发生的概率(即即P(B).P(A1)，P(A2)P(An)P(B|A1),P(B|A2).P(B|An)练习练习1.1.现有现有1212道四选一的单选题，学生张君

8、对其中道四选一的单选题，学生张君对其中9 9道题有思路，道题有思路，3 3道题道题完全没有思路完全没有思路.有思路的题做对的概率为有思路的题做对的概率为0.90.9，没有思路的题只好任意猜一个，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为答案，猜对答案的概率为0.25.0.25.张君从这张君从这1212道题中随机选择道题中随机选择1 1题，求他做对题，求他做对该题的概率该题的概率.解：解：设设A“选选到有思路的到有思路的题题”,B“选选到的到的题题做做对对”,则则由全概率公式由全概率公式,可得可得练习2.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个

9、白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.例例5.有有 3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为台加工的次品率为6%，第，第2，3台加工台加工的次品率均为的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零台车床加工的零件数分别占总数的件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第如果取到的零件是次品，

10、计算它是第i(i1，2，3)台车床加工的概率台车床加工的概率.设设B“任取一个零件任取一个零件为为次品次品”,Ai“零件零件为为第第i台台车车床加工床加工”(i1,2,3),则则 解：解：例例5.有有 3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为台加工的次品率为6%，第，第2，3台加工台加工的次品率均为的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零台车床加工的零件数分别占总数的件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取

11、到的零件是次品，计算它是第如果取到的零件是次品，计算它是第i(i1，2，3)台车床加工的概率台车床加工的概率.如果取到的零件是次品，如果取到的零件是次品，计计算它是第算它是第i(i1,2,3)台台车车床加工的概率，就是床加工的概率，就是计计算在算在B发发生的条件下，事件生的条件下，事件Ai发发生的概率，即生的概率，即 设设B“任取一个零件任取一个零件为为次品次品”,Ai“零件零件为为第第i台台车车床加工床加工”(i1,2,3),则则 解：解：问题问题2.2.例例5 5中中P P(A Ai i)，P P(A Ai i|B B)的实际意义是什么的实际意义是什么?P(Ai)是是试验试验之前就已知的概

12、率，它是第之前就已知的概率，它是第i台台车车床加工的零件所占的比床加工的零件所占的比例，称例，称为为先先验验概率概率.当已知抽到的零件是次品当已知抽到的零件是次品(B发发生生)，P(Ai|B)是是这这件次品来自第件次品来自第i台台车车床床加工的可能性大小，通常称加工的可能性大小，通常称为为后后验验概率概率.将例将例5中的中的问题问题(2)一般化，可以得到一般化，可以得到贝贝叶斯公式叶斯公式.（选选学内容，不作考学内容，不作考试试要求）要求）贝叶斯公式：贝叶斯公式：例例6.在数字通信中，信号是由数字在数字通信中，信号是由数字0和和1组成的序列组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的由于随机因素的干

13、扰，发送的信号信号0或或1有可能被错误地接收为有可能被错误地接收为1或或0.已知发送信号已知发送信号0时，接收为时，接收为0和和1的概率分别的概率分别为为0.9和和0.1；发送信号；发送信号1时，接收为时，接收为1和和0的概率分别为的概率分别为0.95和和0.05.假设发送信号假设发送信号0和和1是等可能的是等可能的.(1)分别求接收的信号为分别求接收的信号为0和和1的概率；的概率；(2)已知接收的信号为已知接收的信号为0，求发送的信号是，求发送的信号是1的概率的概率.解：解：解：解：例例6.在数字通信中，信号是由数字在数字通信中，信号是由数字0和和1组成的序列组成的序列.由于随机因素的干扰，

14、发送的由于随机因素的干扰，发送的信号信号0或或1有可能被错误地接收为有可能被错误地接收为1或或0.已知发送信号已知发送信号0时，接收为时，接收为0和和1的概率分别的概率分别为为0.9和和0.1；发送信号；发送信号1时，接收为时，接收为1和和0的概率分别为的概率分别为0.95和和0.05.假设发送信号假设发送信号0和和1是等可能的是等可能的.(1)分别求接收的信号为分别求接收的信号为0和和1的概率；的概率；(2)已知接收的信号为已知接收的信号为0，求发送的信号是，求发送的信号是1的概率的概率.练习练习3.两批同种规格的产品，第一批占两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为，次品率为5%；第

15、二批占；第二批占60%，次，次品率为品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取将两批产品混合，从混合产品中任取1件件.(1)求这件产品是合格品的概率；求这件产品是合格品的概率；(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.解：解：设设A“取到合格品取到合格品”,Bi“取到的取到的产产品来自第品来自第i批批”(i1,2),则则练习4.在A,B,C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一个人.(1)求这个人患流感的概率；(2)*如果此人患流感，求此人选自A

16、地区的概率课堂小结：课堂小结：1.全概率公式：全概率公式：2 2.全概率公式求复杂事件概率的步骤：全概率公式求复杂事件概率的步骤：1.设事件设事件：把事件把事件B(结果事件结果事件)看作某一过程的结果看作某一过程的结果,把把A1,A2,An 看作看作导致结果的若干个导致结果的若干个原因；原因；2.写概率写概率：由已知，写出：由已知，写出每一原因发生的概率每一原因发生的概率(即即P(Ai),且每一原因对结且每一原因对结果的影响程度果的影响程度(即即P(B|Ai)；3.代公式代公式：用全概率公式计算结果发生的概率用全概率公式计算结果发生的概率(即即P(B).3.贝叶斯公式：贝叶斯公式：课堂小结：课堂小结：