【数学】一元线性回归模型2课件 2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

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1、 8.2.2 8.2.2 一元线性回归模型参一元线性回归模型参数的最小二乘估计（数的最小二乘估计（2 2）1.经验回归方程：经验回归方程：我我们将将 称称为Y关于关于x的的经验回归方程经验回归方程，也称，也称经验回归函数经验回归函数或或经经验回归公式验回归公式，其，其图形称形称为经验回归直线经验回归直线.这种求种求经验回回归方程的方法叫做方程的方法叫做最小二乘法最小二乘法.2.最小二乘估计：最小二乘估计：经验回归方程经验回归方程中的参数中的参数 计算公式为：计算公式为：复习回顾思考：思考：当父亲身高为当父亲身高为176时，儿子的身高一定是时，儿子的身高一定是177吗？这个差异如何理解？吗？这个

2、差异如何理解？课堂导入（课堂导入（3分钟）分钟）1.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测 2.通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决转化为线性回归问题并加以解决.3.通过具体实例，了解决定系数通过具体实例，了解决定系数R2的意义和作用的意义和作用.学习目标学习目标自主学习（自主学习（7分钟）分钟）合作学习（合作学习（6分钟）分钟）1.1.阅读阅读课本课本P P111111，残差残差=？残差与随机误差残差与随机误差e e一定相等吗？一定相等吗？残差分析的作用残

3、差分析的作用？总结残差分析的总结残差分析的两个方法两个方法2.2.观察观察课本课本P P112112图图8.2-88.2-8思考：如何由残差图直观判断模型是否满足一元思考：如何由残差图直观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设？线性回归模型的假设？3.3.结合结合课本课本P P115115图图8.2-128.2-12，观察，观察图中散点与直线的位置关系，你能看出图中散点与直线的位置关系，你能看出其中存在的问题吗？其中存在的问题吗？怎么模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布怎么模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征？特征？4.4.结合结合课本课本P P118118思考，思考，如何比较如何

4、比较两个模型的拟合效果？几种方法？两个模型的拟合效果？几种方法？残差残差=观测值预报值观测值预报值成果展示（成果展示（12分钟）分钟）父亲身高父亲身高x174170173169182172180172168166182173164180儿子身高儿子身高观测值观测值yi176176170170185176178174170168178172165182174.943171.587174.104170.748181.655173.265179.977173.265169.909168.231181.655174.104166.553179.9771.0574.413-4.104-0.7483.34

5、52.735-1.9770.7350.091-0.231-3.655-2.104-1.5532.023残差分析途径：残差分析途径：列残差表、作残差图.残差图：以残差为纵坐标，以样本编号(或x)为横坐标.残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型残差残差与观测与观测时间时间有有非线性关系非线性关系，应在，应在模型中加入时间的模型中加入时间的非线性函数部分非线性函数部分残差的方差残差的方差不是一不是一个常数，随观测个常数，随观测时时间间的变大而变大的变大而变大残差比较均匀地分残差比较均匀地分布在以取值为布在以取值为0 0的横的横轴为对称轴的水平轴为对称轴的水平带状区域内带状区域内成果展示（成果

6、展示（12分钟）分钟）成果展示（成果展示（12分钟）分钟）残差图：以残差为纵坐标，以样本编号(或x)为横坐标.若存在某几个样本点的残差绝对若存在某几个样本点的残差绝对值较大，则为可疑数据，需予以值较大，则为可疑数据，需予以纠正或剔除，再重新建立回归模纠正或剔除，再重新建立回归模型型.带状区域带状区域宽度越窄宽度越窄，残差，残差绝对值越小绝对值越小，且，且较均匀较均匀地落在横轴附近地落在横轴附近，说明，说明回归方程预测的回归方程预测的精度越高精度越高.例2 人们常将男人们常将男 子短跑子短跑100m的高水平运动员称为的高水平运动员称为“百米飞人百米飞人”.下表给下表给出了出了1968年之前男子短

7、跑年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试试依据这些成对数据，建立男子短跑依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程回归方程.编号编号12345678年份年份18961912192119301936195619601968记录记录/s 11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95成果展示（成果展示（12分钟）分钟）第第1个散点个散点远离远离回归直线，回归直线，前后两时间段前后两时间段的散点都在回归直线的的散点都在回归直线的上方上方中间时间段中间

8、时间段的散点都在回归直线的的散点都在回归直线的下方下方.散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.问题 如何修改如何修改以使其以使其更好地反映散点的分布特征更好地反映散点的分布特征吗？吗？仔细观察右图仔细观察右图,可以发现散可以发现散点更趋向于落在点更趋向于落在中间下凸且中间下凸且递减的某条曲线递减的某条曲线附近附近.函数函数y=-lnx的图象具的图象具有类似的形状特征有类似的形状特征.注意注意到到100m短跑的第一个世界纪录产生于短跑的第一个世界纪录产生于1896年年,因此可因此可设设非线性非线性回归方程回归方程为

9、：为：y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)（其中其中c1、c2为未知参数，且为未知参数，且c20）.追问 如何利用成对数据估计参数如何利用成对数据估计参数c c1 1和和c c2 2？点拨拓展（点拨拓展（10分钟）分钟）点拨拓展（点拨拓展（10分钟）分钟）作出(xi，yi)的散点图，可见x与y呈现出很强的负线性相关特征.成果展示（成果展示（12分钟）分钟）问题 结合结合课本课本P P118118思考，思考，如何比较两个模型的拟合效果？几种方法？如何比较两个模型的拟合效果？几种方法？(1)直接观察法直接观察法.（2)残差平残差平方和方和=成果展示（成果展示（12分钟）分钟）残差平方和越小

10、，模型拟合效果越好.（3）决定系数）决定系数R2残差平方和偏差平方和（与经验回归方程（与经验回归方程有关有关）（与经验回归方程（与经验回归方程无关无关）0R21，R2越越接近接近1，则，则线性回归刻画的效果越好线性回归刻画的效果越好.成果展示（成果展示（12分钟）分钟）R2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好.R2越小，残差平方和越大，模型拟合效果越差.区分：样本相关系数r刻画线性相关关系的正负和强弱；决定系数R2刻画模型拟合效果的好坏.点拨拓展（点拨拓展（10分钟）分钟）x2023252730z22.4334.6对数变换对数变换z=lny分析模型分析模型的回归效果方法的回归效果方法（2 2

11、）残差平方和）残差平方和（1 1）残差分析）残差分析好的回归方程对应的残差散点图应是均匀地分布在横轴两侧的带状区域内.且带状区域越窄，说明模型拟合效果越好（3 3）决定系数）决定系数R R2 2法法残差平方和越小，说明模型拟合效果越好.R2越大，说明模型拟合效果越好.课堂小结求一元线性回归方程的步骤：求一元线性回归方程的步骤：（1）以成对样本数据描出散点图，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关。）以成对样本数据描出散点图，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关。（2）计算样本相关系数）计算样本相关系数r，判断两个变量之间的线性相关关系。，判断两个变量之间的线性相关关系。(可省可省)（4）残差分析：残差表、残差图对回归模型的拟合效果进行评估。）残差分析：残差表、残差图对回归模型的拟合效果进行评估。当堂检测（当堂检测（5分钟）分钟）2020全国卷I-5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)得到下面的散点图：由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）