山东省泰安市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、高二数学试题 第页（共4页）试卷类型:A高 二 年 级 考 试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。2024.041.已知函数f(x)=x+lnx,则limx 0f(1+x)-f(1)x的值为A.1B.-2C.2D.e2.若函数f

2、(x)=2x+cos2x，则A.f(x)=1xln2+2sin2xB.f(x)=2xln2+sin2xC.f(x)=1xln2-2sin2xD.f(x)=2xln2-2sin2x3.函数y=f(x)的图象如图所示，f(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是A.2f(3)2f(1)f(3)-f(1)B.2f(3)f(3)-f(1)2f(1)C.2f(1)2f(3)f(3)-f(1)D.f(3)-f(1)2f(3)b aB.a c bC.c a bD.a b c8.已知定义在(0,+)上的函数f(x),g(x)，其导函数分别为f(x),g(x)，且g(x)-g(x)x g(2)+2f(

3、1)B.2g(1)+2f(2)g(2)+4f(1)D.4f(2)+2g(1)1恒成立，则实数a的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知函数f(x)=x-1ex.（1）求f(x)在x=0处的切线方程；（2）求f(x)的极值.16.（15分）从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.（以下问题均用数字作答）（1）甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法？（2）甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间（可以不相邻）有多少种排法？3#QQABCYaAggAAAJIAARhCEwVACgEQkAAAAAoOQFAIsAAASBNABAA

4、=#高二数学试题第页（共4页）（3）甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法？17.（15分）已知(3x-x3)n的展开式中，所有项的系数之和是512.（1）求展开式中有理项有几项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项.18.（17分）已知函数f(x)=lnx-x,g(x)=x2-2x+3（1）若h(x)=(x-2)ex+ag(x)，讨论函数h(x)的单调性；（2）若(x)=f(x)+12g(x)，且(x1)+(x2)=0,求证：x1+x2 219.（17分）在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果limx af(x)=A,limx ag(x)

5、=B，则limx a f(x)g(x)=limx af(x)limx ag(x)=A Blimx a f(x)g(x)=limx af(x)limx ag(x)=AB若B 0,则limx af(x)g(x)=limx af(x)limx ag(x)=ABii)洛必达法则1：若函数f(x),g(x)的导函数分别为f(x),g(x)，且limx af(x)=limx ag(x)=0,limx ag(x)0则limx af(x)g(x)=limx af(x)g(x)设a 0,k是大于 1的正整数，若函数f(x)满足：对x(0,a)，均有f(x)f(xk)成立，则称函数f(x)为区间(0,a)上的k阶

6、无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：（1）计算：limx 0sinxx；limx 0(1+2x)1x；（2）试判断f(x)=tanxsin2xx3是否为区间(0,2)上的2阶无穷递降函数；并证明：x(0,2),f(x)1.4#QQABCYaAggAAAJIAARhCEwVACgEQkAAAAAoOQFAIsAAASBNABAA=#高二数学试题参考答案 第页（共6页）高 二 年 级 考 试数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题：题号答案1C2D3B4A5B6C7D8A二、多项选择题：题号答案9BC10ABD11BCD三、填空题：12.7213.4,314.(1e,+)2024.04四

7、、解答题：15.（13分）解：（1）f(x)=2-xex1分 f(0)=22分又f(0)=-13分f(x)在x=0处的切线方程为2x-y-1=05分（2）令f(x)=0，解得x=27分当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表所示，当x=2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)=1e212分无极小值13分xf(x)f(x)(-,2)+单调递增201e2(2,+)-单调递减1#QQABCYaAggAAAJIAARhCEwVACgEQkAAAAAoOQFAIsAAASBNABAA=#高二数学试题参考答案 第页（共6页）16.（15分）解：（1）由于甲、乙、丙三人中恰有两人在内，所以可以分3

8、步完成：第1步，从3人中选中2人，有C23种选法.第2步，从其余4人中选出3人，有C34种选法.第3步，将选出的5个人全排列，有A55种排法.根据分步乘法计数原理，不同的排法有C23 C34 A55=14405分（2）由于三人全在内，且甲在乙、丙之间，所以可以分3步完成:第1步，从其余4人中选出2人，有C24种选法.第2步，将2人安排到5个位置，有A25种方法.第3步，剩余3个位置排甲、乙、丙三人，有2种方法根据分步乘法计数原理，不同排法有C24 A25 2=24010分（3）由于甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，所以分3步完成：第1步：从其余4人中选出2人，有C24种选法.第2步：将甲、乙捆绑与

9、选出的2人排列，有A22 A33种方法.第3步：将丙插空有3种方法.根据分步乘法计数原理，共有C24 A22 A33 3=216.15分17.（15分）解：（1）所有项的系数之和是512.令x=1，得2n=512 n=92分展开式的通项：Tk+1=Ck9(3x)9-k(-x3)k=(-1)k39-kCk9x43k-9,k 0,1,2,95分令43k-9 Z k=0,3,6,96分有理项共有4项7分（2）设第k+1项系数的绝对值最大.则39-kCk9 39-(k+1)Ck+1939-kCk9 39-(k-1)Ck-1910分2#QQABCYaAggAAAJIAARhCEwVACgEQkAAAAA

10、oOQFAIsAAASBNABAA=#高二数学试题参考答案 第页（共6页）解得k 32k 52 k N k=213分系数绝对值最大的项为第3项15分18.（17分）解：（1）h(x)=(x-2)ex+a(x2-2x+3)h(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)1分当a 0时，令h(x)=0，解得x=1当x 1时,h(x)0，h(x)单调递增，当x 1时,h(x)0，h(x)单调递减 h(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增2分当a 0时，令h(x)=0,解得x=1或x=ln(-2a)当a 1时，h(x)在(-,1)上单调递增，在(1,ln(-2a)上单调

11、递减，在(ln(-2a),+)上单调递增4分当a=-e2即ln(-2a)=1时，h(x)在R上单调递增5分当a -e2即ln(-2a)1时，h(x)在(-,ln(-2a)单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减，在(1,+)上单调递增7分综上所述：当a 0时，h(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增当-e2 a 0时，h(x)在(-,ln(-2a)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减，在(1,+)上单调递增当a=-e2时，h(x)在(-,+)上单调递增当a 0G(x)=1x-1=1-xx,令G(x)=0,解得x=1当0 x 0,G(x)单调递增，当x 1时,G(x)

12、0,G(x)单调递减 G(x)G(1)=0 lnx x-1 F(x)=(x)+(2-x)=ln 1-(x-1)2+(x-1)2 1-(x-1)2-1+(x-1)2=015分不妨设0 x1 1 1x(0,2)，均有f(x)f(x2)f(x)是区间(0,2)上的2阶无穷递降函数13分方法一：由以上同理可得f(x)f(x2)f(x2n)15分由limx 0sinxx=1得limn f(x2n)=limn tanx2nsin2x2n(x2n)3=limn sin3(x2n)(x2n)3cos(x2n)=limn sin(x2n)x2n31cos(x2n)=limn sin(x2n)x2n3limn 1

13、cos(x2n)=1 x(0,2),f(x)117分方法二：f(x)=sin2x(3xcos2x-3sinxcosx+xsin2x)x4cos2x设(x)=3xcos2x-3sinxcosx+xsin2x.x(0,2)，则(x)=4sinx(sinx-xcosx)设m(x)=sinx-xcosx.x(0,2)，则m(x)=xsinx 05#QQABCYaAggAAAJIAARhCEwVACgEQkAAAAAoOQFAIsAAASBNABAA=#高二数学试题参考答案 第页（共6页）m(x)在(0,2)上单调递增又m(0)=0 m(x)0在(0,2)上恒成立(x)0(x)在(0,2)上单调递增(0)=0(x)0在(0,2)上恒成立 f(x)0 f(x)在(0,2)上单调递增15分又limx 0f(x)=limx 0(sinxx)31cosx=limx 0(sinxx)3 limx 01cosx=1 x(0,2),f(x)117分6#QQABCYaAggAAAJIAARhCEwVACgEQkAAAAAoOQFAIsAAASBNABAA=#