不等式九大题型--2025年新高考数学一轮复习含答案.pdf

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1、1基本不等式及其应用【九大题型】基本不等式及其应用【九大题型】【新高考专用】【新高考专用】【题型1基本不等式及其应用】【题型2直接法求最值】【题型3配凑法求最值】【题型4常数代换法求最值】【题型5消元法求最值】【题型6齐次化求最值】【题型7多次使用基本不等式求最值】【题型8利用基本不等式解决实际问题】【题型9与其他知识交汇的最值问题】1.基本不等式及其应用考点要求真题统计考情分析考点要求真题统计考情分析(1)了解基本不等式的推导过程(2)会用基本不等式解决最值问题(3)理解基本不等式在实际问题中的应用2020年天津卷：第14题，5分2021年乙卷：第8题，5分2022年I卷：第12题，5分20

2、23 年新高考 I 卷：第 22 题，12分基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.【知识点1基本不等式】【知识点1基本不等式】1.两个不等式1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b22ab(a,bR)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式ab a+b2(a0,b0)当且仅当“a=b”时取“=”a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab 叫做正数a，b的几何平均数不等式九大题型

3、-2025年新高考数学一轮复习2基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2.2.基本不等式与最值基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2 P；(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件3.3.常见的求最值模型常见的求最值模型(1)模型一：mx+nx2 mn(m0,n0)，当且仅当x=nm时等号成立；(2)模型二：mx+nxa=m(xa)+nxa+ma2 mn+ma(m0,n0

4、)，当且仅当xa=nm时等号成立；(3)模型三：xax2+bx+c=1ax+b+cx12 ac+b(a0,c0)，当且仅当x=ca时等号成立；(4)模型四：x(n mx)=mx(nmx)m1mmx+nmx22=n24mm0,n0,0 xnm，当且仅当x=n2m时等号成立.4.4.利用基本不等式求最值的几种方法利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知 x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式

5、求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型【题型1 1基本不等式及其应用】基本不等式及其应用】1(2023安徽蚌埠模拟预测)已知实数a,b,c满足abc且abc0，则下列不等关系一定正确的是()3A.acbcB.ab2D.ba+ab22(2023湖南长沙一模)已知2m=3n=6，则m，n不可能满足的关系是()A.m+n4B.mn4C.m2+n223(2024山东枣庄一模)已知a0,b0，则“a+b2”是“a2+b22”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D

6、.既不充分也不必要条件4(2023辽宁二模)数学命题的证明方式有很多种利用图形证明就是一种方式现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为()A.a+b2ab a0,b0B.2aba+bab a0,b0C.a+b2a2+b22a0,b0D.a2+b22 ab a0,b0【题型【题型2 2直接法求最值】直接法求最值】1(2023湖南岳阳模拟预测)已知函数 f x=3-x-2x，则当x0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.2 23(22-23高三下江西阶段练习)3+1x21+4

7、x2的最小值为()A.9 3B.7+4 2C.8 3D.7+4 34(23-24高二下山东潍坊阶段练习)函数y=3-4x-x(x0)的最大值为()A.-1B.1C.-5D.5【题型【题型3 3配凑法求最值】配凑法求最值】1(2023山西忻州模拟预测)已知a2，则2a+8a-2的最小值是()A.6B.8C.10D.1242(2024辽宁一模)已知m2n0，则mm-2n+mn的最小值为()A.3+2 2B.3-2 2C.2+3 2D.3 2-23(2023河南信阳模拟预测)若-5x0,b0，则a+2b+4a+2b+1的最小值为()A.6B.5C.4D.3【题型【题型4 4常数代换法求最值】常数代换

8、法求最值】1(2024江苏南通二模)设x0，y0，1x+2y=2，则x+1y的最小值为()A.32B.2 2C.32+2D.32(2024黑龙江哈尔滨二模)已知正实数x，y满足1x+2y=1，则2xy-3x的最小值为()A.8B.9C.10D.113(2024广东湛江一模)已知ab0，a2+ab+2b2=1，则a2+2b2的最小值为()A.8-2 27B.2 23C.34D.7-2 284(2023广东广州模拟预测)已知正实数x，y满足2x+y=xy，则2xy-2x-y的最小值为()A.2B.4C.8D.9【题型【题型5 5消元法求最值】消元法求最值】1(2024陕西西安三模)已知x0,y0，

9、xy+2x-y=10，则x+y的最小值为4 2-12(2023上海嘉定一模)已知实数a、b满足ab=-6，则a2+b2的最小值为123(2024天津河东一模)若a0,b0,ab=2，则a+4b+2b3b2+1的最小值为4(2024四川德阳模拟预测)已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是4 3-2.【题型【题型6 6齐次化求最值】齐次化求最值】1(23-24高一上湖南娄底期末)已知x0，则x2-x+4x的最小值为()A.5B.3C.-5D.-5或32(23-24高一上辽宁大连期末)已知x，y为正实数，且x+y=1，则x+6y+3xy的最小值为()5

10、A.24B.25C.6+4 2D.6 2-33(23-24高二上安徽六安阶段练习)设a+b=1,b0，则1|a|+9|a|b的最小值是()A.7B.6C.5D.44(23-24高三上浙江绍兴期末)已知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2，则x2+1x+2y2y+1的最小值为()A.34B.94C.32D.92【题型【题型7 7多次使用基本不等式求最值】多次使用基本不等式求最值】1(2023河南模拟预测)已知正实数a，b，满足a+b92a+2b，则a+b的最小值为()A.5B.52C.5 2D.5 222(2023全国模拟预测)已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+a2c4a4+b2

11、+c2的最大值为()A.12B.24C.22D.343(2024全国模拟预测)已知a0，b0，c1，a+2b=2，则1a+2bc+2c-1的最小值为()A.92B.2C.6D.2124(23-24高三下浙江开学考试)已知a、b、c、d均为正实数，且1a+2b=c2+d2=2，则a+bcd的最小值为()A.3B.2 2C.3+22D.3+2 22【题型【题型8 8利用基本不等式解决实际问题】利用基本不等式解决实际问题】1(23-24高二下北京房山期中)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、

12、郁金香、月季(其中B，C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为Sm2.(1)用含有x的代数式表示a；6(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？2(23-24高一上辽宁朝阳期末)冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第m(1m8，且mN*)年产生的利润(单

13、位：百万元)G m=mx,mN*,1m44-16-mx2,mN*,5m8，记这4百万元投资从2024年开始的第n年产生的利润之和为 fnx.(1)比较 f42与 f52的大小；(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.3(23-24高一上河南开封期末)如图，一份印刷品的排版(阴影部分)为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.(1)用x，y 表示 S;(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小?并求最小面积.4(23-24高一上四川成都期末)如图所示，一条笔直的河流l(忽略河的宽度)两

14、侧各有一个社区A,B(忽略社区的大小)，A社区距离l上最近的点A0的距离是2km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1km，且A0B0=4km.点P是线段A0B0上一点，设A0P=akm.现规划了如下三项工程：工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1km2的文化主题公园，且每平方千米造价为1+92a2亿元；工程3：将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25km2的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.7记这三项工程的总造价为W亿元.(1)求实数a的取值范围；(2)问点P在何处时，W最小，并求出该最小值.【题型【题型9 9与

15、其他知识交汇的最值问题】与其他知识交汇的最值问题】1(23-24高三上江苏南通阶段练习)已知ABC内接于单位圆，且 1+tanA1+tanB=2，(1)求角C(2)求ABC面积的最大值2(23-24高三上山东青岛期末)九章算术 是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在 九章算术 中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵ABC-A1B1C1中,ABAC.(1)求证:四棱锥B-A1ACC1为阳马;(2)若C1C=BC=2,当鳖膈C1-

16、ABC体积最大时,求锐二面角C-A1B-C1的余弦值.3(2024广东珠海一模)已知A、B、C是ABC的内角，a、b、c分别是其对边长，向量m=a+b,c，n=sinB-sinA,sinC-sinB，且mn.(1)求角A的大小；(2)若a=2，求ABC面积的最大值.4(2024黑龙江大庆一模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，过点 1,32且离心率为12，A,B是椭圆上纵坐标不为零的两点，若AF=FB R且 AF FB，其中F为椭圆的左焦点(1)求椭圆的方程；(2)求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围一、单选题一、单选题1(2023全国三模)已知a0，b0，且a+b=1，则下

17、列不等式不正确的是()8A.ab14B.a2+b212C.1a+1b+12D.a+b 12(2024甘肃定西一模)x2+7x2+7 的最小值为()A.2 7B.3 7C.4 7D.5 73(2024辽宁葫芦岛一模)已知a0，b0，a+b=2，则()A.0a1B.02D.1bb1，则ab+1a+b7(2024黑龙江哈尔滨一模)已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(mn)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2，则()A.a1=a2B.a1a2D.a1,a2的大小无法确定8

18、(2024四川成都三模)设函数 f x=x3-x，正实数a,b满足 f a+f b=-2b，若a2+b21，则实数的最大值为()A.2+2 2B.4C.2+2D.2 2二、多选题二、多选题9(2023全国模拟预测)已知实数x,y，下列结论正确的是()A.若x+y=3，xy0，则x2x+1+y2+1y3B.若x0，xy=1，则12x+12y+8x+y的最小值为4C.若x0且x-1，则yxb0，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有()A.方案甲和方案乙工资涨得一样多B.采用方案乙工资涨得比方案丙多C.采用方案乙工资涨得比方案甲多D.采用方案丙工资涨得比方案甲多11(2024全国

19、模拟预测)已知a0，b0且1a+4b=2，则下列说法正确的是()A.ab有最小值4B.a+b有最小值92C.2ab+a有最小值2 5D.16a2+b2的最小值为4 2三、填空题三、填空题12(2024全国模拟预测)已知x1，y0，且x+2y=2，则1x-1+y的最小值是13(2024上海奉贤二模)某商品的成本C与产量q之间满足关系式C=C q，定义平均成本C=Cq，其中C=C(q)q，假设C q=14q2+100，当产量等于时，平均成本最少.14(2024全国模拟预测)记max x1,x2,x3表示x1,x2,x3这3个数中最大的数已知a,b,c都是正实数，M=max a,1a+2bc,cb

20、，则M的最小值为四、解答题四、解答题15(2023甘肃张掖模拟预测)已知正实数x，y满足等式1x+3y=2(1)求xy的最小值；(2)求3x+y的最小值1016(2023全国模拟预测)已知x,y,z 0,+，且x+y+z=1(1)求证：yx+zy+xz1+z-z；(2)求x2+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值17(2023陕西安康模拟预测)已知函数 f x=x+a+x-b(1)当a=2,b=3时，求不等式 f x6的解集；(2)设a0,b1，若 f x的最小值为2，求1a+1b-1的最小值1118(23-24高一上贵州铜仁期末)2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全

21、和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足 x=4-2m+1.已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为8+16xx万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19(2023全国

22、模拟预测)已知x，y，z 0,+(1)若x+y=1，证明：4x+4y 48；(2)若x+y+z=1，证明yx+zy+xz1+z-z1基本不等式及其应用【九大题型】基本不等式及其应用【九大题型】【新高考专用】【新高考专用】【题型1基本不等式及其应用】【题型2直接法求最值】【题型3配凑法求最值】【题型4常数代换法求最值】【题型5消元法求最值】【题型6齐次化求最值】【题型7多次使用基本不等式求最值】【题型8利用基本不等式解决实际问题】【题型9与其他知识交汇的最值问题】1.基本不等式及其应用考点要求考点要求真题统计真题统计考情分析考情分析(1)了解基本不等式的推导过程(2)会用基本不等式解决最值问题(

23、3)理解基本不等式在实际问题中的应用2020年天津卷：第14题，5分2021年乙卷：第8题，5分2022年I卷：第12题，5分2023 年新高考 I 卷：第 22 题，12分基本不等式及其应用是每年高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.【知识点【知识点1 1基本不等式】基本不等式】1.1.两个不等式两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b22ab(a,bR)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式ab

24、a+b2(a0,b0)当且仅当“a=b”时取“=”a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab 叫做正数a，b的几何平均数2基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2.2.基本不等式与最值基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2 P；(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件3.3.常见的求最值模型常见的求最值模型(1)模型一：mx+nx2 mn(m0,n0)，当且仅当x=nm时

25、等号成立；(2)模型二：mx+nxa=m(xa)+nxa+ma2 mn+ma(m0,n0)，当且仅当xa=nm时等号成立；(3)模型三：xax2+bx+c=1ax+b+cx12 ac+b(a0,c0)，当且仅当x=ca时等号成立；(4)模型四：x(n mx)=mx(nmx)m1mmx+nmx22=n24mm0,n0,0 xnm，当且仅当x=n2m时等号成立.4.4.利用基本不等式求最值的几种方法利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：

26、主要解决形如“已知 x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型【题型1 1基本不等式及其应用】基本不等式及其应用】1(2023安徽蚌埠模拟预测)已知实数a,b,c满足abc且abc0，则下列不等关系一定正确的是()3A.acbcB.ab2D.ba+ab2【解题思路】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.【解答过程】因为abc且abc0，所以a0bc或abc0，对A：若a0bc，则acbc，若

27、abcbc，A错误；对B：bc，aac，B错误；对C：由a0bc或abc0且b2bccb=2，C正确；对D：当a0bc时，有ba0，从而ba+ab0当abc0且a2baab=2，D错误.故选：C.2(2023湖南长沙一模)已知2m=3n=6，则m，n不可能满足的关系是()A.m+n4B.mn4C.m2+n22【解题思路】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.【解答过程】2m=3n=6,m=log260,n=log360，即1m+1n=log62+log63=1，即m+n=mn(mn),m0,n0.对于 A，m+n=mn4成立.对于 B，mn=m+n2 mn,mn4，成立.对于 C，

28、m+n4,16(m+n)2=m2+n2+2mn8.故C错误；对于 D，(m-1)2+(n-1)2=(m-n)2+22成立.故选：C.3(2024山东枣庄一模)已知a0,b0，则“a+b2”是“a2+b22”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案【解答过程】若a0，b0，a+b2，则a2+b212(a+b)22，充分性成立；若a2+b22，可能a=2，b=0.1，此时a+b2”是“a2+b22”的充分不必要条件故选：A4(2023辽宁二模)数学命题的证明方式有很多种利用

29、图形证明就是一种方式现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为()4A.a+b2ab a0,b0B.2aba+bab a0,b0C.a+b2a2+b22a0,b0D.a2+b22 ab a0,b0【解题思路】由ABC为等腰直角三角形，得到OC=a+b2，OD=OB-BD，然后在RtOCD中，得到CD判断.【解答过程】解：由图知：OC=12AB=a+b2,OD=OB-BD=a+b2-b=a-b2，在RtOCD中，CD=OC2+OD2=a2+b22，所以OCOD，即a+b2a2+b22a0,b

30、0，故选：C.【题型【题型2 2直接法求最值】直接法求最值】1(2023湖南岳阳模拟预测)已知函数 f x=3-x-2x，则当x0时，f x有()A.最大值3+2 2B.最小值3+2 2C.最大值3-2 2D.最小值3-2 2【解题思路】由基本不等式即可求解.【解答过程】由题意当x0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.2 2【解题思路】由基本不等式求得最小值【解答过程】x0，x+4x-42x4x-4=0，当且仅当x=4x即x=2时等号成立故选：B3(22-23高三下江西阶段练习)3+1x21+4x2的最小值为()A.9 3B.7+4 2C.8 3D.7+4 3【解题思路】依题

31、意可得 3+1x21+4x2=7+1x2+12x2，再利用基本不等式计算可得.5【解答过程】3+1x21+4x2=7+1x2+12x27+21x212x2=7+4 3，当且仅当1x2=12x2，即x4=112时，等号成立，故 3+1x21+4x2的最小值为7+4 3.故选：D.4(23-24高二下山东潍坊阶段练习)函数y=3-4x-x(x0)的最大值为()A.-1B.1C.-5D.5【解题思路】根据均值不等式即可求得函数最大值.【解答过程】因为y=3-4x-x=3-x+4x且x0，故可得y=3-x+4x3-2x4x=-1.当且仅当x=4x，即x=2时取得最大值.故选：A.【题型【题型3 3配凑

32、法求最值】配凑法求最值】1(2023山西忻州模拟预测)已知a2，则2a+8a-2的最小值是()A.6B.8C.10D.12【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.【解答过程】因为a2，所以a-20所以2a+8a-2=2 a-2+8a-2+42 16+4=12，当且仅当2 a-2=8a-2，即a=4时，等号成立所以2a+8a-2的最小值为12.故选：D.2(2024辽宁一模)已知m2n0，则mm-2n+mn的最小值为()A.3+2 2B.3-2 2C.2+3 2D.3 2-2【解题思路】根据题意，m=m-2n+2n，将所求式子变形，利用基本不等式求解.【解答过程】由m2n0，m-2n0，m=m-

33、2n+2n，mm-2n+mn=m-2n+2nm-2n+m-2n+2nn=3+2nm-2n+m-2nn3+2 2，当且仅当2nm-2n=m-2nn，即m=2+2n时等号成立.6故选：A.3(2023河南信阳模拟预测)若-5x-1，则函数 f x=x2+2x+22x+2有()A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-1【解题思路】由题意，0-x+14，f x=-x+12+1-2 x+1，利用基本不等式求解.【解答过程】因为-5x-1，所以0-x+10,b0，则a+2b+4a+2b+1的最小值为()A.6B.5C.4D.3【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由于a0,b0，所以a

34、+2b+10，由a+2b+4a+2b+1=a+2b+1+4a+2b+1-12a+2b+14a+2b+1-1=3,(当且仅当a+2b=1时取等号)，可得a+2b+4a+2b+1的最小值为3，故选：D【题型【题型4 4常数代换法求最值】常数代换法求最值】1(2024江苏南通二模)设x0，y0，1x+2y=2，则x+1y的最小值为()A.32B.2 2C.32+2D.3【解题思路】由不等式“1”的代换求解即可.【解答过程】因为1x+2y=2，所以12x+y=1，因为x0，y0，所以x+1y=x+1y12x+y=12+xy+12xy+1=32+xy+12xy32+2xy12xy=32+222=32+2

35、.当且仅当xy=12xy12x+y=1，即x=1+22y=2-2 时取等.7故选：C.2(2024黑龙江哈尔滨二模)已知正实数x，y满足1x+2y=1，则2xy-3x的最小值为()A.8B.9C.10D.11【解题思路】利用基本不等式计算即可.【解答过程】易知1x+2y=12x+y=xy，则2xy-3x=2 2x+y-3x=x+2y1x+2y=5+2yx+2xy5+22yx2xy=9，当且仅当2yx=2xy，即x=y=3时取得等号.故选：B.3(2024广东湛江一模)已知ab0，a2+ab+2b2=1，则a2+2b2的最小值为()A.8-2 27B.2 23C.34D.7-2 28【解题思路】

36、利用不等式a2+2b22 2ab，将等式a2+ab+2b2=1左边转化为因式a2+2b2表示，求解即可.【解答过程】因为ab0，得：a2+2b22 2a2b2=2 2ab(当且仅当a=2b时成立)，即得：aba2+2b22 2=24(a2+2b2)，则1=a2+ab+2b2a2+2b2+24(a2+2b2)=4+24(a2+2b2)，得：a2+2b214+24=8-2 27，所以a2+2b2的最小值为8-2 27，故选：A.4(2023广东广州模拟预测)已知正实数x，y满足2x+y=xy，则2xy-2x-y的最小值为()A.2B.4C.8D.9【解题思路】由已知可得1x+2y=1，再利用基本不

37、等式求最值可得答案.【解答过程】因为正实数x，y满足2x+y=xy，所以1x+2y=1，则2xy-2x-y=2x+y=2x+y1x+2y=4+yx+4xy4+2yx4xy=8，当且仅当y=2x且1x+2y=1，即x=2，y=4时取等号.故选：C.【题型【题型5 5消元法求最值】消元法求最值】1(2024陕西西安三模)已知x0,y0，xy+2x-y=10，则x+y的最小值为4 2-18【解题思路】依题意可得x=y+10y+2，再由基本不等式计算可得.【解答过程】因为x0，y0且xy+2x-y=10，所以x=y+10y+2，所以x+y=y+10y+2+y=8y+2+y+2-128y+2(y+2)-

38、1=4 2-1，当且仅当8y+2=y+2，即y=2 2-2，x=1+2 2 时，等号成立，故x+y的最小值为4 2-1故答案为：4 2-12(2023上海嘉定一模)已知实数a、b满足ab=-6，则a2+b2的最小值为12【解题思路】运用基本不等式进行求解即可.【解答过程】由ab=-6a0且b0且a、b异号，由ab=-6b=-6a，所以a2+b2=a2+-6a22a2-6a2=12，当且仅当a2=-6a2时取等号，即当a=6,b=-6 或a=-6,b=6 时取等号，故答案为：12.3(2024天津河东一模)若a0,b0,ab=2，则a+4b+2b3b2+1的最小值为4【解题思路】根据基本不等式即

39、可求解.【解答过程】由a0,b0,ab=2a=2b，故a+4b+2b3b2+1=2b+4b+2b3b2+1=2+4b2+2b4b b2+1=2b2+12b b2+1=2b2+1b=2 b+1b22b1b=4，当且仅当b=1时等号成立，故最小值为4，故答案为：4.4(2024四川德阳模拟预测)已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z=6，则3x+2y+z的最小值是4 3-2.【解题思路】因式分解得到x+z=6x+y+1，变形后得到3x+2y+z=2 x+y+6x+y+1，利用基本不等式求出最小值.【解答过程】因为x,y,z为正实数，9故x2+xy+yz+xz+x+z=6 x2+xz

40、+xy+yz+x+z=6，即x x+z+y x+z+x+z=6 x+y+1x+z=6x+z=6x+y+1，3x+2y+z=2 x+y+x+z=2 x+y+6x+y+1=2 x+y+1+6x+y+1-222 x+y+16x+y+1-2=4 3-2，当且仅当2 x+y+1=6x+y+1，即x+y=3-1，此时x+z=6x+y+1=2 3，所以3x+2y+z的最小值为4 3-2.故答案为：4 3-2.【题型【题型6 6齐次化求最值】齐次化求最值】1(23-24高一上湖南娄底期末)已知x0，则x2-x+4x的最小值为()A.5B.3C.-5D.-5或3【解题思路】由已知可得x2-x+4x=x+4x-1

41、，利用基本不等式计算可得结果.【解答过程】由x0，得x2-x+4x=x+4x-12x4x-1=3，当且仅当x=4x，即x=2时等号成立，所以x2-x+4x的最小值为3故选：B.2(23-24高一上辽宁大连期末)已知x，y为正实数，且x+y=1，则x+6y+3xy的最小值为()A.24B.25C.6+4 2D.6 2-3【解题思路】把x+6y+3xy变为9x+4y，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.【解答过程】因为x，y为正实数，且x+y=1，所以x+6y+3xy=x+6y+3 x+yxy=4x+9yxy=9x+4y=9x+4yx+y=13+9yx+4xy13+29yx4xy=25，

42、当且仅当9yx=4xyx+y=1 即x=35y=25 时，等号成立，所以x+6y+3xy的最小值为25.故选：B.3(23-24高二上安徽六安阶段练习)设a+b=1,b0，则1|a|+9|a|b的最小值是()A.7B.6C.5D.4【解题思路】由条件可得1|a|+9|a|b=a+b|a|+9|a|b=b|a|+9|a|b+a|a|利用均值不等式结合a符号可得答案.10【解答过程】由a+b=1,b0，则b=1-a0,则a0,a0，所以b|a|+9|a|b2b|a|9|a|b=6当且仅当b=3 a时，取得等号.当0a1时，有1|a|+9|a|b=a+b|a|+9|a|b=b|a|+9|a|b+a|

43、a|6+1=7当且仅当b=3a，即a=14b=34 时取等号当a0时，有1|a|+9|a|b=a+b|a|+9|a|b=b|a|+9|a|b+a|a|6-1=5当且仅当b=3 a，a0,y+11，由x+2y=2，得x+2(y+1)=4，于是x2+1x+2y2y+1=x+1x+2(y+1)(y-1)+2y+1=x+2y-2+1x+2y+1=1x+2y+1=14x+2(y+1)1x+2y+1=145+2(y+1)x+2xy+1145+22(y+1)x2xy+1=94，当且仅当2(y+1)x=2xy+1，即x=y+1=43时取等号，所以当x=43,y=13时，x2+1x+2y2y+1取得最小值94.

44、故选：B.【题型【题型7 7多次使用基本不等式求最值】多次使用基本不等式求最值】1(2023河南模拟预测)已知正实数a，b，满足a+b92a+2b，则a+b的最小值为()A.5B.52C.5 2D.5 2211【解题思路】先根据基本不等式求出92a+2ba+b252.然后即可根据不等式的性质得出 a+b292a+2ba+b252，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.【解答过程】由已知可得，a0，b0，a+b0.因为92a+2ba+b=92+2+9b2a+2ab29b2a2ab+132=6+132=252，当且仅当9b2a=2ab，即2a=3b时等号成立.所以，a+b292a+2ba+b2

45、52，当且仅当2a=3ba+b=92a+2b，即a=3 22b=2 时，两个等号同时成立.所以，a+b3 22+2=5 22.故选：D.2(2023全国模拟预测)已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a2b+a2c4a4+b2+c2的最大值为()A.12B.24C.22D.34【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【解答过程】因为a为非零实数，a20，b，c均为正实数，则a2b+a2c4a4+b2+c2=b+c4a2+b2+c2a2b+c24a2b2+c2a2=b+c4 b2+c2=14b2+2bc+c2b2+c2=141+2bcb2+c2141+2bc2bc=24，当且仅当4

46、a2=b2+c2a2且b=c，即2a2=b=c时取等号，则a2b+a2c4a4+b2+c2的最大值为24故选：B3(2024全国模拟预测)已知a0，b0，c1，a+2b=2，则1a+2bc+2c-1的最小值为()A.92B.2C.6D.212【解题思路】基本不等式乘1法，构造法解决即可.【解答过程】1a+2b=121a+2ba+2b=125+2ba+2ab125+4=92，当且仅当a=b=23时等号成立，(应用基本不等式时注意等号成立的条件)12所以1a+2bc+2c-192c-1+2c-1+92 29 c-122c-1+92=212，当且仅当9 c-12=2c-1，即c=53且a=b=23时

47、，等号成立，故最小值为212，故选：D.4(23-24高三下浙江开学考试)已知a、b、c、d均为正实数，且1a+2b=c2+d2=2，则a+bcd的最小值为()A.3B.2 2C.3+22D.3+2 22【解题思路】由题意，根据基本不等式先求解1cd1，从而将a+bcd的最小值转化为a+b的最小值，再利用乘“1”法求解不等式最小值.【解答过程】因为1a+2b=c2+d2=2，所以cdc2+d22=1，即1cd1，当且仅当c=d=1时取等号，所以a+bcd的最小值为a+b的最小值，所以12a+b1a+2b=123+ba+2ab123+2ba2ab=3+2 22，当且仅当1a+2b=2ba=2ab

48、 时取等号，所以a+bcd的最小值为3+2 22.故选：D.【题型【题型8 8利用基本不等式解决实际问题】利用基本不等式解决实际问题】1(23-24高二下北京房山期中)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B，C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为Sm2.(1)用含有x的代数式表示a；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【解题思路】(1)设矩形花园的长为ym，结合xy=750，进而求得a关于x的关系式；(2)由(1)

49、知a=375x-32，得到S=15152-3x+1875x，结合基本不等式，即可求解.【解答过程】(1)解：设矩形花园的长为ym，因为矩形花园的总面积为750m2，所以xy=750，可得y=750 x，又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得2a+3=750 x，可得a=375x-32，13即a关于x的关系式为a=375x-32,3x2+2-4=0，所以 f42 f52.(2)两次投资在2027年产生的利润之和为 f4x百万元，设2024年初投资x百万元，则2025年初投资 4-x百万元，2024年初投资的x百万元在2027年产生的利润为4x=2 x(百万元)，2025年初投资的 4-x百万元在

50、2027年产生的利润为3 4-x(百万元)，所以 f4x=2 x+12-3x.解法一：f4x2=x+4 12x-3x2+12，设y=x+4 12x-3x2，则y-x=4 12x-3x2，两边平方得49x2-2y+192x+y2=0，由=2y+1922-449y20得2y+19214y，所以y16，当x=167时取等号.14所以 f4x2=x+4 12x-3x2+1216+12=28，f4x2 7.所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为2 7 百万元.解法二：f4x2=x+4 3x 4-x+12=x+6x 32-8x+12x+6x+32-8x2+12=16+12=28，当且仅当6x=3