河南省TOP二十名校2024届高三下学期5月联考猜题（一）数学试卷含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司绝密启用前绝密启用前2024 届高三年级届高三年级 TOP 二十名校猜题一数学二十名校猜题一数学全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟注意事项：分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦

2、干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数25i1 2iz=-对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合1,21,3,1,32AaBaa=+=-，若AB，则a=（）A.-2 B.-1

3、C.1D.33.设角a的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴非负半轴重合，则“32 2 22kkka+的左顶点上顶点分别为,A B，右焦点为F，过F且与x轴垂直的河南省河南省TOP二十名校二十名校2024届高三下学期届高三下学期5月联考猜题（一）数学试卷月联考猜题（一）数学试卷学科网（北京）股份有限公司直线与直线AB交于点E，若直线AB的斜率小于15,4O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率的比值的取值范围是（）A.1,2+B.1,4+C.1 1,6 5 D.1 1,5 27.如图，在圆锥SO中，若轴截面为等边三角形,SAB C为底面圆周上一点，且23BOC=，则直线OC与直线SB所

4、成角的余弦值为（）A.14 B.13 C.12 D.328.已知实数,m n满足3ln4,lnemmn nn+=+=，则mn的值为（）A.2e B.3e C.4e D.5e二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.将正数x用科学记数法表示为10,1,10,nxaan=Z，则把,lgna分别叫做lgx的首数和尾数，分别记为lg,lgSx Wx，下列说法

5、正确的是（）A.若2 10,3 10,mnMNm n=Z，则lglglgSMNSMSN=+B.若2 10,8 10,mnMNm n=Z，则lglglgWMNWMWN=+C.若2 10,4 10,mnMNm n=Z，则lglglgMSSMSNN=-D.若8 10,2 10,mnMNm n=Z，则lglglgMWWMWNN=-10.已知2*naxnx+N的展开式中第 4 项与第 5 项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为学科网（北京）股份有限公司2187，则下列说法正确的是（）A.展开式中奇数项的二项式系数之和为 64B.展开式中存在常数项C.展开式中含4x项的系数为 560D.展开式中系数

6、最大的项为32672x11.在平面直角坐标系xOy中，点F是拋物线2:(0)yaxa=的焦点，F到的准线l的距离为 2，点A是上的动点，过点A且与相切的直线m与y轴交于点,B C是准线l上的一点，且ACl，则下列说法正确的是（）A.4a=B.当点A的横坐标为 2 时，直线m的斜率为 1C.设3,0D，则ADAC+的最小值为10D.,OBABBC成等差数列三三填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.若向量,a brr不共线，且xab+rrayb+rr，则xy的值为_.13.若正数,a b满足22abab-=，则a的最小值是_.14.记 xt

7、是不小于x的最小整数，例如 1.22,22,1.31ttt=-=-，则函数 128xf xxxt-=-+的零点个数为_.四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）已知数列 na的前n项和为nS，且*317,204nnSaan+=-=N.（1）求 na的通项公式；（2）若数列12lognnnbaa+=-，求数列 nb的前n项和nT.16.（本小题满分 15 分）在一个不透明的密闭纸箱中装有 10 个大小形状完全相同的小球，其中 8 个白球，2 个黑球.小张每次从纸箱中

8、随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸 4 次，记随机变量X为小张摸出白球的个数.（1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E X和D X；（2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求X的分布列.学科网（北京）股份有限公司17.（本小题满分 15 分）如图，在正三棱杜111ABCABC-中，O为111ABCV的重心，D是棱1CC上的一点，且OD平面11ABC.（1）证明：112CDDC=；（2）若111212AAAB=，求点D到平面1B AC的距离.18.（本小题满分 17 分）动点,P x y与定点2,0F的距离和它到定直线1:2l x=的距离的比是 2，记动点P的轨迹为

9、曲线C.（1）求C的方程；（2）过2,0R-的直线l与C交于,A B两点，且(0)RAaRB a=uuu ruuu r，若点M满足AMaMB=uuuu ruuur，证明：点M在一条定直线上.19.（本小题满分 17 分）已知函数 21ln12f xa xaxx=-+.（1）讨论 f x的单调性；（2）当1a=时，21122h xf xxxx=-+，数列 nt满足10,1t，且*1nnth tn+=N，证明：*1322nnntttn+N.学科网（北京）股份有限公司2024 届高三年级届高三年级 TOP 二十名校猜题一二十名校猜题一数学数学参考答案参考答案提示及评分细则提示及评分细则1.B 因为复

10、数25i1 2i12iz=-=-+，所以z对应的点为12,1-，位于第二象限.故选 B.2.C 由已知得，若213a+=，解得1a=，此时1,3,0,1,3AB=，符合题意；若211aa+=-，解得a=-2，此时1,3,8,3,3AB=-=-，不符合题意；若2132aa+=-，解得3a=，此时1,7,2,3,7AB=，不符合题意.综上所述：1a=.故选 C.3.C 当32 2 22kka+（kZ）时，cos0a，所以cos0a成立，所以“32 2 22kka+（kZ）”是“cos0a”的充分条件；当cos0a时，32 2 22kkka+Z，所以“32 2 22kkka+，由题意设点0,E c

11、y，则0bcyba=+，即,bcE cba+，所以OEbcbb acakcac+=，又154ABbka=，即114e.设直线AB的斜率与直线OE的斜率的比值为m，则学科网（北京）股份有限公司1111bceamb acaceeac=-+，又114e，所以1152m化为标准方程为21xya=，因为F到的准线l的距离为 2，所以122a=，所以14a=，故 A 错误；由14a=得，的方程为214yx=，所以12yx=，所以直线m的斜率1212k=，故 B 正确；221310ADACADAFFD+=+=+=，当且仅当点A是线段DF与的交点时，等号成立，故 C 正确；不妨设点A在第一象限，则点2000,

12、04xA xx，所以12yx=，所以直线m的斜率02xk=，所以直线m的方程为200042xxyxx-=-，化简可得，200240 x xyx-=，令0 x=，则204xy=-，所以200,4xB-，因为ACl，所以0,1C x-，所以2222422222222000000000|,111244444xxxxxxABxxOBBCx=+=+=+-+=+=+，所以学科网（北京）股份有限公司422422200000002212144442xxxxxABOBBCxx-+=+-=+-，故 D 错误.故选 BC.12.1 因为,a brr不共线，所以可设,a brr为一组基向量，因为xab+rrayb+r

13、r，所以Rl$，使得xabaybl+=+rrrr，所以xabaybll+=+rrrr，所以,1,xyll=，消去l，得1xy=.13.4 因为22abab-=rrrr，所以232a bab=+rrrr，因为,a brr为正数，所以2323222a bababab a=+=rrrrrrrrr，即22a bab arrrrr，所以4ar，当且仅当32ab=rr，即4,8ab=rr时取等号，所以ar的最小值是 4.14.3 令 0f x=，则 128xxxt-=-，令 1,28xg xxx h xt-=-=-，则 g x与 h x的交点个数即为 f x的零点个数.当10 x-=，所以可作出 g x与

14、 h x的图象如图，所以 g x与 h x有 3 个交点，故 f x的零点个数为 3.15.解：（1）因为*317,204nnSaan+=-=N，所以112nnaa+=，所以数列 na是公比为12的等比数列，所以31311271412aS-=-，解得11a=，所以112nna-=.（2）由（1）知21111log222nnnnnb-=-=，所以2310122122222nnnnnT-=+L，学科网（北京）股份有限公司所以2341101221222222nnnnnT+-=+L，相减得，2123111111111111112212222222212nnnnnnnnnT-+-+=+-=-=-L，所以

15、212nnnnT-=.16.解：（1）由已知得，4,0.8XB，所以4 0.83.2,E X=4 0.81 0.80.64D X=-=.（2）由已知得，X服从超几何分布，且482110C C,2,3,4CkkP Xkk-=，所以X的分布列为X234P2158151317.（1）证明：连接1OC，延长1C O交11AB于E，连接CE，如图所示.因为O为111ABCV的重心，所以112EOOC=，因为OD平面11,ABC OD 平面1CC E，平面1CC E 平面11ABCCE=，所以ODEC，所以1112CDEODCOC=.学科网（北京）股份有限公司（2）解：取AB的中点为F，连接EF.因为三棱

16、柱111ABCABC-是正三棱柱，所以直线11,EB EC EF两两垂直，以E为坐标原点，直线11,EB EC EF所在的直线分别为,x y z轴建立空间坐标系，如图所示.又111212AAAB=，则13,0,0,3,0,12,0,3 3,12,0,3 3,8BACD-，所以16,0,12,3,3 3,0,0,0,4ABACDC=-=uuuruuuruuur.设平面1B AC的法向量,nx y z=r，所以16120,33 30,n ABxzn ACxy=-=+=uuurruuurr，令2x=，解得2,13yz=-=，所以平面1B AC的一个法向量22,13n=-r，所以22244 57192

17、213n DCdn=+-+uuurrr，即点D到平面1B AC的距离为4 5719.18.（1）解：由题意知22(2)212xyx-+=-，所以221(2)22xyx-+=-，所以22214444xxyxx-+=-+，学科网（北京）股份有限公司化简得，C的方程为2213yx-=.（2）证明：依题意，设112200,A x yB xyM xy，当直线l的斜率为 0 时，不妨设1,0,1,0AB-，因为2,0R-，所以1,0,3,0RARB=uuu ruuu r，所以13RARB=uuu ruuu r，从而13a=，则13AMMB=uuuu ruuur，即000011,1,3xyxy+=-，解得0

18、01,02xy=-=，即1,02M-.当直线l的斜率不为 0 时，设l的方程为2xty=-，由222,13xtyyx=-=消去x，得22311290tyty-+=，则2310t-且2212122212914443190,3131tttyyyytt=-+=-，因为,RAaRBAMaMB=uuu ruuu ruuuu ruuur，所以120120,yayyya yy=-=-消去a，得201120yyyyyy-=-，所以120122183122y yyyytt=+，从而00312222xty=-=-=-，又1,02-也在直线12x=-上.综上，点M在直线12x=-上.19.（1）解：由题意知 211

19、1xaxaxaxafxaxxxx-+-=-+=.当0a时，令 0fx，解得1x，令 0fx，解得01x，所以 f x在0,1上单调递减，在1,+上单调递增；学科网（北京）股份有限公司当01a，解得0 xa，令 0fx，解得1ax时，令 0fx，解得01x，令 0fx，解得1xa，所以 f x在0,1上单调递增，在1,a上单调递减，在,a+上单调递增.（2）证明：当1a=时，1lnh xxx=+，则 21xh xx-=，令 0h x，得01x，得1x，所以 h x在0,1上单调递减，在1,+上单调递增，所以 11h xh=，因为 1213210,1,1,1,1nntth tth tth t+=L，要证1322nnnttt+，即证3221nnnntttt+-，又3221,nnnnth tth t+=，即证2211nnnnh tth tt+-.令 1ln1m xh xxxx xx=-=+-，则 2222131240 xxxm xxx-+-=，所以10nm t+，所以210nntt+-，则21nntt+，即2211nnnnh tth tt+-，所以3221nnnntttt+-成立，证毕.