大一高数课件第二章.pptx

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1、PPT,01 单击添加目录项标题02 导数与微分03 导数的应用04 不定积分05 定积分06 常微分方程l导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限l导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质l导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势l导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题幂函数的导数：对于幂函数的导数，使用幂函数的导数公式进行计算商的导数：对于两个函数的商的导数，使用商的导数公式进行计算链式法则：对于复合函数的导数，使用链式法则进行计算乘积法则：对于两个函数的乘积的导数，使用乘积法则进行计算定义

2、法：根据导数的定义，通过求极限来计算导数公式法：利用基本初等函数的导数公式，直接进行计算微分的应用：微分在许多领域都有应用，如物理学、工程学、经济学等。通过微分，我们可以更好地理解函数的变化趋势和性质，从而更好地解决实际问题。微分的计算方法：微分的计算方法包括基本初等函数的微分公式和微分运算法则。通过这些方法，我们可以快速地计算出函数的微分值。微分的定义：微分是函数在某一点的变化率的近似值，是函数在某一点附近的小增量。微分的运算规则：微分的运算规则包括链式法则、乘法法则、除法法则和积分的基本原理。这些规则可以帮助我们更好地理解和应用微分。导数在函数单调性、极值和最值方面的应用导数在几何图形中的

3、应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等微分在近似计算、误差估计等方面的应用导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例添加标题添加标题添加标题添加标题导数大于0与函数增减性的关系导数与单调性的关系导数小于0与函数增减性的关系判断函数单调性的步骤极值的概念与定义最值的求法极值的求法最值的概念与定义定义：曲线上任意两点的连线段的中点，若总是位于这两点的连线的下方，则称该曲线是凹的；反之，若总是位于这两点的连线的上方，则称该曲线是凸的。添加标题判断方法：对于连续函数，可以通过求导数并观察导数的符号变化来判断曲线的凹凸性。如果导数在某区间内大于0，则该区间内的曲线是凹的；如果导数在某区间内小于0，则该区间内

4、的曲线是凸的。添加标题应用：曲线的凹凸性在经济学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在经济学中，凹曲线可以用来描述成本函数或收益函数；在工程学中，凸曲线可以用来描述材料强度或结构稳定性等。添加标题注意事项：在判断曲线的凹凸性时，需要注意函数的定义域和导数的符号变化情况。此外，对于非连续函数或分段函数，需要分别讨论各部分的情况。添加标题l导数在边际分析中的应用：通过导数计算，可以快速得到函数在某一点的边际值，从而帮助经济决策者了解经济变量的变化趋势和敏感度。l导数在弹性分析中的应用：导数可以计算出函数的弹性，即当自变量变化时，因变量变化的程度。这在经济分析中非常重要，可以帮助决策者了解不同经济变

5、量之间的相互影响。l导数在最优控制中的应用：通过求导数并找到函数的极值点，可以确定最优的经济策略或政策。例如，在寻找最大化利润或最小化成本的策略时，导数可以帮助找到最优解。l导数在数理经济学中的应用：导数可以用于建立经济模型，并帮助解释和预测经济现象。例如，通过微分方程可以描述经济增长、人口流动、供需关系等动态过程。不定积分的定义：不定积分是微分的逆运算，表示一个函数的所有原函数。不定积分的性质：不定积分具有线性性质、常数倍性质、微分性质等。不定积分的计算方法：常用的计算方法包括凑微分法、换元法、分部积分法等。不定积分的应用：不定积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。l直接积分法：

6、利用基本积分公式和不定积分的性质进行计算。l换元积分法：通过变量替换将复杂函数化为简单函数，再利用直接积分法计算不定积分。l分部积分法：通过将两个函数相乘后求不定积分，再利用基本积分公式和不定积分的性质进行计算。l特殊函数的不定积分：对于一些特殊函数，如三角函数、指数函数等，需要使用特定的方法进行不定积分的计算。微积分的起源微积分的应用微积分的基本概念微积分的基本原理物理应用：解决速度、加速度、位移等问题经济应用：解决成本、收益、利润等问题几何应用：解决面积、体积等问题实际应用：解决优化问题、控制问题等l定积分的定义：定积分是函数在区间a,b上与直线x=a,x=b及x轴围成的曲边梯形的面积。l

7、定积分的性质：定积分具有线性性质、区间可加性、常数倍性质、不等式性质及积分区间的可加性。l定积分的几何意义：定积分表示函数在区间a,b上与x轴围成的曲边梯形的面积。l定积分的物理意义：定积分可以表示物体在某一区间内所做的功、面积、体积等物理量。添加标题添加标题添加标题添加标题换元法：通过变量替换将复杂函数转化为简单函数，再利用定义法进行计算定义法：通过定义域内的分割、近似、求和、取极限等步骤来计算定积分分部积分法：通过将两个函数相乘后求导数，再利用分部积分公式将原函数转化为另一种形式，从而计算定积分微积分基本原理：利用微积分的基本原理，如微积分的基本公式、微积分的基本定理等，来计算定积分几何意

8、义：定积分表示曲线下面积，即曲线与x轴围成的区域面积。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者准确地理解您传达的思想物理意义：定积分可以表示物体在某个时间段内所做的功、速度或加速度等物理量的变化。定积分的几何意义与物理意义在数学和物理学中都有着广泛的应用，对于理解定积分的概念和应用具有重要意义。定积分的几何意义与物理意义在数学和物理学中都有着广泛的应用，对于理解定积分的概念和应用具有重要意义。微元法的基本思想曲边梯形的面积计算变速直线运动的路程计算液体静压力和功的计算常微分方程的定义：描述一个或多个未知函数及其导数之间关系的方程。常微分方程的分类：根据

9、未知数的个数和方程的形式，常微分方程可以分为一阶、二阶和高阶常微分方程。一阶常微分方程：只含有一个未知函数的常微分方程，如 dy/dx=f(x,y)。二阶常微分方程：含有两个未知函数的常微分方程，如 dy/dx=f(x,y)。高阶常微分方程：含有多个未知函数的常微分方程，如 dy/dx=f(x,y)。线性与非线性：根据方程的性质，常微分方程可以分为线性与非线性。线性方程具有特定的解法，而非线性方程则需要采用不同的方法求解。初值问题与边值问题：根据初始条件和边界条件的不同，常微分方程可以分为初值问题和边值问题。初值问题需要确定未知函数的初始值，而边值问题则需要确定未知函数在边界上的值。定义和分类

10、初值问题通解与特解数值解法定义与分类线性化方法降阶法特殊解法工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。经济领域：用于描述经济系统的动态变化，例如供求关系、价格波动等。自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。添加标题添加标题添加标题添加标题多元函数的连续性定义与性质多元函数的极限定义与性质多元函数极限与连续性的关系多元函数极限与连续性的应用偏导数的定义与性质偏导数的计算方法全微分的定义与性质全微分的计算方法极值的充分条件极值的概念和定义极值的必要条件极值的应用l多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。l多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。l多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。l多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。