实变函数论课件25讲.pptx

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1、实变函数论课件25讲PPT,YOUR LOGO20XX.XX.XX汇报人：PPT目录01单击添加目录项标题02实变函数论概述03集合论基础04实数系基本性质06可数性、选择公理与极限05点集与连续性添加章节标题01实变函数论概述02实变函数论的定义实变函数论是研究实数域上的函数性质和结构的数学分支实变函数论在数学分析的基础上进一步发展了测度理论实变函数论的基本概念包括可测集、可测函数、积分等实变函数论的研究对象是实数域上的可测函数实变函数论的发展历程实变函数论的起源实变函数论在现代数学中的应用实变函数论的代表人物及其贡献实变函数论的发展阶段实变函数论的基本概念实变函数论的定义实变函数论的研究对

2、象实变函数论的基本概念和性质实变函数论的应用集合论基础03集合的定义与性质添加标题添加标题添加标题集合的定义：集合是由某些确定的、不同的元素所组成的，这些元素之间有明确的界限，并且按照某种规律组成的总体。集合的性质：集合具有确定性、互异性和无序性。确定性是指集合中的元素是确定的，互异性是指集合中的元素是互不相同的，无序性则是指集合中的元素没有固定的顺序。空集：空集是不含任何元素的集合，记作。集合的运算：集合的运算包括交、并、差等，这些运算可以用来对集合进行操作和变换。添加标题集合的运算添加标题添加标题添加标题添加标题交集：从两个集合中共同拥有的元素组成的集合并集：将两个集合中的所有元素合并成一

3、个集合差集：从一个集合中去掉另一个集合中的元素组成的集合笛卡尔积：将两个集合中的所有元素组合成一个新的集合集合的基数集合的基数定义集合的基数性质集合的基数运算集合的基数应用实数系基本性质04实数系的定义l实数系是数学中的一个基本概念，它是由所有实数组成的集合l实数系具有连续性和稠密性，即任意两个实数之间都存在其他实数l实数系是有序的，即任意两个实数之间都可以比较大小l实数系是完备的，即对于任何实数序列，都存在收敛的子序列实数系的基本性质实数系是完备的实数系是连续统实数系是有序的实数系具有稠密性实数系的基本运算乘法运算：实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律加法运算：实数的加法运算满足交换律和

4、结合律减法运算：实数的减法运算可以转化为加法运算除法运算：实数的除法运算可以转化为乘法运算点集与连续性05点集的定义与性质点集的分类：离散型和连续型点集的运算：并集、交集、差集等点集的定义：由零个或多个点组成的集合点集的性质：具有空间分布和数量特征连续性的定义与性质添加标题添加标题添加标题添加标题连续性的性质：函数在区间内连续具有连续性、一致性、可微性等性质连续性的定义：函数在某一点连续是指函数在该点的极限值等于函数值连续函数的性质：连续函数具有单调性、有界性、零点定理等性质连续函数的运算性质：连续函数的四则运算、复合运算等运算性质连续函数的性质性质3：若函数在某点连续，则该函数在该点的导数存

5、在。性质4：若函数在某点连续，则该函数在该点的积分值存在。性质5：若函数在某点连续，则该函数在该点的极限值存在。定义：连续函数是指在某区间内，对于自变量的任何取值，因变量都存在且连续的函数。性质1：若函数在某点连续，则该函数在该点两侧的函数值相等。性质2：若函数在某点连续，则该函数在该点的极限值等于该点的函数值。可数性、选择公理与极限06可数性的定义与性质可数集的定义可数集的性质可数集的运算性质可数集的应用选择公理的应用定义：选择公理是实变函数论中的一个基本概念，它允许我们在一个集合中选择一个元素，而不必指定具体的选择方式。应用场景：选择公理在实变函数论中有广泛的应用，例如在证明一些定理、推导

6、一些公式等方面。选择公理的证明：选择公理的证明通常涉及到一些复杂的数学推导和证明，需要一定的数学基础和技巧。选择公理的局限性：虽然选择公理在实变函数论中有广泛的应用，但是它也存在一些局限性，例如在一些情况下，选择公理并不能直接应用。总之，选择公理是实变函数论中的一个重要概念，它在实变函数论中有广泛的应用，但是也需要一定的数学基础和技巧来理解和掌握。总之，选择公理是实变函数论中的一个重要概念，它在实变函数论中有广泛的应用，但是也需要一定的数学基础和技巧来理解和掌握。极限的定义与性质添加标题添加标题添加标题添加标题极限的性质：包括局部有界性、局部保号性等极限的定义：描述函数在某一点处的变化趋势极限

7、的运算性质：与极限的四则运算、极限的加减乘除等极限的应用：在数学分析、微积分等领域的应用测度论基础07测度的定义与性质l测度的定义：测度是定义在集合上的一个实值函数，表示该集合中元素所具有的性质或特征。l测度的性质：测度具有可加性、单调性、对称性等性质，这些性质是测度理论的基础。l测度与概率的关系：在概率论中，概率可以看作是一种特殊的测度，它表示随机事件发生的可能性。l测度在其他领域的应用：测度理论不仅在数学中有广泛的应用，还涉及到物理学、化学、生物学等多个领域。可测集的性质添加标题添加标题添加标题添加标题可测集的构造：可测集可以通过一些简单的集合运算来构造，如并集、交集、补集等。可测集的性质

8、：可测集是实变函数论中的重要概念，它具有一些重要的性质，如可数可加性、单调性等。可测集的性质在实变函数论中的应用：可测集的性质在实变函数论中有广泛的应用，如勒贝格积分的计算、测度论中的一些定理等。可测集与其他数学概念的关系：可测集与一些其他数学概念有密切的联系，如可数可加性、单调性等。测度的运算性质测度的可加性：对于不相交的集合，其测度可以相加测度的可数可加性：对于可数个不相交的集合，其测度可以累加测度的乘法性质：对于两个集合的乘积，其测度等于这两个集合测度的乘积测度的绝对值性质：对于任意集合，其绝对值的测度等于该集合与整个空间的测度的差的绝对值Lebesgue积分理论08Lebesgue积分

9、的定义与性质Lebesgue积分与Riemann积分的关系：Lebesgue积分是Riemann积分的推广，它解决了Riemann积分在处理不连续函数时的局限性。Lebesgue积分的计算方法：Lebesgue积分的计算方法主要包括划分区间、构造简单函数、利用微积分基本原理等步骤。Lebesgue积分的定义：Lebesgue积分是实变函数论中的一种积分，它通过划分区间、构造简单函数等方式，将不连续的函数转化为连续的函数，从而进行积分。Lebesgue积分的性质：Lebesgue积分具有一些重要的性质，如线性性质、可加性、单调性等。这些性质使得Lebesgue积分在实变函数论中具有广泛的应用。可

10、积函数的性质可积函数的判定：对于一些特殊的函数，可以通过一些判定条件来判断它们是否可积。可积函数的定义：如果一个函数在某个区间上的积分存在，则该函数在该区间上可积。可积函数的性质：可积函数具有一些重要的性质，例如可积函数在区间上的积分值是唯一的，并且具有可加性。可积函数的应用：可积函数在数学、物理和其他领域中都有广泛的应用。Lebesgue积分的计算方法定义：Lebesgue积分是实变函数论中的一种积分，它通过将积分区间划分为一系列小区间并计算每个小区间的函数值来计算积分计算步骤：首先确定被积函数的定义域，然后根据定义将积分区间划分为一系列小区间，计算每个小区间的函数值，最后将这些函数值相加得

11、到积分值注意事项：在计算Lebesgue积分时，需要注意被积函数的可积性条件，即被积函数在积分区间上必须是可测的应用：Lebesgue积分在数学分析、概率论、统计学等领域有着广泛的应用微分与不定积分09微分的定义与性质l微分的定义：微分是函数在某一点的变化率，是函数值的增量与自变量增量的比值l微分的性质：微分具有线性、可加性、可微性等性质，这些性质在解决实际问题中具有重要作用l微分与不定积分的关系：不定积分是微分的逆运算，通过不定积分可以求得原函数的表达式l微分的应用：微分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题不定积分的定义与性质不定积分的计算方法：通过凑

12、微分、换元法、分部积分等方法计算不定积分。不定积分的定义：不定积分是微分的逆运算，表示函数的不定积分。不定积分的性质：不定积分具有线性性质、常数性质、微分性质和积分性质。不定积分的应用：不定积分在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。微分与不定积分的应用不定积分的应用：不定积分在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，例如计算物体的速度、加速度等。微分的应用：微分在近似计算、函数图像的描绘、优化问题等领域有着广泛的应用。不定积分的计算：不定积分是微分的逆运算，通过不定积分可以求得原函数的值。微分与不定积分的联系：微分与不定积分是相互联系的，通过微分可以求得原函数的导数，而通过不定积分可以求得原函

13、数的值。级数与函数项级数010级数的定义与性质级数的定义：级数是一系列数字的序列，按照一定的顺序排列而成级数的应用：级数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用级数的分类：按照级数的项数可以分为有限项级数和无穷项级数级数的性质：级数具有收敛性、连续性和可微性等性质函数项级数的定义与性质函数项级数的定义函数项级数的性质函数项级数的收敛性函数项级数的展开级数与函数项级数的应用函数项级数在近似计算中的应用函数项级数在微分方程求解中的应用函数项级数在信号处理和图像处理中的应用函数项级数在数值分析中的应用多元函数的微积分学011多元函数的定义与性质多元函数的定义：由多个自变量和一个因变量构成的函数多元函数的性质：包括连续性、可微性、偏导数等多元函数的极限：定义和基本性质多元函数的积分：包括二重积分、三重积分等多元函数的微分学多元函数的极限与连续性多元函数的偏导数与全微分多元函数的极值与最值多元函数的微分学在几何中的应用多元函数的积分学l多元函数的积分定义l多元函数的积分性质l多元函数的积分计算方法l多元函数的积分应用THANK YOUYOUR LOGO汇报人：PPT