高等数学方明亮版课件13函数的极限.pptx

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1、高等数学方明亮版课件13函数的极限单击添加副标题汇报人：目录01单击添加目录项标题03函数极限的求法05函数极限的扩展02函数极限的定义04函数极限的应用添加章节标题01函数极限的定义02函数极限的描述函数极限的定义是函数在某点或某区间上的极限值等于该点或该区间上的函数值函数极限是指函数在某点或某区间上的极限值极限值是指函数在该点或该区间上的极限值函数极限的定义是函数在某点或某区间上的极限值等于该点或该区间上的函数值函数极限的数学表达函数极限的定义：函数在某点处的极限是指函数在该点附近的变化趋势。极限的表示方法：通 常 用 符 号lim表 示，如lim(xa)f(x)=L，其中a是函数f(x)

2、的定义域内的 一 个 点，L是函 数 f(x)在 点 a处的极限值。极限的性质：极限具有保号性、保序性、保连续性等性质。极限的应用：函数极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。函数极限的性质极限值连续性：如果函数f(x)在x0处的极限存在，那么对于任意小的0，存在0，使得当|x-x0|时，|f(x)-f(x0)|0，存在0，使得当|x-x0|时，|f(x)-L|a)f(x)*g(x)=lim(x-a)f(x)*lim(x-a)g(x)极限的加法法则：lim(x-a)f(x)+g(x)=lim(x-a)f(x)+lim(x-a)g(x)极限的减法法则：lim(x-a)f(x)-g(x

3、)=lim(x-a)f(x)-lim(x-a)g(x)极限的除法法则：lim(x-a)f(x)/g(x)=lim(x-a)f(x)/lim(x-a)g(x)极限的等价无穷小替换示例：在求极限lim(x-0)(x3+x2-x-1)/(x2+x)时，可以使用等价无穷小替换，将x3+x2-x-1替换为x3，将x2+x替换为x2，从而简化计算替换原则：替换后的无穷小量与原无穷小量在极限过程中具有相同的阶概念：等价无穷小替换是指在求极限的过程中，将函数中的某些部分替换为等价的无穷小量，以简化计算适用条件：当函数中的某些部分为无穷小量时，可以使用等价无穷小替换洛必达法则洛必达法则是求函数极限的一种方法洛必

4、达法则适用于0/0型和/型未定式洛必达法则的基本形式是：lim(xa)f(x)/g(x)=lim(xa)f(x)/g(x)洛必达法则的推广形式是：lim(xa)f(x)/g(x)n=lim(xa)f(x)/g(x)n泰勒公式l泰勒公式是微积分中的一个重要公式，用于近似计算函数的值l泰勒公式可以将一个函数展开为多项式形式，便于计算l泰勒公式的适用范围：函数在x=0处可导，且导数在x=0处存在l泰勒公式的推导过程：通过求导和积分得到l泰勒公式的应用：在数值分析、优化算法、物理等领域有广泛应用函数极限的应用04利用函数极限证明等式或不等式利用函数极限证明等式或不等式是函数极限的一个重要应用利用函数极

5、限证明等式或不等式可以帮助我们解决一些实际问题利用函数极限证明等式或不等式可以帮助我们理解函数的极限和连续性之间的关系利用函数极限证明等式或不等式可以帮助我们理解函数的性质和规律利用函数极限求函数的值求函数极限的方法：直接代入法、洛必达法则、泰勒公式等求函数极限的步骤：确定函数极限的定义域、确定函数极限的值域、确定函数极限的性质等极限的定义：函数在某点或某区间上的极限值极限的应用：求函数的值、求函数的导数、求函数的积分等利用函数极限研究函数的性质连续性：函数在某点或某区间上的极限存在，则函数在该点或该区间上连续单调性：函数在某点或某区间上的极限存在，且极限值大于或小于函数在该点或该区间上的值，

6、则函数在该点或该区间上单调递增或递减极值：函数在某点或某区间上的极限存在，且极限值大于或小于函数在该点或该区间上的值，则函数在该点或该区间上存在极值导数：函数在某点或某区间上的极限存在，且极限值等于函数在该点或该区间上的导数，则函数在该点或该区间上可导利用函数极限解决实际问题求极限：通过函数极限的定义和性质，求解函数在某点或某区间的极限值求导数：利用函数极限的定义和性质，求解函数的导数求积分：利用函数极限的定义和性质，求解函数的积分求最大值和最小值：利用函数极限的定义和性质，求解函数的最大值和最小值求渐近线：利用函数极限的定义和性质，求解函数的渐近线求极限值：利用函数极限的定义和性质，求解函数

7、的极限值函数极限的扩展05无穷小与无穷大无穷小：一个函数在某点或某区间内无限趋近于0，但不等于0无穷大：一个函数在某点或某区间内无限趋近于正无穷或负无穷，但不等于正无穷或负无穷极限：函数在某点或某区间内的极限值，表示函数在该点或该区间内的变化趋势无穷小与无穷大的关系：无穷小与无穷大是函数极限的两个极端情况，它们共同构成了函数极限的基本概念无穷小的阶的比较l无穷小阶的定义：无穷小量之间的比较l无穷小阶的比较方法：使用等价无穷小替换l无穷小阶的应用：在极限计算中，无穷小阶的比较可以帮助我们更快地找到极限值l无穷小阶的性质：无穷小阶的大小与函数值的大小无关，只与函数的变化趋势有关无穷大的分类无穷大和无穷小的关系：无穷大和无穷小是相对的，无穷大比任何其他数都大，无穷小比任何其他数都小无穷大：表示一个数比任何其他数都大无穷小：表示一个数比任何其他数都小无穷大的分类：无穷大可以分为正无穷大和负无穷大，正无穷大表示一个数比任何其他正数都大，负无穷大表示一个数比任何其他负数都小无穷小与无穷大的应用l极限的定义：函数在某点或某区间的极限l无穷小与无穷大的概念：无穷小是极限为0的函数，无穷大是极限为无穷大的函数l无穷小与无穷大的性质：无穷小与无穷大是极限的特例，具有极限的性质l无穷小与无穷大的应用：在解决极限问题、微积分问题、函数分析等问题中，无穷小与无穷大是重要的工具和方法。感谢观看汇报人：