高等数学课件110初等函数的连续性.pptx

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1、添加副添加副标题高等数学高等数学课件件1-101-10初等函数初等函数的的连续性性汇报人：人：C C O ON N T T E E N N T T S S 目目录02连续性概念04初等函数在闭区间上的连续性06初等函数在间断点上的连续性01添加目录标题03初等函数的连续性05初等函数在无穷区间上的连续性0101添加章添加章节标题0202连续性概念性概念连续性的定性的定义连续性的定义是函数在某点或某区间上的取值是否连续连续性是指函数在某点或某区间上的取值是否连续连续性的定义是函数在某点或某区间上的取值是否连续连续性的定义是函数在某点或某区间上的取值是否连续连续性的性性的性质l连续性是函数在某点或

2、某区间上的性质，表示函数在该点或该区间上的值是连续的。l连续性是函数在某点或某区间上的极限值等于该点或该区间上的函数值。l连续性是函数在某点或某区间上的导数存在且等于该点或该区间上的函数值。l连续性是函数在某点或某区间上的积分存在且等于该点或该区间上的函数值。连续函数的基本性函数的基本性质连续函数在定义域内任意点处都有确定的值连续函数在定义域内任意点处的导数等于该点的函数值连续函数在定义域内任意点处的导数存在且等于该点的函数值连续函数在定义域内任意点处的极限值等于该点的函数值0303初等函数的初等函数的连续性性一次函数的一次函数的连续性性定义：一次函数y=ax+b，其中a、b为常数证明：利用极

3、限的定义，可以证明一次函数在定义域内是连续的应用：一次函数的连续性在解决实际问题中具有重要意义，如求极限、求导等连续性：在定义域内，一次函数是连续的二次函数的二次函数的连续性性二次函数：y=ax2+bx+c连续性：在定义域内，函数值是连续的极限：当x趋近于无穷大时，函数值趋近于无穷大应用：二次函数在解决实际问题中的应用广泛，如物理、工程等领域三角函数的三角函数的连续性性l三角函数：正弦、余弦、正切、余切等l连续性：在定义域内，三角函数是连续的l证明：利用极限和导数的定义，可以证明三角函数的连续性l应用：三角函数的连续性在解决实际问题中具有重要意义，如工程计算、物理模拟等指数函数的指数函数的连续

4、性性证明：利用极限的定义和性质，可以证明指数函数在定义域内是连续的应用：指数函数在连续性方面的应用，如求解极限、求导等指数函数：y=ax，其中a0且a1连续性：指数函数在定义域内是连续的0404初等函数在初等函数在闭区区间上的上的连续性性闭区区间上上连续函数的性函数的性质添加添加标题添加添加标题添加添加标题添加添加标题有界性：函数在闭区间上的值域是有界的连续性：函数在闭区间上任意一点处都有定义，且值域连续最值性：函数在闭区间上的最大值和最小值都存在介值性：函数在闭区间上任意两点之间的值域是连续的闭区区间上上连续函数的最大函数的最大值和最小和最小值定理定理闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值最

5、大值和最小值定理的证明方法最大值和最小值定理的应用闭区间上连续函数的最大值和最小值的计算方法闭区区间上上连续函数的中函数的中值定理定理l中值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，那么存在一个(a,b)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)l证明：利用极限的定义和连续函数的性质，可以证明中值定理l应用：中值定理是解决函数在闭区间上连续性问题的重要工具，可以用于证明函数的连续性、单调性、极值等性质l注意事项：在使用中值定理时，需要注意函数的连续性和可导性，以及区间的封闭性闭区区间上上连续函数的零点定理函数的零点定理添加添加标题零点定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(

6、b)0，则存在至少一个x0(a,b)，使得f(x0)=0。添加添加标题证明：利用介值定理和连续函数的性质，可以证明零点定理。添加添加标题应用：零点定理是解决函数零点问题的重要工具，可以应用于求解方程、不等式等问题。添加添加标题注意事项：在使用零点定理时，需要注意函数的连续性和区间的封闭性，以及f(a)f(b)的符号。0505初等函数在无初等函数在无穷区区间上上的的连续性性无无穷区区间上上连续函数的性函数的性质l连续性：函数在无穷区间上任意一点处都有定义，且其值域也是无穷的l极限性：函数在无穷区间上任意一点处的极限都存在，且其极限值也是无穷的l单调性：函数在无穷区间上可能存在单调性，也可能不存在

7、单调性l导数性：函数在无穷区间上可能存在导数，也可能不存在导数无无穷区区间上上连续函数的极限定理函数的极限定理l极限定理：如果函数f(x)在无穷区间上连续，那么f(x)在无穷区间上的极限存在l证明方法：使用极限的定义和连续函数的性质l应用：无穷区间上连续函数的极限定理是解决无穷区间上连续函数问题的重要工具l注意事项：在使用无穷区间上连续函数的极限定理时，需要注意函数的连续性和极限的存在性无无穷区区间上上连续函数的函数的积分定理分定理积分定理：在无穷区间上，连续函数的积分等于其极限值应用：求解无穷区间上的积分问题注意事项：在应用积分定理时，需要注意函数的连续性和极限的存在性证明方法：使用极限的定

8、义和积分的定义进行证明无无穷区区间上上连续函数的微分定理函数的微分定理微分定理：在无穷区间上，连续函数满足微分定理连续性：在无穷区间上，连续函数满足连续性微分定理的应用：在无穷区间上，连续函数满足微分定理的应用连续函数的性质：在无穷区间上，连续函数满足连续函数的性质0606初等函数在初等函数在间断点上的断点上的连续性性间断点的定断点的定义和分和分类l间断点：函数在某点处没有定义的点l分类：可数间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点l可数间断点：函数在该点处左右极限都存在，但左右极限不相等l跳跃间断点：函数在该点处左右极限都存在，但左右极限不相等l无穷间断点：函数在该点处左右极限至少有一个不

9、存在l振荡间断点：函数在该点处左右极限都存在，但左右极限不相等第一第一类间断点的性断点的性质和判定和判定性质：第一类间断点也称为跳跃间断点，是指函数在该点处没有定义或者函数值不连续例子：例如，函数f(x)=x2-x在x=0处存在第一类间断点应用：第一类间断点的性质和判定在解决实际问题中具有重要意义，例如在工程计算、物理模型分析等领域判定方法：可以通过求极限来判断函数在该点是否存在第一类间断点第二第二类间断点的性断点的性质和判定和判定第二类间断点：函数在该点处无定义或未定义性质：函数在该点处不连续，但左右极限存在且相等判定方法：使用极限的定义和性质进行判定应用：在解决实际问题时，需要判断函数在该点是否连续，从而确定其性质和判定方法间断点断点处函数函数值的的计算方法算方法利用极限定义：通过计算极限来确定函数在间断点处的值利用级数定义：通过计算级数来确定函数在间断点处的值利用导数定义：通过计算导数来确定函数在间断点处的值利用解析延拓：通过解析延拓来确定函数在间断点处的值利用积分定义：通过计算积分来确定函数在间断点处的值利用特殊函数：通过特殊函数来确定函数在间断点处的值感感谢您的耐心您的耐心观看看汇报人：人：