高数课件21多元函数微分学.pptx

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1、添加副添加副标题多元函数微分学多元函数微分学汇报人：人：C C O ON N T T E E N N T T S S 目目录02多元函数微分学的基本概念04多元函数的导数与偏导数06多元函数微分学的应用01添加目录标题03多元函数的可微性05多元函数的极值与最值0101添加章添加章节标题0202多元函数微分学的基本多元函数微分学的基本概念概念多元函数的极限多元函数的极限计算方法：使用极限的定义或极限的性质进行计算应用：多元函数的极限在多元函数微分学中具有重要的地位，是研究多元函数微分的基础定义：多元函数在某点处的极限是指函数在该点附近的变化趋势性质：极限值与自变量的变化无关，只与函数在该点的值

2、有关偏偏导数数性质：偏导数具有线性性、连续性、可微性等性质定义：多元函数在某一点处对某个自变量的偏导数是该函数在该点处对该自变量的变化率计算方法：使用偏导数公式进行计算应用：在多元函数微分学中，偏导数是研究函数性质、求解函数极值、最大值、最小值等问题的重要工具全微分全微分定义：多元函数在某点处的全微分是函数在该点处的所有偏导数的线性组合性质：全微分是函数在该点处的线性近似计算方法：使用多元函数微分学的基本概念和公式进行计算应用：在多元函数微分学的研究中，全微分是重要的工具和方法方向方向导数数定义：函数在某点处沿某一方向的导数几何意义：函数在某点处沿某一方向的变化率计算方法：偏导数与方向余弦的乘

3、积应用：求函数在某点处的最大（小）值，判断函数的极值点，求函数的梯度等0303多元函数的可微性多元函数的可微性可微性的定可微性的定义可微性的性质：多元函数在某点处可微，意味着在该点处存在一个线性映射，使得函数在该点附近的变化可以近似为该线性映射的图像。可微性的应用：多元函数可微性的定义在多元函数微分学中具有重要的应用价值，它可以帮助我们理解和分析多元函数的性质和变化规律。多元函数可微性的定义：多元函数在某点处可微，是指在该点处存在一个线性映射，使得函数在该点附近的变化可以近似为该线性映射的图像。可微性的条件：多元函数在某点处可微，需要满足两个条件：其一，函数在该点处连续；其二，函数在该点处的偏

4、导数存在且连续。可微性的判定可微性的判定偏导数存在：对于多元函数，每个自变量都有对应的偏导数偏导数连续：对于多元函数，每个自变量的偏导数都是连续的偏导数可微：对于多元函数，每个自变量的偏导数都是可微的偏导数可积：对于多元函数，每个自变量的偏导数都是可积的偏导数可导：对于多元函数，每个自变量的偏导数都是可导的偏导数可微：对于多元函数，每个自变量的偏导数都是可微的可微性的性可微性的性质局部性：多元函数在某点可微，并不意味着在整个定义域内都可微线性性：多元函数的可微性是线性的，即如果f(x,y)在(x0,y0)处可微，那么f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是线性的连续性：多元函数的可微性要求函数

5、在可微点处连续方向性：多元函数的可微性具有方向性，即偏导数在某点处的值与该点的方向有关0404多元函数的多元函数的导数与偏数与偏导数数链式法式法则链式法则是微积分中的一个重要定理，用于计算多元函数的导数链式法则的基本形式为：(f(g(x)=f(g(x)*g(x)链式法则的应用广泛，可以用于求解多元函数的导数、偏导数等问题链式法则在多元函数微分学中具有重要的地位，是理解多元函数微分学的基础之一高高阶偏偏导数数定义：多元函数在某点处的所有偏导数计算方法：使用链式法则性质：高阶偏导数是线性的应用：在多元函数优化、微分方程等领域有广泛应用偏偏导数的几何意数的几何意义偏导数是函数在某一点处沿某一方向的变

6、化率偏导数可以表示函数在某一点处的切线斜率偏导数可以表示函数在某一点处的方向导数偏导数可以表示函数在某一点处的梯度向量0505多元函数的极多元函数的极值与最与最值极极值的定的定义与判定与判定添加添加标题极值的定义：多元函数在某点处的极值是指在该点处函数值大于或等于其邻域内的所有函数值添加添加标题极值的判定：多元函数在某点处的极值可以通过求解其偏导数等于零，并判断其海森矩阵的正定性来判断添加添加标题极值的分类：极值可以分为局部极值和全局极值，局部极值是指在局部范围内函数值最大或最小的点，全局极值是指在整个定义域内函数值最大或最小的点添加添加标题极值的应用：极值在优化问题、工程设计、经济管理等领域

7、有着广泛的应用最最值的定的定义与判定与判定l最值：多元函数在某点处的值，是该函数在该点附近的最大值或最小值l极值：多元函数在某点处的值，是该函数在该点附近的最大值或最小值l判定方法：使用多元函数的导数，判断函数在该点处的导数是否为零，以及该点处的二阶导数是否为正或负l应用：在多元函数微分学中，最值与极值的判定是解决实际问题的重要工具，如优化问题、物理问题等条件极条件极值与拉格朗日乘数法与拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法：一种求解多元函数极值的方法拉格朗日函数：构造一个包含原函数和约束条件的函数拉格朗日条件：使拉格朗日函数对各个自变量求偏导数等于零拉格朗日乘数：满足拉格朗日条件的参数值拉格朗日乘数法

8、的应用：求解多元函数的极值和最值0606多元函数微分学的多元函数微分学的应用用曲曲线的切的切线与法平面与法平面切线：曲线在某一点的切线是曲线在该点处的切线方程法平面：法平面是曲线在某一点的切线与曲线在该点处的法向量所构成的平面切线与法平面的关系：切线是法平面与曲线的交点，法平面是切线与曲线的切线方程所构成的平面应用：切线与法平面在多元函数微分学中常用于求解多元函数的极值、拐点等问题曲面的切平面与法曲面的切平面与法线切平面与法线的关系：切平面与法线垂直，法线是切平面的法线切平面：曲面在某一点的切平面是过该点的所有切线所在的平面法线：曲面在某一点的法线是切平面的法线，垂直于切平面应用：切平面与法线在多元函数微分学中常用于计算曲面的梯度、方向导数等多元函数的极多元函数的极值应用用极值在多元函数中的实际应用极值在多元函数中的定义极值在多元函数中的求解方法极值在多元函数中的优化问题感感谢您的耐心您的耐心观看看汇报人：人：