高等数学微积分课件第八章多元函数微积分81预备知识.pptx

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1、,高等数学微积分课件-第八章多元函数微积分81预备知识汇报人：CONTENTS目录01添加目录标题02多元函数微积分的基本概念05多元函数的极值与最值06多元函数微积分的应用举例03多元函数的导数与偏导数04向量代数与空间解析几何基础第 一 章单击添加章节标题第 二 章多元函数微积分的基本概念多元函数的定义多元函数：定义在 n维 空 间 上 的函数，其输入值和输出值都是向量输 入 值：n维 向量x=(x1,x2,.,xn)输 出 值：n维 向量y=(y1,y2,.,yn)多元函数的表示：f(x)=(f1(x),f2(x),.,fn(x)多元函数的极限定义：多元函数在某点处的极限是指函数在该点附

2、近的值与该点处的函数值之差的极限性质：极限的性质包括极限的保号性、极限的局部有界性、极限的局部保号性等计算方法：多元函数的极限可以通过求偏导数、求极限、求导数等方法计算应用：多元函数的极限在多元函数微积分中具有重要的应用，如多元函数的连续性、可微性、可积性等多元函数的连续性连续性性质：多元函数在某点处的连续性是局部性质连续性定义：多元函数在某点处的极限值等于该点处的函数值连续性条件：多元函数在某点处的偏导数存在且连续连续性应用：多元函数在某点处的连续性是求解多元函数微积分问题的基础第 三 章多元函数的导数与偏导数偏导数的定义与性质偏导数的定义：多元函数在某一点处的偏导数是该函数在该点处沿某一特

3、定方向上的导数偏导数的性质：偏导数是线性的，即偏导数与自变量的线性组合的导数等于偏导数的线性组合偏导数的计算：通过求导公式或链式法则计算偏导数偏导数的应用：在多元函数微积分中，偏导数是研究多元函数性质的重要工具，如多元函数的极值、最值、条件极值等问题都需要用到偏导数高阶偏导数定义：多元函数在某点处对两个或多个自变量的偏导数的偏导数应用：在多元函数微积分中，高阶偏导数常用于求解极值、最值等问题计算方法：使用链式法则进行计算性质：高阶偏导数是二阶及以上的偏导数全微分全微分的定义：多元函数在某点处的全微分是函数在该点处所有偏导数的线性组合全微分的表示：f(x,y)=f(x,y0)+f/x(x,y0)

4、dx+f/y(x,y0)dy全微分的性质：全微分是函数在某点处的局部线性近似全微分的应用：在多元函数微积分中，全微分是计算多元函数导数和偏导数的基础第 四 章向量代数与空间解析几何基础向量及其运算l向量的定义：向量是具有大小和方向的量l向量的表示方法：用有向线段表示，箭头表示方向，线段长度表示大小l向量的运算：加法、减法、数乘、向量积、混合积等l向量的性质：线性、可加性、可乘性、可逆性等l向量的应用：物理、工程、计算机科学等领域向量的数量积与向量积向量的向量积性质：满足反交换律、反结合律和反分配律向量的数量积与向量积的应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、力偶等向量的数量积：也称为点积或

5、内积，是两个向量对应分量的乘积之和向量的向量积：也称为叉积或外积，是两个向量对应分量的乘积之差向量的数量积性质：满足交换律、结合律和分配律向量的混合积添加标题添加标题添加标题添加标题性质：向量的混合积满足交换律和结合律定义：向量的混合积是三个向量的乘积，其结果是一个向量计算方法：向量的混合积可以通过向量的叉乘和点乘来计算应用：向量的混合积在物理、工程等领域有广泛应用，如计算力矩、角速度等空间解析几何基础向量场与微分方程：向量场与微分方程的关系，如向量场的积分曲线与微分方程的解的关系向量场与流形：向量场在流形上的积分和微分向量空间：由向量组成的集合，具有加法和数乘运算向量场：空间中每个点都对应一

6、个向量，形成向量场向量代数：向量的加法、减法、数乘、向量积等运算空间解析几何：研究空间中点、线、面等几何对象的性质和相互关系第 五 章多元函数的极值与最值多元函数的极值极值类型：局部极值、全局极值、鞍点极值求解方法：多元函数求导、偏导数等于0、Hessian矩阵正定或负定极值定义：多元函数在某点处的值大于或等于其邻域内的所有值极值条件：多元函数在某点处的偏导数等于0多元函数的最值l最值定义：多元函数在某点处的最值是指在该点处函数值达到最大或最小值l极值条件：多元函数在某点处的偏导数等于0，且该点处的海森矩阵的行列式大于0l极值判定：多元函数在某点处的偏导数等于0，且该点处的海森矩阵的行列式小于

7、0l最值求解：通过求解多元函数的偏导数和海森矩阵，判断函数在该点处的极值和最值条件极值与无约束最值问题极值判定：多元函数在某点取得极值的充分条件极值求解：利用极值条件与极值判定求解多元函数的极值与最值应用实例：求解多元函数的极值与最值在实际问题中的应用条件极值：在满足一定条件下，多元函数取得极值的问题无约束最值：在无任何约束条件下，多元函数取得最值的问题极值条件：多元函数在某点取得极值的必要条件第 六 章多元函数微积分的应用举例曲面的面积计算公式曲 面 的 面 积计 算 公 式：S=f(x,y)dxdy积 分 区 域：D=(x,y)|axb,cyd积 分 变 量：x,y积 分 函 数：f(x,

8、y)，表示曲 面 在 点(x,y)处 的 高度积 分 方 法：通 常 采 用 数值积分方法，如 矩 形 法、梯 形 法、辛普森法等空间立体的体积计算公式公式：V=f(x,y,z)dxdydz应用：计算空间立体的体积前提：已知空间立体的密度函数f(x,y,z)计算方法：将空间立体划分为若干个小立体，然后计算每个小立体的体积，最后求和得到整个空间立体的体积。多元函数的极值在几何上的应用极值在几何上的意义：表示函数在某点处的值是最大或最小值极值在几何上的应用：可以应用于求曲线的拐点、最大值和最小值极值在几何上的求解方法：通过求导数、求二阶导数等方法求解极值在几何上的应用实例：如求抛物线的顶点、椭圆的焦点等感谢您的观看汇报人：