2024届揭阳二模数学试题+答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 高三数学高三数学 注意事项注意事项：1.答题前答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动如需改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上.写在本试卷写在本试卷上无效上无效.3.考试结束后考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一

2、并交回.4.本试卷主要考试内容本试卷主要考试内容：高考全部内容高考全部内容.一、选择题一、选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.已知复数z在复平面内对应的点为(),a b，且i4z+=，则（）A.()2214ab+=B.()22116ab+=C.()2214ab+=D.()22116ab+=2.已知函数()21f xxax=+在()2,6上不单调，则a的取值范围为（）A.()2,6 B.(),26,+C.()4,12 D.(),412,+3.已知椭圆的

3、长轴长是短轴长的7倍，则该椭圆的离心率为（）A.77 B.147 C.357 D.427 4.把函数()3sin3f xx=的图象向左平移14个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）A.33sin 34yx=+B.33sin 34yx=C.3cos3yx=D.3cos3yx=5.已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且l，m，下列命题为真命题的是（）A.若/l m，则/B.若/，则/l C.若lm，则l D.若，则/l m 学科网（北京）股份有限公司 6.如果方程(),0F x y=能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程(),0F x y=中

4、，把y看成x的函数()yy x=，则方程可看成关于x的恒等式()(),0F x y x=，在等式两边同时对x求导，然后解出()y x即可.例如，求由方程221xy+=所确定的隐函数的导数y，将方程221xy+=的两边同时对x求导，则220 xy y+=（()yy x=是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得xyy=（0y）.那么曲线ln2xyy+=在点()2,1处的切线方程为（）A.310 xy+=B.350 xy+=C.350 xy=D.2370 xy+=7.如图，正四棱台容器1111ABCDABC D的高为12cm，10cmAB=，112cmAB=，容器中水的高度为6cm.现将 57 个

5、大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57 个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（）A.31cm B.32cm C.33cm D.34cm 8.在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据()11,x y，()22,x y，()55,x y，()6,28，()0,28，利用此样本数据求得的经验回归方程为7101667yx=+，现发现数据()6,28和()0,28误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为4yxm=+，且51140iiy=，则m=（）A.8 B.12 C.16 D.20 二、选择题二、选择题：本题共本题共 3 小题小题，

6、每小题每小题 6 分分，共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分分，部分选对的得部分分部分选对的得部分分，有选错的得有选错的得 0 分分.9.若表示集合M和N关系的 Venn 图如图所示，则M，N可能是（）学科网（北京）股份有限公司 A.0,2,4,6M=，4N=B.21Mx x=C.lgMx yx=，e5xNy y=+D.()22,Mx y xy=，(),Nx yyx=10.已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为ABC的重心，1cos5A=，2AO=，则（）A.1144AOABAC=+B.

7、3AB AC C.ABC的面积的最大值为3 6 D.a的最小值为2 5 11.已知定义在R上的函数()f x满足()()224fxfxx+=.若()23fx的图象关于点()2,1对称，且()00f=，则（）A.()f x的图象关于点()1,1对称 B.函数()()2g xf xx=的图象关于直线2x=对称 C.函数()()2g xf xx=的周期为 2 D.()()()12502499fff+=三、填空题三、填空题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分.12.智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装

8、备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购 2 台自动育秧机和 3 台自动插秧机，现有 6 台不同的自动育秧机和 5 台不同的自动插秧机可供选择，则共_有种不同的选择方案.13.已知2sinsin2=，则tan=_，tan4+=_.14.已知1F，2F分别是双曲线E：221412xy=的左、右焦点，M是E的左支上一点，过2F作12FMF角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则ON=_.四、解答题四、解答题：本题共本题共 5 小题小题，共共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）在等差数列 na中

9、，26a=，且等差数列1nnaa+的公差为 4.学科网（北京）股份有限公司（1）求10a；（2）若2111nnnnbaa a+=+，数列 nb的前n项和为nS，证明：21228nSnn）的焦点为F，已知点F到圆E：()2231xy+=上一点的距离的最大值为 6.（1）求抛物线C的方程.（2）设O是坐标原点，点()2,4P，A，B是抛物线C上异于点P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于，NM两点（异于点O），且O是线段MN的中点，试判断直线AB是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.学科网（北京）股份有限公司 19.（17 分）已知函数()lnexaxfxx=.（1）当1a=时，

10、证明：()f x是增函数.（2）若()f xx恒成立，求a的取值范围.（3）证明：()e 1 eln2ln3ln23e 1nnnn+（2n，nN）.学科网（北京）股份有限公司 高三数学参考答案高三数学参考答案 1.B 由题意得izab=+，所以()1 i4ab+=，则()22116ab+=.2.C ()22124aafxx=+，则262a，得412a，()()22,x yyxx yxy=，B 错误，D 正确.学科网（北京）股份有限公司 10.BC 取BC的中点D，连接AD（图略），则211333AOADABAC=+，A 错误.由1133AOABAC=+，得22292ACABACAB AC=+，

11、则222212362555cbbcbcbcbc=+=，即15bc，当且仅当15bc=时，等号成立，所以1cos35AB ACbcAbc=，B 正确.由1cos5A=，得2 6sin5A=，所以16sin3 625ABCSbcAbc=，C 正确.由222365cbbc=+，得222365cbbc+=，所以22242cos36245abcbcAbc=+=，得2 6a，D 错误.11.ABD 因为()23fx的图象关于点()2,1对称，所以()()()232 432fxfx+=，即()()23522fxfx+=，从而()()352f xfx+=，则()f x的图象关于点()1,1对称，A 正确.由(

12、)()224fxfxx+=，可得()()()()22 222 2fxxfxx+=，则()()22gxgx+=，所以()g x的图象关于直线2x=对称，B 正确.()()()()()()()()1112 112 11142gxgxfxxfxxfxfx+=+=+=，则()g x的图象关于点()1,1对称，故()g x是以 4 为周期的函数，即()()4g xg x+=，C 错误.因为()()002 00gf=，()11g=，()()2202gg=，()()311gg=，所以()()()()()()()125012502 1 250fffggg+=+4 12 1 225502499=+=，D 正确.

13、12.150 不同的选择方案共有2365C C150=种.13.0 或 2；1 或3 由题意得2sin2sincos=，得sin0=或sin2cos0=，即tan0=或2，所以tantan144+=或tan1tan341 tan+=.14.2 延长2F N，1MF，使它们交于点P（图略）.因为MN平分12FMF，2F NMN，所以2MPMF=，则112124PFMPMFMFMFa=.故1122ONPF=.15.（1）解：设 na的公差为d，由题意得()23123124aaaaaad+=+=，得2d=，学科网（北京）股份有限公司 所以102822aad=+=.（2）证明：由（1）得()2222n

14、aandn=+=+，()()111144412412nbnnnnnn=+=+，则()11 11111144 2334122nn nSnn+=+2211122228488nnnnn=+，128yyt+=，128y ym=.直线PA的方程为()114422yyxx=，学科网（北京）股份有限公司 令0 x=，得111422Mxyyx=，同理可得222422Nxyyx=.因为O是线段MN的中点，所以112212424202xyxyxx+=，整理得()()()121212211288240 x xxxx yx yyy+=，即()()()()22121212121212124084iy yyyy yy y

15、yyyy+=，则2282240mtmtmt+=，所以()()2420mtmt+=.若420mt+=，则直线AB经过点P，不符合题意.若20mt=，则直线AB的方程为2xtyt=+，经过定点()0,2.19.（1）证明：当1a=时，()lnexxfxx=，则()211eeexxxxxxfxxx+=.令()2exg xxx=+，则()e210 xgxx=+在()0,+上恒成立，则()g x在()0,+上单调递增，则()()01g xg=，故()0fx在()0,+上恒成立，()f x是增函数.（2）解：当0 x 时，()f xx等价于nee lxxxax 令()e lnexxxxh xx=，则()()()2e1 ln1xxxxh xx=，令()ln1xxx=，则()1xxx=，当()0,1x时，()0 x，()x单调递增，当()1,x+时，()0 x，()h x单调递增，当()1,x+时，()0h x，()h x单调递减，则()()1eh xh=，所以()maxah x，即ea ，故a的取值范围为)e,+.（3）证明：由（2）可知，当ea=时，有1lnexxxx+，则1ln11exxx，所以1ln2112e，1ln11ennn，故()()1e 1eln2ln3ln11123eee 1nnnnnn+=.