湖南雅礼教育集团2024年高二下学期期中考试数学试题+答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 雅礼教育集团雅礼教育集团 2024 年上期期中考试年上期期中考试 高二数学试卷高二数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）是符合题目要求的）1已知1,2,3,4,5,6,2,4,5UA=，1,3,5B=，则()UAB=（）A1,3,4 B3,4 C2,4,6 D2,4 2复数z满足(2i)3iz+=，则|z等于（）A1 B2 C2 D4 3“01k”是“方程2212xyk=表示双曲线”的（）A充分不必要条件 B必要

2、不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知函数24(1)()log(1)xxf xx x的左、右焦点分别为12,F F P为C上一点，满足12PFPF，以C的短轴为直径作圆O，截直线1PF的弦长为3b，则C的离心率为（）A53 B32 C23 D33 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题（本题共二、选择题（本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的选项中有多项符合题目分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）分）9设m，n为不重

3、合的两条直线，,为不重合的两个平面，下列命题正确的是（）A若m且n，则mn B若m且n，则mn C若m且m，则 D若m且m，则 10已知函数()2sin 23f xx=+，则下列结论正确的有（）A函数()yf x=的最小正周期为 B将函数()yf x=的图象右移3个单位后，得到一个奇函数 C56x=是函数()yf x=的一条对称轴 D5,06是函数()yf x=的一个对称中心 11定义域为R的函数()f x，对任意,()()2()()x yf xyf xyf x f y+=R，且()f x不恒为 0，则下列说法正确的是（）A(0)0f=B()f x为偶函数 C若(1)0f=，则()f x关于(

4、1,0)中心对称 D若(1)0f=，则02412()4048if i=三、填空题（本题共三、填空题（本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12已知平面向量(2,1),(4,)abx=，若b与()ab+共线，则实数x=_ 13()2312(1)xx+的展开式中3x的系数为_（用数字作答）14若函数()2lnf xxaxx=+在区间()1,e上单调递增，则a的取值范围是_ 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（13 分）设函数()3sin2cos2f

5、 xxx=+学科网（北京）股份有限公司（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，已知()1f A=，1b=，ABC的面积为32，求ABC的周长 16（15 分）如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为 2 的正方形，DE 底面ABCD，DEAF，且22FADE=（1）证明：CD 平面ADEF；（2）求四棱锥CADEF的体积；（3）求平面FCE与平面FAB所成角的余弦值 17（15 分）2024 年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出 200 人，数据显示关注此问题的约占45，并将这 200 人按年

6、龄分组，第 1 组15，25），第 2 组25，35），第 3 组35，45），第 4 组45，55），第 5 组55，65，得到的频率分布直方图如图所示。（1）求 a，并估计参与调查者的平均年龄；（2）把年龄在第 1，2，3 组的居民称为青少年组，年龄在第 4，5 组的居民称为中老年组，若选出的 200人中不关注民生问题的中老年人有 10 人，得到如下 22 列联表。请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值0.050=的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200（3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取

7、4 名青少年，记录 4 人中“不关注民生问题”的人数为Y，求随机变量2Y=时的概率和随机变量Y的数学期望()E n 学科网（北京）股份有限公司 附：22(),()()()()n adbcxnabcdab cd ac bd=+0.050 0.010 0.005 0.001 x 3.841 6.635 7.879 10.828 18（17 分）已知函数()f x为定义在R上的偶函数，且当0 x 时，2,02()6,2xxf xxx=（1）作出函数()f x在 10,10上的图象；若方程()f xa=恰有 6 个不相等的实根，求头数a的取值范围；（2）对于两个定义域相同的函数()s x和()t x，

8、若()()()g xs xt x=，则称函数()g x是由“基函数()s x和()t x”生成的 已知()g x是由“基函数()22()log1s xx=+和1()2xt x=”生成的，若12,1,)xx+R，使得()()123f xag x+成立，求实数a的最小值 19（17 分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划活动共计 50 多个班级参与，1000 余件物品待出售摄影社从中选取了 20 件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三 1，2，3 班分别有12，13，14的同学有购买意

9、向假设三个班的人数比例为 6:7:8（1）现从三个班中随机抽取一位同学；（）求该同学有购买意向的概率；（）如果该同学有购买意向，求此人来自 2 班的概率；（2）对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以 0 元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于 2，则在已叫价格基础上增加 1 元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加 2 元更新叫价；重复上述过程，能叫到 10 元，即获得以 10 元为价格的购买资格，未出现叫价为 10 元的情况则失去购买资格，并结束叫价若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到 0

10、.01）学科网（北京）股份有限公司 雅礼教育集团雅礼教育集团 2024 年上期期中考试年上期期中考试 高二数学答案高二数学答案 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）是符合题目要求的）1D【详解】因1,2,3,4,5,6,2,4,5,1,3,5UAB=，则2,4,6UB=，故()2,4UAB=故选：D 2B【详解】由已知3i(3i)(2i)55i1 i2i(2i)(2i)5z=+，所以22|1(1)2z=+=，选 B 3A【详解】因为方程2212xyk

11、=表示双曲线等价于0k，所以“01k”，是“方程2212xyk=表示双曲线”的充分不必要条件，故选 A 4B【详解】函数24(1)()log(1)xxf xx x=，有02(1)log 10,(1)(0)41ff ff=故选 B 5D【详解】设数列的公差为d，则4(4)4(4)(42)22,3Sdddd=+=，()15325357,5352aaaadSa+=+=故选：D 6C【详解】由题意得，先将 5 名志愿者分成 3 组，只有 2，2，1 一种情况，即22153122CCC15 A=种分组方法，再将 3 组志愿者分配给 3 位老人，则共有3315A90=种安排方法故选：C 7C【详解】函数3

12、()31f xxx=+的定义域为R，求导得2()333(1)(1)fxxxx=+，当1x 时，()0fx，当11x 时，()0fx=，因此函数()f x有三个零点，正确；又(0)1f=，则函数()f x不是奇函数，其图象关于原点不对称，错误。故选 C 8A【详解】过O作1OMPF，由于圆O截直线1PF的弦长为3b，所以2231|22bOMbb=，学科网（北京）股份有限公司 由于12PFPF，所以2OMPF，结合O是12FF的中点，所以2212OMPFPFb=，故12PFab=，222212122(2)FFFPF Pcabb=+=+化简得232,3bbaa=所以2222251133cbeaa=，

13、故选：A 二、选择题（本题共二、选择题（本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的选项中有多项符合题目分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）分）9BD【详解】A：若m且n，则 m，n 可能相交、平行或异面，故 A 错误；B：若m且n，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故 B 正确；C：若m且m，根据面面的位置关系定义可得与可能平行也可能相交，故 C 错误；D：若m且m，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故 D 正确故

14、选：BD 10AD【详解】()2sin 23f xx=+，22T=，A 正确；将()2sin 23f xx=+的图象右移3个单位后，得函数()2sin 22sin 2333g xxx=+=的图象，不满足()()gxg x=，所以()g x不是奇函数，B 错误；因为52sin 2063+=，所以56x=不是函数()yf x=的对称轴，而是函数()yf x=对称中心的横坐标，C 错误，D 正确故选：AD 11BC【详解】对于 A，令0 xy=，有22(0)2(0)ff=，所以(0)0f=或(0)1f=，学科网（北京）股份有限公司 若(0)0f=，则只令0y=，有2()2()(0)0f xf x f

15、=，即()f x恒为 0，所以只能(0)1f=，故 A 错误；对于 B，由 A 可知(0)1f=，不妨令0 x=，有()()2(0)()2()f yfyff yf y+=，即()()fyf y=，且函数()f y的定义域为全体实数，它关于原点对称，所以()f y即()f x为偶函数，故B 正确；对于 C，若(1)0f=，令1x=，有(1)(1)2(1)()0fyfyff y+=，所以()f x关于(1,0)中心对称，故 C 正确；对于 D，()f x关于(1,0)中心对称，又()f x为偶函数，所以(1)(1)(1)(3)fyfyf yf y+=，所以()f x是周期为 4 的周期函数，又(0

16、)1,(1)0ff=，所以(2)(0)1,(3)(1)(1)0,(4)(0)1fffffff=，所以(1)(2)(3)(4)0 10 10ffff+=+=，所以20241()506 (1)(2)(3)(4)0if iffff=+=，故 D 错误故选：BC 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）122【详解】(2,1)(4,)(2,1)abxx+=+=，若b与()ab+共线，则4(1)20 xx+=，解得2x=故答案为：2 137【详解】()2312(1)xx+的展开式中3x的系数为()2332312(1)(1)2(1)xxxxx+=

17、+，由二项式展开式的通项公式可得133()rrrrrTCxC x+=，令3r=和1r=，则3x的系数为313327CC+=故答案为：7 14（,3【详解】因为函数2()lnf xxaxx=+在区间(1,e)上单调递增，所以1()20fxxax=+在区间(1,e)上恒成立，即12axx+在区间(1,e)上恒成立，令1()2(1e)g xxxx=+，学科网（北京）股份有限公司 所以()g x在(1,e)上递增，又(1)3g=，所以3a 所以a的取值范围是(,3 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程

18、或演算步骤）15（13 分）【详解】（1）因为31()3sin2cos22sin2cos222f xxxxx=+=+2sin 26x=+，即()2sin 26f xx=+，令222,262kxkk+Z，解得,36kxkk+Z，所以函数的单调增区间为,36kkk+Z（2）由()2sin 216f AA=+=得1sin 262A+=135(0,),2,2,666663AAAA+=13sin,122ABCSbcAb=，2c=由余弦定理得22212cos142 1 23,32abcbcAa=+=+=，ABC的周长为33abc+=+16（15 分）【详解】（1）DE 底面ABCD，CD 底面ABCD，C

19、DDE 又,CDAD DEADD DE AD=平面ADEF，CD平面ADEF（2）由题意易知四边形ADEF为直角梯形，学科网（北京）股份有限公司(12)232ADEFS+=梯形 113 2233C ADEFADEFVSCD=梯形（3）【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,2,1),(2,0,1),(2,2,2)ACFECEFC=易知AD 平面FAB，平面FAB的一个法向量(0,1,0)m=设平面FCE的法向量(,),nx y znCE nFC=，20,2,.2220,n CExzzxyxn FCxyz=+=+=令1x=(1,1,2)

20、n=，6cos,|6n mn mnm=故平面FCE与平面FAB所成角的余弦值为66 17（15 分）【详解】解：（1）0.010 100.015 100.030 10100.010 101a+=，0.035a=0.01 10 200.015 10 300.035 10 400.03 10 500.010 10 60 x=+41.5=估计参与调查者的平均年龄为：41.5 岁（3）选出的 200 人中，各组的人数分别为：第 1 组：200 0.010 1020=人，第 2 组：200 0.015 1030=人，第 3 组：200 0.035 1070=人，第 4 组：200 0.030 1060=

21、人，第 5 组：200 0.010 1020=人，青少年组有203070120+=人，中老年组有200 12080=人，参与调查者中关注此问题的约占80%,有200(1 80%)40=人不关心民生问题，选出的 200 人中不关注民生问题的青少年有 30 人，学科网（北京）股份有限公司 2 2 列联表如下；关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计 160 40 200 零假设0H：假设关注民生问题与性别相互独立，22200(90 1070 30)4.68753.841160 40 80 120 x=根据独立性检验，可以认为零假设0H不成立，即

22、能依据小概率值0.050=的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关（2）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为3011204=，将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为14，因为每次抽取的结果是相互独立的，所以14,4YB，所以4411()C1,0,1,2,3,444kkkP Ykk=，所以24 2241127(2)C144128P Y=，1()414E Y=18（17 分）【详解】（1）当0 x 时，2,02()6,2xxf xxx=列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10()f x 1 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 描点连线，图象如图，因为()f x为

23、偶函数，所以()f x的图象关于y轴对称，所以()f x在 10,10上的图象如图所示；()f xa=恰有 6 个不相等的实根，等价于()yf x=与ya=有 6 个交点，由图象可知当14a时，有 学科网（北京）股份有限公司 6 个交点，所以实数a的取值范围为(1,4)；（2）由题意，()221()log12xg xx=+，因为21tx=+在1,)+上为增函数，2logyt=在(0,)+上为增函数，所以()22log1yx=+在1,)+上为增函数，因为12xy=在1,)+上为增函数，所以()221()log12xg xx=+在1,)+上为增函数，所以()12min 211()(1)log112

24、2g xg=+=，由（1）可知()f x在R上的最小值为 0，因为12,1,)xx+R，使得()()123f xag x+成立，所以min min()3()f xag x+，所以1032a+，解得16a，所以实数a的最小值为16 19（17 分）【详解】（1）（）设事件A=“该同学有购买意向”，事件iB=“该同学来自i班”(1,2,3)i=由题意可知()()()123678,212121P BP BP B=，()()()123111,234P A BP A BP A B=，所以，由全概率公式可得：()()()()()()112233()P AP BP A BP BP A BP BP A B=+

25、6171812221221321463=+=（）由条件概率可得()()()()222271721322()()2263P BP A BP B AP B AP AP A=（2）由题意可得每次叫价增加 1 元的概率为23，每次叫价增加 2 元的概率为13设叫价为(310)nn元的概率为nP，叫价出现n元的情况只有下列两种：叫价为1n元，且骰子点数大于 2，其概率为123nP；叫价为2n元，且骰子点数小于 3，其概率为213nP 于是得到1221(3)33nnnPPPn=+，易得1222217,33339PP=+=由于()11212111(3)333nnnnnnPPPPPPn=+=，学科网（北京）股份有限公司 于是当2n 时，数列1nnPP是以首项为19，公比为13的等比数列，故2111(2)93nnnPPn=于是()()()()101213298109PPPPPPPPPP=+9101119323110.751344313=+=+于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为 0.75