江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期4月期中数学解析.pdf

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1、金陵中学 2023-2024 学年第二学期高一年级期中测试数学试卷一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1 1下列几何体中,棱数最多的为()A.五棱锥B.三棱台C.三棱柱D.四棱锥【答案】A A2 2设 z=2+4i1-3i(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z=()A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i【答案】B B【解析】z z=2 2+4 4i i1 1-3 3i i=2 2+4i 4i 1 1+3i 3i 1 1-3i 3i 1 1+3i 3i =-1010+1010i i1010=-=-1 1+i i

2、,故故 z z=-=-1 1-i i.3 3ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=x,b=3,A=4,该三角形有两个解,则实数 x 的取值范围为()A.3,6B.2,2 3C.62,3 D.62,3【答案】D D【解析】由正弦定理由正弦定理x x 4 4sinsin=3 3B Bsinsin,可得可得B Bsinsin=6 62 2x x，即即y y=6 62 2x x与与y y=sinBsinB,0 0,334 4 有两个交点有两个交点,则则 a a 的取值范围是的取值范围是2 22 26 62 2x x 1 1,即即6 62 2 x x 3 3,所以所以 x x 的

3、取值范围是的取值范围是6 62 2,3 3 .4 4已知 a=3,-1,单位向量 c 与 b=2,1同向共线,则 c 在 a 方向上的投影向量为()A.-3 510,510B.3 510,-510C.-22,3 22D.3 22,-22【答案】B B【解析】由已知得由已知得 c c =b b b b =2 2 5 55 5,5 55 5 ,1#QQABJYIAgggAApBAABhCAQVSCgGQkAEACIoGgBAEoAAACANABCA=#则则 c c 在在 a a 方向上的投影向量为方向上的投影向量为=a a c c a a 2 2a a =3 3 5 51010,-,-5 5101

4、0 .5 5已 知M=sin 100 -cos 100 ,N=2 sin44cos12+sin46sin12,P=121+tan221+tan23,那么 M,N,P 之间的大小顺序为()A.MNPB.PMNC.NMPD.PN2 2sin45sin45=1 1,N N=2 2 sin44sin44 cos12cos12+cos44cos44 sin12sin12 =2 2sinsin 4444+1212 =2 2sin56sin562 2sin55sin55=MM,又又 tantan 2222+2323 =tan22tan22+tan23tan23 1 1-tan22tan22 tan23tan

5、23=1 1,即即 tan22tan22+tan23tan23+tan22tan22 tan23tan23=1 1,所以所以 QQ=1 12 21 1+tan22tan22 1 1+tan23tan23 =1 12 21 1+tan22tan22+tan23tan23+tan22tan22 tan23tan23 =1 1,所以所以 P PMMsin2C,则 ABC 是锐角三角形B.若 ABC 为锐角三角形,则 sinAcosCC.若 BABC=ABAC,则 ABC 是直角三角形D.若 a=b+ccosB+cosC,则 ABC 是直角三角形【答案】BDBD【解析】对于对于 A A,由正弦定理得由

6、正弦定理得 a a2 2+b b2 2 2 2,可得可得 A A 2 2-C C,且且 A A,2 2-C C 0 0,2 2 .由函数由函数y y=sinsinx x 在在 x x 0 0,2 2 上单调增上单调增,得得 sinsinA Asinsin 2 2-C C ,即即 sinsinA AcoscosC C,所以所以 B B 正确正确;4#QQABJYIAgggAApBAABhCAQVSCgGQkAEACIoGgBAEoAAACANABCA=#对于对于 C C,由由 BABA BCBC =ABAB ACAC ,得得 ABAB ACAC +BCBC =0 0,取取 ABAB 中点中点 M

7、M,则则 ABAB 2 2CMCM =0 0,即即 ABABCMCM,所以所以 ABCABC 是等腰三角形是等腰三角形,所以所以 C C 错误错误;对于对于 D D,由由 a a=b b+c ccoscosB B+coscosC C,得得 sinsinA A=sinsinB B+sinsinC CcoscosB B+coscosC C,所以所以 sinsinA AcoscosB B+sinsinA AcoscosC C=sinsin(A A+C C)+)+sinsin A A+B B =sinsinA AcoscosC C+coscosA AsinsinC C+sinsinA AcoscosB

8、 B+coscosA AsinsinB B,得得 coscosA A sinsinC C+sinsinB B =0 0,因为因为 0 0B B,0 0C C0 0,sinsinC C0 0,所以所以 coscosA A=0 0,因为因为 0 0A A,所以所以 A A=2 2,ABCABC 为直角三角形为直角三角形.所以所以 D D 正确正确.1111如图,在扇形 OPQ 中,半径 OP=1,圆心角 POQ=3,C 是扇形弧 PQ 上的动点,矩形 ABCD 内接于扇形,记 POC=.则下列说法正确的是()A.弧 PQ 的长为3B.扇形 OPQ 的面积为3C 当 sin=13时,矩形 ABCD

9、的面积为2 29-327D.矩形 ABCD 的面积的最大值为16【答案】ACAC【解析】由题意知由题意知,在扇形在扇形 OPQOPQ 中中,半径半径 OPOP=1 1,圆心角圆心角 POQPOQ=3 3,故弧故弧 PQPQ 的长为的长为 3 3 1 1=3 3,A A 正确正确;扇形扇形 OPQOPQ 的面积为的面积为1 12 2 3 3 1 1=6 6,B B 错误错误;在在 RtRt OBCOBC 中中,OBOB=OCOC coscos=coscos,BCBC=OCOC sinsin=sinsin,在在 RtRt OADOAD 中中,OAOA=3 33 3ADAD=3 33 3BCBC=3

10、 33 3sinsin,ABAB=OBOB-OAOA=coscos-3 33 3sinsin,则则 ABCDABCD 的面积的面积 S S=ABAB BCBC=coscos-3 33 3sinsin sinsin,当当 sinsin =1 13 3时时,由由 0 0 1 16 6,所以所以 D D 错误错误.5#QQABJYIAgggAApBAABhCAQVSCgGQkAEACIoGgBAEoAAACANABCA=#三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。1212已知 cosx+sinx=23,则 sin2x=【答案】-7 79 91313在 ABC 中,角 A,B,C 的

11、对边分别为 a,b,c,且 2bcosA=a+2c,且 b=4,则 ABC面积的最大值为【答案】4 4 3 33 3【解析】由余弦定理由余弦定理,2 2b bcoscosA A=a a+2 2c c 可化为可化为 2 2b b b b2 2+c c2 2-a a2 22 2bcbc=a a+2 2c c,整理可得整理可得 c c2 2+a a2 2+acac=b b2 2,由余弦定理由余弦定理 coscosB B=a a2 2+c c2 2-b b2 22 2acac=-=-1 12 2,又又 B B 0 0,故故 B B=223 3,根据基本不等式根据基本不等式 1616=a a2 2+c

12、c2 2+acac 2 2acac+acac=3 3acac,a a=c c=4 4 3 33 3取得等号取得等号,故故 S S ABCABC=1 12 2acacsinsinB B=3 34 4acac4 4 3 33 3,即即 ABCABC 面积的最大值为面积的最大值为4 4 3 33 3.1414如图,已知矩形 ABCD 的边 AB=3,AD=2.点 P,Q 分别在边 BC,CD 上,且PAQ=45,则 APAQ的最小值为【答案】1212(2 2-1 1)【解析】以以 A A 为坐标原点为坐标原点,ABAB 所在直线为所在直线为 x x 轴轴,ADAD 所在直线为所在直线为 y y 轴建

13、立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系,则则 A A 0 0,0 0 ,B B 3 3,0 0 ,D D 0 0,2 2 .设设 PABPAB=,则则 APAP =3 3,3tan3tan ,AQAQ=2tan2tan 4 4-,2 2 ,0 0tantan 2 23 3.因为因为 APAP AQAQ =3 3,3tan3tan 2tan2tan 4 4-,2 2 =6tan6tan 4 4-+6tan6tan=6 6 1 1-tantan 1 1+tantan+6tan6tan=12121 1+tantan+6tan6tan-6 6=12121 1+tantan+6 6 tantan+1 1

14、-12121212 2 2-1212.当且仅当当且仅当 tantan=2 2-1 1 时时,“=”成立成立,所以所以 APAP AQAQ 的最小值为的最小值为 12122 2-1 1 .6#QQABJYIAgggAApBAABhCAQVSCgGQkAEACIoGgBAEoAAACANABCA=#四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.1515(13 分)已知 cos=35,-2,0.(1)求 cos-3的值；(2)若 sin+=-210,0,2,求 的值.【解析】(1 1)由由 sinsin2 2+coscos2 2=1cos1cos=3 35 5,

15、-2 2,0 0 ,可得可得 sinsin=-=-4 45 5,所以所以 coscos -3 3 =coscos coscos 3 3+sinsin sinsin 3 3=3 35 5 1 12 2+-4 45 5 3 32 2=3 3-4 4 3 31010.(2 2)由由 -2 2,0 0 ,0 0,2 2 ,可得可得 +-2 2,2 2 ,又又sinsin2 2+coscos2 2+=1 1,sinsin +=-=-2 21010,所以所以 coscos +=7 7 2 21010,coscos=coscos +-=coscos +coscos+sinsin +sinsin=7 7 2

16、21010 3 35 5+-2 21010 -4 45 5 =2 22 2,由由 0 0,2 2 ,可得可得 =4 4.1616(15 分)已知在 ABO 中,点 D 在线段 OB 上,且 OD=3DB,延长 BA 到 C,使 BA=AC.设OA=a,OB=b(1)用 a、b 表示向量 OC、DC;(2)若向量 a=3,b =2,a,b 的夹角为6,求 cosDCO 的值.【解析】(1 1)因为因为 BABA=ACAC,结合图形可知结合图形可知 A A 为为 BCBC 的中点的中点,所以所以OCOC =OBOB +BCBC =OBOB +2 2BABA =OBOB +2 2 OAOA -OBO

17、B =2 2OAOA -OBOB =2 2a a -b b,因为因为 ODOD =3 3DBDB ,则则 ODOD =3 34 4OBOB =3 34 4b b,所以所以,DCDC =OCOC -ODOD =2 2a a -b b-3 34 4b b=2 2a a -7 74 4b b.(2 2)由题意知由题意知 a a b b=a a b b coscos0 0,所以所以 tantanA A+tantanB B7 7+2 24tan4tanB BtantanA A 3tan3tanA AtantanB B=7 7+2 2 1212=7 7+4 4 3 3.(3 3)因为因为 3sin3sin

18、C C=sinsinB B sinsinA A-coscosA A ,由正弦定理得由正弦定理得 3 3c c=b b sinsinA A-coscosA A ,即即 c c=b b sinsinA A-coscosA A 3 3,因为因为 ABCABC 的面积的面积 S S=1 12 2bcbcsinsinA A=b b2 2sinsinA A-coscosA A sinsinA A6 6=b b2 26 6sinsin2 2A A-coscosA AsinsinA A =b b2 212121 1-sin2sin2A A-cos2cos2A A =2 2+1 1,所以所以 b b2 2=12

19、122 2+1 1 1 1-sin2sin2A A-cos2cos2A A=12122 2+1 1 1 1-2 2sinsin 2 2A A+4 4 ,因为因为 3 3c c=b b sinsinA A-coscosA A 0 0,且且 0 0A A,所以所以 4 4A A,所以所以334 42 2A A+4 40 0,f f 1 1 =1616+v v2 2-4 4 3 3v v=v v-2 2 3 3 2 2+4 40 0,f f k k 的对称轴是直线的对称轴是直线 k k=4 4 3 3v v-8 82424=4 4 3 3 2.22.2-8 82424 0 0,1 1 ,=8 8-4

20、 4 3 3v v 2 2-4848 v v2 2-4 4 =6464 4 4-3 3v v 0 0.所以函数所以函数 f f k k 在在0 0,1 1 上有零点上有零点,即方程即方程 f f k k =0 0 在在0 0,1 1 内有解内有解,所以安全员可以追上小船所以安全员可以追上小船.解法解法 2 2:f f1 13 3 =3 3v v2 2-4 4 3 3v v3 3=3 3v v3 3v v-4 4 3 3,因为因为3 3 2.22.2-4 41.741.74 2.22.2-4 40 0,所以所以 f f1 13 3 0 0,所以函数所以函数 f f k k 在在0 0,1 1 上有零点上有零点,即方程即方程 f f k k =0 0 在在0 0,1 1 内有解内有解,所以安全员可以追上小船所以安全员可以追上小船.11#QQABJYIAgggAApBAABhCAQVSCgGQkAEACIoGgBAEoAAACANABCA=#