极值点偏移问题的处理策略.pdf

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1、 k J 一 一一 一 w w ，2 ol 4年第 7期(一 )。然 想 到 的 是 从 两 式 得 到 e 1=：口a(zx l 一-11)，,从 而 e 1 2 一口。(z 1 1)(z 2 1)，因此 改为 证 明 a (1 1)(z 2 1)口 ，即(一 1)(2 1)1。考 虑 用基 本 不 等式(z 一 1)(z 一 1)f 孚 )，接着就 需证 z l+3 2 2 l，z 2 I n a，当取 a e。时，将 会得到 3，从而 z +4。二元一次不等式。+z 4对任意 a(e。，+)不恒成立，自然的思路 一时陷 入 了僵 局。参考答案没有把两式变形相乘，而是将两式 相 减 得 到

2、 式，利 用 式 将f f 华)转 化 为 式：半一 ，以使参数 消-2-。如此 消 参 并 不 比 上述相乘消参得到(z 1)(z 一1)0)的一 元 表 达 式。这 样 的 变形 颇需 一定 的洞 察力 和思 维 的敏 锐性，常常 会难 倒 众生。当然，得 到 式 的一 元 表 达 式 后，问 题 就 简 单 了。要 证f f x下 l+x 2)0，自 然思 路一时 受阻，参考 答 案 又 显 得 玄 乎，技 巧 性 强。注 意 到 不 等 式-，f x下 l-x 2)o 右 边的0 就 是 极值点I n 口 处的 导数，即f (1 n d)一0，因此也就是要证f (华1 (1 n a)。

3、因 为 f ()单-iN递 增，即 需 证 x i-7 x 1时，-厂()g(z)；(U I)如果 z z，且 f(x )一f(x )，证 明：+oZ ，2 解：(I)f(z)在(。，1)上 单 调 递 增；在(1，+c x3)上单调递减，(1)一为极大值。()由题 意 g(z)一厂(2-X)一(2 一 )e 一。，令 F(z)=f(x)一g()=z e 一(2 一)e 一(1)，F(z)一(z一 1)(e 一 一 e 一)。因为当 z 1时，z一1 0，e 一。一e 一0，所 以 F (z)o，即 F(z)在 1，+。)上单调递增，所 以当 x l时，F()F(1)一0，即(z)g()。()

4、因为 lz ，不妨 设 z z。，由(I)可 知 1，所 以-厂(1)一 f(2)g(2)一 厂(2 一z 2)。因为 z 1，2 一z 2 2 一z 2，即 z 1+z 2 2。点 评：第()问证X l+X 2 2，即 要证半 1。半就 是直 线 一 (一 厂(z。)一-厂(-z )被函数 一厂(z)所截线段中点 的横坐标，不等式右边的 1恰 是 函数-厂(z)=z e 一的极值点，因此本质上是证极值 点左偏。例 3 (2 0 1 1 年 高考数 学辽 宁卷理 科 第 2 1题)已 知函数，(z)=I n z n z。+(2 一a)x。(I)讨论-厂()的单调 性；()设 n 0，证 明：当

5、 o z ，(一 z)；(I l I)若函数 一，()的图象与 轴交于 A、B两 点，线 段 AB 中点 的横 坐标 为 z。，证 明：_厂 (。)0，则()在(o，1)上 单 调 递 增，在(1，+Cx3)上 单 调 递 减。()设 函 数 F()一 厂(+z)一-厂(丢 一 )，则 F(z)一 l n(1+a x)一 I n(1 一a x)一 2 a x，c z 一+一 2 n一。当 O 0，F(0)一0，所 以 F(z)0。故 当 o 厂(一 z)。(1 1 I)由(I)可得，当 n 0时，函数 Y 一 ()的 图 象与 z轴至多有一个交点。而函数 一厂()的图象 与 轴 有 两个 交

6、点，故 n 0。不妨设 A(z。，o)，B(z 2，o)，z 2 z 0，则 z 2 z。0，一 一 z O。n 口 口 乜 由()得 厂(2 一 z )一 厂 +(一 z )f(x 1)一0 一f(x 2)。从 而 z 导 一 ，于 是 z。：。从 而 z 2 一 l，于 是 z。：。n 厶 由(I)知，f (。)O。点 评：第(III)问 证 (z。)丢。专 是 函 数 一 ()的 图 象 截 轴 所 得 线 段 中 点 的 横 坐 标，不 等 式 右 边 的 音 是 函 数 厂()的 极 值 点，因此本质 上 也是证 极值 点左 偏。例 4(2 0 1 3年高考数 学湖南卷文科第 2 1

7、题)已 知函数 厂(z)一丽 1-X e 。(I)求 厂(z)的单调 区间；()证 明：当 f(x )一f(x 2)(z 1 z z)时，+z z 0。解：(工)厂()在(一。，0)上 单调 递增，在(0，+。)上 单调递 减。()证 明：当 x 0 e x o，所 以-厂(z)0；同理，当 x l时，(z)O。当 f(x 1)=f(x 2)(z 1 2)时，不妨 设 z 1 z 2，由 (I)知 z (。，O)，z (O，1)。下 面证 明：Vz(0，1)，厂(z)，(-x)，即 证 鲁 e 等 e 。此不等式等价于(1-T)e 一 o。令 F(z)=(1-X)e z 一 半，则 F (z)

8、一-x e 一 (e 一1)。当 z(0，1)时，F (z)0，F(z)单调递减，从而 F()F(0)：0，即(1 一z)e 一 0。所 以 Vz(O，1)，厂(z)，(-x)。而 z。(O，1)，所 以 f(x。)厂(-X z)，从 而f(x-)，(-X 2)。由于，一z 2(一。，0)，厂(z)在(一o o，0)上单 调递 增，所 以 z】一z 2，即 X 1+2 0。点评：第(H I)问证 l+3 2 2 0，即要 证旦-1-一 1：2 1时，L 厂(z)g(z)；例 3先 证 当 0 z 厂(z)；例 4 先 证 V z (O，1)，-厂(z)(或(或(或(或 1，而 是 进 一 步

9、要 求 证 明 a 厂 ()O时，F()F(O)一0，即 _厂(I n n+Iz)(i n a-x)。由(工)知 lz 1 I n a 0，2 1 n口 一 2 f E l n a 一(2 一I n a)一_厂(2 1 n a z 2)。由于 厂()在(一。，I n a)上单调递减，所以 2 1 n a 。，即 l n ，从而 _ l n。厶 又，()一 e n 是 单 调 增 函 数，所 以 f (1 2)_，(I n a)一0。+*+”+“+-+“+“+”*“”+一 篓 黧 磐 5大显身手 作为上述解题策略的应用，读者可 以尝试去解 以 下 两道 题。练 习 1 函数，(z)一x l n

10、z 一(0)的图象与 轴 交 于 不 同 的 两 点 A(，0)、B(1 7。，0)，求 证：厂 ()o。练 习 2 (2 0 1 4年成 都 市石 室 中学一 模 第 2 0题)已知函数(z)：a l n 。(I)()略；(I I I)当 a 一2时，函数 h()一厂(z)一mx的 图象 与 z 轴交 于 两点 A(，0)、B(z。，0)，且 0 x 1 z ，又 h ()是 h(-z)的导 函数。若 正 常数 a、满 足条 件 a +卢 一1，卢 a。证 明：h (a x 十。)0。6心存疑虑 对于只一个极值点 的可导函数，什么情况下 出现 极值点左偏，什么情况下出现极值点右偏?南通市二

11、模第 2 O题为 什 么 两式 相 减 能奏 效，而 变 式 相 乘 却 失 败?两 式相减 的思 想 基 础 是 什 么?其 他 题 是 否 也 可 以效仿这两式相减的思路?如此问题，笔者期待与大 家进一步探讨交流。一+一+一+一+“+一+*+-+一+”+-+一+一+一+“+”+“”一+一+一 ”+(上接 第 l 3页)生活中的运用，同时减轻第二课 时的负担，但这节课 也 不适 宜一 下子 把全 部公 式都 推 出来，因为 学 生 由正 确 使用 到熟 练使 用需 要较 长 时间，故 留下 问题第 二 课 时 再 回应。四、小 结(1)对 数产 生 的意义。(2)指 数、对数互 化 的方 法

12、。(3)如 何合 理化 制 定计算 规 则。五、作 业 4反思 在设 计概 念课 教学 时，教师 应 该深 入 思考 以下几 个 问题：(1)为什 么会 出现 某个 概念?找 出与 此 概念 相关 的本 源性 问题 ，再 根据 学 生 的认 知心 理 特点 重 组构 造 问题情 境。(2)现实 中的例子与 数学概念之 间有什 么不 同?搞 清楚这个 问题 可以帮助学生理解概念的内涵 与外延。(3)用什 么 例子来 强 化概 念教 学?强 化 概 念 的例 子 应该 有两类：一 是 与 实 际 问题 比较 的例 子，二 是 严 格数学意义上的例子。而且例子的选取应该越简单、越能说明概念的本质(内

13、涵与外延)越好。教材是 知识的载体，但知识 不是终极 的教育 目 标，它是思想的载体。教师课堂上 的任务就是要透过 知 识 的表 象，挖 掘 出 掩 藏 在 知 识 背 后 的 东 西 思 想，而 不是 简单 的知识 传 递。爱 因斯 坦 曾经 说 过：“什 么是教育，当你把受过的教育都忘记 了，剩下 的就是 教育。”这句话很深刻，它告诉我们，当学生走 出校 门 后，可 以忘记 当 年学 的某 个 概 念 或 某 个 原 理，但 应该 掌握所学知识背后的思想，这样才能真正懂得运用科 学 的思维 方法 去思 考并 解决 问题。参考文献：1 M 克莱 因 古今数学思 想(第一 册)E M 上海：上海 科 学技术 出版 社，1 9 8 5 E 2 M 克莱 因 古今数学思 想(第二 册)M 上海：上海 科 学技术 出版社，1 9 8 5 E 3 3 杨 玉东，李 传峰 用 本源 性问 题驱 动数 学概 念教 学 E J 中 学教 研(数 学)，2 0 0 6(1)：1 5