概率论（复习串讲笔记）.pdf

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1、概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 第第 1 章章 随机事件及其概率随机事件及其概率 （1）排列组合公式)!(!nmmPnm-=从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数)!(!nmnmCnm-=从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法

2、完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m n 种方法来完成。（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用w来表

3、示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用W表示。一个事件就是由W中的部分点（基本事件w）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是W的子集。W为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为1，而概率为1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 关系：如果事件 A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也

4、可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示A与 B不可能同时发生，称事件 A与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。W-A称为事件 A的逆事件，或称 A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(A B)C 分配率：(AB)C=(A C)(BC)(A B)C=(AC)(BC)德摩根率：=11iiiiAA BABA=，BABA=（7）概率的公理化定义 设W为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足

5、下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 =11)(iiiiAPAP 常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件A的概率。（8）古典概型 1 nwww21,=W，2 nPPPn1)()()(21=www。设任一事件A，它是由mwww21,组成的，则有 P(A)=)()()(21mwww=)()()(21mPPPwww+nm=基本事件总数所包含的基本事件数A=（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，)()()(W

6、=LALAP。其中 L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 当 A=时，P(B)=1-P(B)（12）条件概率 定义 设 A、B是两个事件，且 P(A)0，则称)()(APABP为事件 A发生条件下，事件 B发生的条件概率，记为=)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=

7、1-P(B/A)（13）乘法公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP=更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2 An-1)0，则有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP=21|(AAAPn)1-nA。（14）独立性 两个事件的独立性两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP=，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP=若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件W和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都互

8、斥。多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容，),2,1(0)(niBPi=，2niiBA1=，（分类讨论的 则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+=。（16）贝叶斯公式 设事件1B，2B，nB及A满足 1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0

9、，=i1，2，n，2 niiBA1=，0)(AP，（已经知道结果 求原因 则 概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1=njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1=i，2，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1=i，2，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型 我们作了n次试验，且满足 u 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；u n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发

10、生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp=-1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC-=)(，nk,2,1,0=。第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 （1）离散 型 随机 变 量的 分 布律 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX=。显然分布律应满足下列条

11、件：（1）0kp，,2,1=k，（2）=11kkp。（2）连续 型 随机 变 量的 分 布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有-=xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf。2 +-=1)(dxxf。概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1（3）离散 与 连续 型 随机 变 量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(+=积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP=)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函

12、数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF=称为随机变量 X的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP-=可以得到 X落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0 xF +-x；2 )(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；3 0)(lim)(=-xFFx，1)(lim)(=+xFFx；4 )()0(xFxF=+，即)(xF是右连续的；5 )0()()(-=xFxFxXP。对于离散型随机变量，=xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，-=xdxxfxF)()(。（5）八

13、大分布 0-1 分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2,1,0。knkknnqpCkPkXP-=)()(，其中nkppq,2,1,0,10,1=l，2,1,0=k，则称随机变量X服从参数为l的泊松分布，记为)(lpX或者 P(l)。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超 几 何 分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM=-随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何

14、分布 ,3,2,1,)(1=-kpqkXPk，其中 p 0，q=1-p。随机变量 X服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 均匀分布 设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数ab-1，即 -=,0,1)(abxf 其他，则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 X U(a，b)。分布函数为 -=xdxxfxF)()(当 a x12 b 时，X落在区间（21,xx）内的概率为 abxxxXxP-=l，则称随机变量 X服从参数为l的指数分布。X的分布函数为 记住积分公式：!0ndxexxn=+-0，x，,abax-a x

15、b 1，xb。a x b=)(xf,xell-0 x,0,0 x,=)(xF,1xel-0 x,0 x0。概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(smsp-=xexf，+s为常数，则称随机变量X服从参数为m、s的 正 态分 布或 高 斯（Gauss）分 布，记为),(2smNX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于m=x对称的；2 当m=x时，spm21)(=f为最大值；若),(2smNX，则X的分布函数为 dtexFxt-=222)(21)(smps。参数0=m、1=s时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(NX，其密度

16、函数记为 2221)(xex-=pj，+-x，分布函数为-=Fxtdtex2221)(p。)(xF是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且 (0)21。如果X),(2smN，则sm-X)1,0(N。-F-F=XP。（7）函数分布 离散型 已知X的分布列为 ,)(2121nnipppxxxxXPX=，)(XgY=的分布列（)(iixgy=互不相等）如下：,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY=，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x

17、)写出 Y 的分布函数 FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量x（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称x为离散型随机量。设x=（X，Y）的所有可能取值为),2,1,)(,(=jiyxji，且事件x=),(jiyx的概率为pij,称),2,1,(),(),(=jipyxYXPijji 为x=（X，Y）的分布律或称为X和 Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Y X y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 i

18、jp 这里pij具有下面两个性质：（1）pij 0（i,j=1,2,）；（2）.1=ijijp 概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 连续型 对 于 二 维 随 机 向 量),(YX=x，如 果 存 在 非 负 函 数),)(,(+-+-yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|a有=DdxdyyxfDYXP,),(),(则称x为连续型随机向量；并称 f(x,y)为x=（X，Y）的分布密度或称为X和 Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1）f(x,y)0;（2）+-+-=.1),(dxdyyxf（2）二维随 机 变 量的本质)

19、(),(yYxXyYxX=xx（3）联合分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数,),(yYxXPyxF=称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和 Y的联合分布函数。分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域，以 事 件)(,)(|),(2121yYxX-x1时，有F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x 和 y是右连续的，即);0,(),(),0(),(+=+=yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(=+=-=-=-FxFyFF（5）对于，212

20、1yyxx 0)()()()(11211222+-yxFyxFyxFyxF，.（4）离散型 与 连 续型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，+=概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1（5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为),2,1,()(=jipxXPPijjii；Y的边缘分布为),2,1,()(=jipyYPPijijj。连续型 X的边缘分布密度为+-=；dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(+-=dxyxfyfY（6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为；=iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X

21、取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP=连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY=；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX=（7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiijppp=有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量 正概率密度区间为矩形 二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212-+-=smssmmrsmrrspsyyxxeyxf r0 概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 随机变量的函数 若X1,X

22、2,Xm,Xm+1,Xn相互独立，h,g 为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和 5Y-2独立。（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为=其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1 D1 O 1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 D2 1 D3 概率论与数理统计 公式（全）知识点总结

23、 1（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212-+-=smssmmrsmrrspsyyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21rssmm是 5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（).,2221,21rssmm 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 X N（).(),22,2211smsmNY 但是若 X N（)(),22,2211smsmNY，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ+=对于连续型，

24、fZ(z)dxxzxf+-),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,ssmm+）。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。=iiiCmm，=iiiC222ss Z=max,min(X1,X2,Xn)若nXXX21,相 互 独 立，其 分 布 函 数 分 别 为)()()(21xFxFxFnxxx，则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx=)(1)(1)(1 1)(21minxFxFxFxFnxxx-=概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 2c分布 设 n 个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标

25、准正态分布，可以证明它们的平方和=niiXW12 的分布密度为 G=-.0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量W 服从自由度为n的2c分布，记为W)(2nc，其中.2012dxexnxn-+-=G 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2c分布满足可加性：设),(2iinYc-则).(2112kkiinnnYZ+=c 概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 t 分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 ),(),1,0(2nYNXc 可以证明函数 nYXT/=的概率密度为 2121221)(+-+G+G=nntnnntfp).(

26、+-t 我们称随机变量T服从自由度为n 的 t 分布，记为Tt(n)。)()(1ntntaa-=-F 分布 设)(),(2212nYnXcc，且 X 与 Y 独立，可以证明21/nYnXF=的概率密度函数为 2)（5）二 维随 机变 量的 数字 特征 期望=niiipxXE1)(=njjjpyYE1)(+-=dxxxfXEX)()(+-=dyyyfYEY)()(函数的期望),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE +dxdyyxfyxG),(),(方差 -=iiipXExXD2)()(-=jjjpYExYD2)()(+-=dxxfXExXDX)()()(2+-=dyyfYEyYD

27、Y)()()(2 协方差 对于随机变量X与 Y，称它们的二阶混合中心矩11m为 X与Y的协方差或相关矩，记为),cov(YXXY或s，即).()(11YEYXEXEXY-=ms 与记号XYs相对应，X与 Y的方差D（X）与 D（Y）也可分别记为XXs与YYs。概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 相关系数 对于随机变量X与 Y，如果 D（X）0,D(Y)0，则称)()(YDXDXYs 为X与 Y的相关系数，记作XYr（有时可简记为r）。|r|1，当|r|=1 时，称 X与Y完全相关：1)(=+=baYXP 完全相关=，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aarr 而当0=r时，称X

28、与 Y不相关。以下五个命题是等价的：0=XYr；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 YYYXXYXXssss 混合矩 对于随机变量 X与 Y，如果有)(lkYXE存在，则称之为 X与 Y的k+l阶混合原点矩，记为kln；k+l阶混合中心矩记为：.)()(lkklYEYXEXEu-=（6）协 方差 的性质(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E

29、(XY)-E(X)E(Y).（7）独 立和 不相关（i）若随机变量X与 Y相互独立，则0=XYr；反之不真。（ii）若（X，Y）N（rssmm,222121），则 X与Y相互独立的充要条件是X和 Y不相关。第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1（1）大数定律 mX 切比雪夫大数定律 设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）),则对于任意的正数，有.1)(11lim11=-=eniiniinXEnXnP 特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则上式成为.11lim1=-=e

30、mniinXnP 伯努利大数定律 设 是 n 次独立试验中事件A发生的次数，p 是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数 ，有.1lim=-empnPn 伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 .0lim=-empnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律 设X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（Xn）=，则对于任意的正数 有.11lim1=lnpn时，则 ll-ekppCkknkkn!)1().(n 其中 k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽

31、样分布 （1）数理统 计 的 基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本 我们把从总体中抽取的部分样品nxxx,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nxxx,21表示 n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，nxxx,21表示 n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函

32、数和统计量 设nxxx,21为总体的一个样本，称 jj=（nxxx,21）为样本函数，其中j为一个连续函数。如果j中不包含任何未知参数，则称j（nxxx,21）为一个统计量。概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 常见统计量及其性质 样本均值 .11=niixnx 样本方差 =-=niixxnS122.)(11 样本标准差 .)(1112=-=niixxnS 样本k 阶原点矩 =nikikkxnM1.,2,1,1 样本k 阶中心矩=-=nikikkxxnM1.,3,2,)(1 m=)(XE，nXD2)(s=，22)(s=SE，221)*(snnSE-=,其中=-=niiXXnS122)(1

33、*，为二阶中心矩。（2）正态总 体 下 的四大分布 正态分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2smN的一个样本，则样本函数).1,0(/Nnxudefsm-t 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2smN的一个样本，则样本函数),1(/-ntnsxtdefm 其中t(n-1)表示自由度为n-1 的 t 分布。概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 分布2c 设nxxx,21为来自正态总体),(2smN的一个样本，则样本函数),1()1(222-nSnwdefcs 其中)1(2-nc表示自由度为n-1 的2c分布。F 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(21smN的一个样本

34、，而nyyy,21为来自正态总体),(22smN的一个样本，则样本函数),1,1(/2122222121-nnFSSFdefss 其中,)(11211211=-=niixxnS ;)(11212222=-=niiyynS)1,1(21-nnF表示第一自由度为11-n，第二自由度为12-n的 F分布。（3）正态总 体 下 分布的性质 X与2S独立。第七章第七章 参数估计参数估计 概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1（1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数mqqq,21，则其分布函数可以表成).,;(21mxFqqq它的 k 阶原点矩),2,1)(mkXEvkk=中也包含了未知参数

35、mqqq,21，即),(21mkkvvqqq=。又设nxxx,21为总体 X的 n 个样本值，其样本的k阶原点矩为=nikixn11).,2,1(mk=这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有=nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(qqqqqqqqq 由上面的 m个方程中，解出的 m个未知参数),(21mqqq即为参数（mqqq,21）的矩估计量。若q为q的矩估计，)(xg为连续函数，则)(qg为)(qg的矩估计。概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 极 大 似然估计 当 总 体X 为

36、 连 续 型 随 机 变 量 时，设 其 分 布 密 度 为),;(21mxfqqq，其 中mqqq,21为 未 知 参 数。又 设nxxx,21为总体的一个样本，称),;(),(11122=nimimxfLqqqqqq 为样本的似然函数，简记为Ln.当 总 体X 为 离 型 随 机 变 量 时，设 其 分 布 律 为),;(21mxpxXPqqq=，则称),;(),;,(1111222=nimimnxpxxxLqqqqqq 为样本的似然函数。若似然函数),;,(2211mnxxxLqqq在mqqq,21处取到最大值，则称mqqq,21分别为mqqq,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大

37、似然估计量。miLiiin,2,1,0ln=qqq 若q为q的极大似然估计，)(xg为单调函数，则)(qg为)(qg的极大似然估计。（2）估计量的评选标准 无偏性 设),(21nxxx=qq为未知参数q的估计量。若E（q）=q，则称 q为q的无偏估计量。E（X）=E（X），E（S2）=D（X）有效性 设),(2111nxxx=qq和),(2122nxxx=qq是未知参数q的两个无偏估计量。若)()(21-eqqnnP 则称nq为q的一致估计量（或相合估计量）。若q为q的无偏估计，且),(0)(nDq则q为q的一致估计。只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总

38、体的一致估计量。（3）区间估计 置 信 区间 和 置信度 设总体X含有一个待估的未知参数q。如果我们从样本nxxx,21出发，找出两个统计量),(2111nxxxqq=与),(2122nxxxqq=)(21qq，使 得 区 间,21qq以)10(1KK或时否定H0，否则认为H0相容。两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记a为犯此类错误的概率，即 P否定H0|H0为真=a；此处的 恰好为检验水平。第二类错误 当H1为真时，而样

39、本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记b为犯此类错误的概率，即 P接受H0|H1为真=b。两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n一定时，a变小，则b变大；相反地，b变小，则a变大。取定a要想使b变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平。大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把 取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把 取得大些

40、。概率论与数理统计 公式（全）知识点总结 1 单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知2s 00:mm=H nxU/00sm-=N（0，1）21|a-uu 00:mmH a-1uu 00:mmH a-ntta 00:mmH)1(1-ntta 00:mmH)1(1-nwak 2020:ssH)1(2-nwak 如果你还不知道读什么书，或者想寻找下载阅读更多书籍，就请您打开微信扫一扫，扫描下方二维码，关注微信公众号：大学生学术墙。微信直接搜索关注公众号：大学生学术墙这里是每一位上进的人的家园【大学生学术墙】资料库里有数百万本书籍，此外，关注微信公众号：

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