浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2024届高三第三次联考（三模）数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份 有限公司 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024 届高三第三次联考届高三第三次联考 数学试题卷数学试题卷 命题:磨题:余姚中学 徐凤莹 玉环中学 徐伟建 龙湾中学 梁世日 校稿:张艳宗、过利霞 注意事项：注意事项：1.答卷前,务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.请保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第第 I 卷卷

2、 一、选择题：一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 =2 4，=1 8 2，则 =A.2,4)B.3,4)C.2,+)D.3,+)2.复数52ii的虚部是 A.iB.1C.2iD.-2 3.已知单位向量,满足 =0，则 cos=A.0 B.7 210 C.210D.14.设 为等比数列 的前 项和，已知 3=4 2，2=3 2，则公比 =A.2B.-2 C.12 D.125.已知(2,2)，(1,3)，点 在圆 2+2=4 上运动，则|2+|2 的最大值为A.16 62B.26+22C.26+42D.326.若

3、函数()=sin()+cos 的最大值为 2，则常数 的取值可以为A.1 B.12 C.13 D.147.已知 表示不超过 的最大整数，若 =为函数1()(0)1exxf xx=的极值点，则()=学科网（北京）股份 有限公司 A.21ee B.2231ee C.3341ee D.4451ee 8.设O为原点，12,F F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的两个焦点，点P在C上且满足32OPa=，123cos7F PF=，则该双曲线的渐近线方程为 A.2 =0 B.2=0 C.3 =0 D.3=0 二、选择题：二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出

4、的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.下列说法正确的是 A.数据 7，5，3，10，2 的第 40 百分位数是 3 B.已知随机变量 服从正态分布(，2)，越小，表示随机变量 分布越集中 C.已知一组数据12,nxxx的方差为 3，则 1 1，2 1，3 1,，1 的方差为 3 D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 =0.3 ，若其中一个散点为(，0.28)，则 =4 10.已知 的内角,A B C的对边分别为,a b c，且22sinsin23ACabA+=，下列结论正确的是 A.3B=

5、B.若 =4,=5，则 有两解 C.当33acb=时，为直角三角形 D.若 为锐角三角形，则 cos+cos 的取值范围是3(,12 11.在棱长为 1 的正方体 1111 中，已知、分别为线段 1，11 的中点，点 满 足 =1+，0,1，0,1，则 A.当 +=1 时，三棱雉 的体积为定值 B.当12=，四棱雉 的外接球的表面积是94 C.周长的最小值为321222+D.若62AP=，则点 的轨迹长为2 学科网（北京）股份 有限公司 第第 II 卷卷 三、填空题：三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.已知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 5，侧面积为 30，

6、则圆台的高为 .13.甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人且甲、乙不站同一个台阶，同 一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 种.(用数字作答)14.已知关于 的不等式(ln 2)2(2+1)+1 0 对任意 (0,+)恒成立，则实数 的取值范围是 .四、解答题四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.（13 分）已知等差数列 的公差不为零，1、2、5 成等比数列，且 2=2+1.（1）求数列 的通项公式;（2）求 1+3+5+21.16.（15 分）已知四面体 ,=2,=3.（1）证明:;（2）若 =23

7、，求直线 与平面 所成角的正弦值.17.（15 分）为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步 20 分钟”和“跳绳 20 分钟”中选择一项进行锻炼.在不下雪的时候，他跑步的概率为 80%，跳绳的概率为 20%，在下雪天 他跑步的概率为 20%，跳绳的概率为 80%.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为60%，若 前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 40%.已知寒假第一天不下雪，跑步20分钟大约消耗能 量300卡路里，跳绳 20 分钟大约消耗能量 200 卡路里.记寒假第 天不下雪的概率为 .（1）求 1、2、3 的值，并求 ;（2）设小王寒假第 天通过运动消耗的能量为 ，求 的数学期望.

8、学科网（北京）股份 有限公司 18.（17 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为 1、2，焦距为 23，离心率 为32，直线:=+与椭圆交于、两点（其中点 在 轴上方，点 在 轴下方）.（1）求椭圆 的标准方程;（2）如图，将平面 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面（平面 12）与 轴 负半轴和 轴所确定的半平面(平面 12)垂直.若折叠后 ，求 的值;是否存在 ，使折叠后、两点间的距离与折叠前、两点间的距离之比为34?折叠前 折叠后 19.（17 分）在平面直角坐标系中，如果将函数()yf x=的图象绕坐标原点逆时针旋转(0)2 后，所得曲线仍然是某个

9、函数的图象，则称()为“旋转函数”.（1）判断函数 =3 是否为“6旋转函数”，并说明理由;（2）已知函数()=ln(2+1)(0)是“旋转函数”，求tan 的最大值;（3）若函数()=(1)e ln 22 是“4旋转函数”，求的取值范围.学科网（北京）股份 有限公司 Z20 名校联盟名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟浙江省名校新高考研究联盟)2024 届高三第三次联考届高三第三次联考 数学参考答案数学参考答案 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目 要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A C D

10、B B 8.设|1|=,|2|=,由双曲线的定义知|=2(1),在 12 中,由余弦定理得 42=2+2 2 cos12,42=2+267(2),又 2(2+2)=(3)2+(2)2,2+2=92+422(3),由(1)(3)得 =142+2(4),把(3)(4)代入(2)得 42=92+42267(142+2),化简得 202=302,202+202=302 2,渐近线方程 为 2=0.二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部 选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.题号 9 10 11 答案 BC ACD

11、ABD 11.A 选项当 +=1 时,点 在线段 1 上,且 1/,=为定值,A 正确.B 选项当 =12 时,点 为线段 1 的中点,易求正四棱雉 的外接球的半径为 34,则表面 积是 94,B 正确.C 选项点 在矩形 11 及其内部,取线段 11 的中点 1,由对称性知,|=|1|,|+|=|1|+|1|=52|+|+|52+32,C 错误.D 选项 =62,又点 在矩形 11 及其内部,点 的轨迹为点 为球心,半径长为 62 的球面被 平面 11 截且在矩形 11 及其内部的图形,为圆（部分）,=(62)2(22)2=1,该圆是以 的中点为圆心,半径为 1 的圆的一部分(即 14 圆周

12、),则轨迹长为 2,D 正确.三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.12.3;13.180;14.12e,12 14.不等式可化为(2 ln)(2 (2 +1)0,即 ln 2 2 +1,数形结合得,1 2 2 学科网（北京）股份 有限公司 其中 1 为过原点且与 =ln 相切的直线,2 为过原点且与 =2 +1 相切的直线,易得 1=1e,2=1.故 1e 2 1,12e 12.四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.(13 分)解:(1)由题意 2=2+1 2=21+1 =1+1(1).2 分 22=1 5(1+)2=

13、1(1+4)=21(2).2 分 由(1)(2)可得 1=1,=2 2 分 所以=1+(1)2=2 1.1 分(2)1+3+5+21=(1+21)2=22 .6 分 16.(15 分)解:(1)取 的中点 ,连,由 =,可得 ,.2 分 又因为 =,、平面 ,所以 平面 ,.2 分 因为 平面 ,所以 .2 分(2)方法 1:因为 =23,所以 =1,又 =3,所以 =120,由(1)可得 平面 ,所以平面 平面 ,作 交 延长线于点 ,则 平面 且 =32,.3 分 设点 到平面 的距离为 ,=.2 分 13 =1332 =122332123132=2313.2 分 设直线 与平面 所成角为

14、，sin=3913 所以直线 与平面 取成线面角的正弦值为 3913 2 分 方法 2:因为 =23,所以 =1,又 =3,所以 =120,由(1)可得 平面 所以平面 平面 ,作 交 延长线于点 ,学科网（北京）股份 有限公司 则 平面 且 =32,如图,以 为 轴,为 轴,轴/建立空间直角坐标系(0,12,32),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0).3 分 =(0,32,32),=(3,1,0),=(3,12,32)设面 的一个法向量为 =(,)=0 =0 3=33+=0 令 =1,则 =3,=3 所以 =(1,3,3).4 分 设直线 与平面 所成角为,sin=|cos|=|

15、=2313 2=3913 所以直线 与平面 取成线面角的正弦值为 3913.2 分 17.(15 分)解:(1)依题意,1=1,2=1 0.4=0.4,3=0.4 0.4+0.6 0.6=0.52 3 分 依题意=0.41+0.6(1 1)=151+35,2 分 整理得 12=15(112),所以 12 是以 112=12 为首项,15 为公比的等比数列,.2 分 即 12=12(15)1,=12+12(15)1.1 分(3)=200,300.1 分(=300)=0.8+0.2(1 )=0.6+0.2,3 分 则他第 天通过运动锻炼消耗的能量 的期望为 300(=300)+200(1(=300

16、)=200+100(=300)=220+60=250+30(15)1.3 分 18.(17 分)解:(1)由题意 =3,=32,解得:=2,=1,所以椭圆 的标准方程为 24+2=1.4 分(2)折叠前设(1,1),(2,2),联立 =+2+42=4 52+8+4(2 1)=0 直线 =+与椭圆交于不同两点,所以 0,解得 2 5,从而 1+2=851 2=4(21)5 因为 位于 轴两侧,则 2 4,从而 2 0)与函数 =+最多有 1 个交点,且 =tan(2)即 ln(2+1)=+(0)最多有一个根,ln(2+1)=(0)即函数 =ln(2+1)(0)与函数 =()最多有 1 个交点,即

17、函数 =ln(2+1)在(0,+)上单调,.2 分=22+1.因为 0,22+1(0,2),所以=22+1 0,22+1,所以 2,2 分 即 tan(2)2,tan 12,即 tan 的最大值为 12.2 分(3)由题意可得函数()=(1)e ln 22 与函数 =+最多有 1 个交点,即(1)e ln 22=+(1)e ln 22 =,即函数 =(1)e ln 22 与函数 =最多有 1 个交点,即函数 =(1)e ln 22 在(0,+)上单调,=e ln 2,当 0 时,+,所以 0 (ln+2e)max ,.4 分 令()=ln+2e,则()=(+1)(ln1)2e,学科网（北京）股份 有限公司 因为 =ln 1 在(0,+)上单调减,且(14)0,(1)0,所以存在 0(14,1),使(0)=0,即 ln0+0=1 ln(0 e0)=1 0 e0=1e,所以()在(0,0),(0,+),所以 max()=(0)=ln0+0+20e0=10e0=e,即 e.4 分