2024届新高考数学大题精选30题--立体几何含答案.pdf

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1、1大题 立体几何大题 立体几何1(2024黑龙江二模)(2024黑龙江二模)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点(1)证明：MN平面A1CP；(2)求点P到直线MN的距离2(2024安徽合肥二模)(2024安徽合肥二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60,M是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD底面ABCD(1)求三棱锥M-ABC的体积；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值2024届新高考数学大题精选届新高考数学大题精选30题题-立体几何立体几何23(2023(2

2、023福建福州福建福州模拟预测模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C平面ABC,AB=AC=BC=AA1=2，A1B=6(1)设D为AC中点，证明：AC平面A1DB；(2)求平面A1AB1与平面ACC1A1夹角的余弦值4(2024(2024山西晋中山西晋中三模三模)如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=6，ECED，且EC=ED=2，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AECD.(1)证明：平面ABE平面CDE；(2)若点A到直线CD的距离为2 2，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值35(2024(2024辽宁辽宁二模二模)棱长均为2的斜

3、三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱A1B1(包含端点)上的动点(1)求点P到平面ABC1的距离；(2)若AP平面，求直线BC1与平面所成角的正弦值的取值范围6(2024(2024重庆重庆模拟预测模拟预测)在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知ABCD，BAD=90，CD=2AB，PAB是正三角形，点M在侧棱PB上且使得PD平面AMC(1)证明：PM=2BM；(2)若侧面PAB底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为311，求二面角P-AC-B的余弦值47(2024(2024安徽安徽模拟预测模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工

4、作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m，AD=4m，ED=CF=1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA=GB=5m，HE=HF，平面ABG平面ABCD(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值8(2024(2024重庆重庆模拟预测模拟预测)如图，ACDE为菱形，AC=BC=2，ACB=120，平面ACDE平面ABC，点F在AB上，且AF=2FB，M，N分别在直线CD，AB上

5、(1)求证：CF平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若EAC=60，MN为直线CD，AB的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线BE与平面ABC所成角为，若tan217，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围59(2024(2024安徽安徽二模二模)将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90，使得CD到EF的位置，得到如图所示的几何体(1)求证：平面ACF平面BDE；(2)点M为DF上一点，若二面角C-AM-E的余弦值为13，求MAD10(2024(2024安徽黄山安徽黄山二模二模)如图，已知AB为圆台下底面圆O1的直径，C是圆O1上异于A,B的点

6、，D是圆台上底面圆O2上的点，且平面DAC平面ABC，DA=DC=AC=2，BC=4，E是CD的中点，BF=2FD(1)证明：DO2BC；(2)求直线DB与平面AEF所成角的正弦值.611(2024(2024黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨一模一模)正四棱台ABCD-A1B1C1D1的下底面边长为2 2，A1B1=12AB，M为BC中点，已知点P满足AP=1-AB+12AD+AA1，其中 0,1(1)求证D1PAC；(2)已知平面AMC1与平面ABCD所成角的余弦值为37，当=23时，求直线DP与平面AMC1所成角的正弦值12(2024(2024辽宁辽宁三模三模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，

7、侧面ACC1A1底面ABC,AC=AA1=2，AB=1,BC=3，点E为线段AC的中点.(1)求证：AB1平面BEC1；(2)若A1AC=3，求二面角A-BE-C1的余弦值.713(2024(2024广东广州广东广州一模一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DCP是等边三角形，DCB=PCB=4，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：MN平面PBC；(2)求证：平面PBC平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.14(2024(2024广东梅州广东梅州二模二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PAD为等

8、边三角形，ADBC，ADAB，AD=AB=2BC=2(1)求证：ADPC；(2)点N在棱PC上运动，求ADN面积的最小值；(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得AM平面BDQ，求PQQC的值815(2024(2024广东广州广东广州模拟预测模拟预测)如图所示，圆台O1O2的轴截面A1ACC1为等腰梯形，AC=2AA1=2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点，且AB=BC,P是线段BC的中点.(1)求证：C1P平面A1AB.(2)求平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值.16(2024(2024广东深圳广东深圳二模二模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C底面AB

9、C，且AB=AC，A1B=A1C(1)证明：AA1平面ABC；(2)若AA1=BC=2，BAC=90，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值917(2024(2024河北保定河北保定二模二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD内存在一条直线EF与AB平行，PA平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为32，PA=BC=2 3，CD=2AB=4.(1)证明：四边形ABCD是直角梯形.(2)若点E满足PE=2ED，求二面角P-EF-B的正弦值.18(2024(2024湖南衡阳湖南衡阳模拟预测模拟预测)如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AC是圆锥底面圆的

10、直径，等边三角形ABD是圆锥底面圆O的内接三角形，E是圆锥母线PC的中点，PO=6,AC=4.(1)求证：平面BED平面ABD；(2)设点M在线段PO上，且OM=2，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值.1019(2024(2024湖南岳阳湖南岳阳三模三模)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，DAB=60，PA=PC，PB=PD=2 10，M是线段PC上的点，且PC=4MC(1)证明：PC平面BDM；(2)点E在直线DM上，求BE与平面ABCD所成角的最大值20(2024(2024湖南湖南二模二模)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，ABC=60,

11、BD1平面A1C1D.(1)求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积；(2)设点D1关于平面A1C1D的对称点为E，点E和点C1关于平面对称(E和未在图中标出)，求平面A1C1D与平面所成锐二面角的大小.1121(2024(2024山东济南山东济南二模二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD 为直角梯形，ABCD，DAB=PCB=60,CD=1,AB=3,PC=2 3，平面PCB平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：PFAD；(2)当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为74.22(2024(2024山东潍坊山东潍坊二模二模)如图1，在平行四边

12、形ABCD中，AB=2BC=4，ABC=60，E为CD的中点，将ADE沿AE折起，连结BD，CD，且BD=4，如图2(1)求证：图2中的平面ADE平面ABCE；(2)在图2中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为3010，求点F到平面DEC的距离1223(2024(2024福建福建模拟预测模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PAPB,ABBC,AB=3,BC=6，已知二面角P-AB-C的大小为，PAB=.(1)求点P到平面ABC的距离；(2)当三棱锥P-ABC的体积取得最大值时，求：()二面角P-AB-C的余弦值；()直线PC与平面PAB所成角.24(2024(2024

13、浙江杭州浙江杭州二模二模)如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，DAB=60,BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点，PQBC,PDDC,QBMD(1)证明：ABQ=90；(2)若多面体ABCDPQ的体积为152，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值1325(2024(2024浙江嘉兴浙江嘉兴二模二模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA平面ABCD,PAQD，BC=2AB=2PA=2,ABC=60.(1)证明：平面PCD平面PAC；(2)若PQ=2 2，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.26(2024(2024浙江绍兴浙江绍兴二模二模)如图，在三棱锥

14、P-ABC中，AB=4，AC=2，CAB=60，BCAP.(1)证明：平面ACP平面ABC；(2)若PA=2，PB=4，求二面角P-AB-C的平面角的正切值.1427(2024(2024河北沧州河北沧州一模一模)如图，在正三棱锥A-BCD中，BC=CD=BD=4，点P满足AP=AC，(0,1)，过点P作平面分别与棱AB，BD，CD交于Q，S，T三点，且AD，BC.(1)证明：(0,1)，四边形PQST总是矩形；(2)若AC=4，求四棱锥C-PQST体积的最大值.28(2024(2024湖北湖北二模二模)如图1在菱形ABCD中，ABC=120，AB=4，AE=AD，AF=AB(01)，沿EF将A

15、EF向上折起得到棱锥P-BCDEP如图2所示，设二面角P-EF-B的平面角为(1)当为何值时，三棱锥P-BCD和四棱锥P-BDEF的体积之比为95？(2)当为何值时，0,1，平面PEF与平面PFB的夹角的余弦值为55？1529(2024(2024湖北湖北模拟预测模拟预测)空间中有一个平面和两条直线m，n，其中m，n与的交点分别为A，B，AB=1，设直线m与n之间的夹角为3，(1)如图1，若直线m，n交于点C，求点C到平面距离的最大值；(2)如图2，若直线m，n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足PQ，PQn且PQm，(i)求直线m，n与平面的夹角之和；(ii)设PQ=d 0d1，求

16、点P到平面距离的最大值关于d的函数 f d30(2024(2024浙江绍兴浙江绍兴模拟预测模拟预测)如图所示，四棱台ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为一个菱形，且BAD=120.底面与顶面的对角线交点分别为O，O1.AB=2A1B1=2，BB1=DD1=392，AA1与底面夹角余弦值为3737.(1)证明：OO1平面ABCD；(2)现将顶面绕OO1旋转角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向.此时使得底面与DC1的夹角正弦值为6 4343，此时求的值(217，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围【答案】(1)证明见解析(2)ANAF=913(3)5 28,2 55【分析】(1)先通过

17、余弦定理及勾股定理得到CFAC，再根据面面垂直的性质证明；(2)以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，利用向量的坐标运算根据MN CD=0MN AF=0，列方程求解即可；10(3)利用向量法求面面角，然后根据tan217列不等式求解.【详解】(1)AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=12，AB=2 3，AF=2FB，所以AF=4 33，CF=13CA+23CB，CF 2=19CA 2+49CB 2+49CA CB=43，AC2+CF2=4+43=163=AF2，则CFAC，又因为平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，CF面ABC，

18、故CF平面ACDE；(2)以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，由EAC=60，可得DCA=120，DC=2，所以C 0,0,0,D-1,0,3,A 2,0,0,F 0,2 33,0所以AF=-2,2 33,0，CD=-1,0,3，设AN=AF=-2,2 33,0，则N 2-2,2 33,0，设CM=CD，则M-,0,3，MN=2-2+,2 33,-3，由题知，MN CD=0MN AF=0 2-2-3=04-4-2+43=0，解得=913，=-213，故ANAF=913；(3)B-1,3,0，设EAC=，则E 2-2cos,0,2sin，BE=3-2cos,

19、-3,2sin，可取平面ABC的法向量n=0,0,1，则sin=cosn,BE=nBE n BE=2sin3-2cos2+3+4sin2=sin4-3cos，cos=4-3cos-sin24-3cos，则tan=sin4-3cos-sin2217，整理得10cos2-9cos+20，故cos25,12，CF=0,23,0，CD=-2cos,0,2sin，CB=-1,3,0，记平面CDF的法向量为n1=x,y,z，则有n1 CD=0n1 CF=0-2xcos+2zsin=023y=0，可得n1=sin,0,cos，记平面CBD的法向量为n2=a,b,c，则有n2 CD=0n2 CB=0-2aco

20、s+2csin=0-a+3b=0，可得n2=3sin,sin,3cos，记平面BCD与平面CFD所成角为，则cos=cosn1,n2=33+sin2，cos25,12，11所以sin234,2125，3+sin2 152,4 65，故cos=33+sin25 28,2 559(2024(2024安徽安徽二模二模)将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90，使得CD到EF的位置，得到如图所示的几何体(1)求证：平面ACF平面BDE；(2)点M为DF上一点，若二面角C-AM-E的余弦值为13，求MAD【答案】(1)证明见解析(2)MAD=45【分析】(1)根据面面与线面垂直的性质可得BDAF，结合线

21、面、面面垂直的判定定理即可证明；(2)建立如图空间直角坐标系，设MAD=，AB=1，利用空间向量法求出二面角C-AM-E的余弦值，建立方程1-sincos1+sin21+cos2=13，结合三角恒等变换求出即可.【详解】(1)由已知得平面ABCD平面ABEF，AFAB，平面ABCD平面ABEF=AB，AF平面ABEF，所以AF平面ABCD，又BD平面ABCD，故BDAF，因为ABCD是正方形，所以BDAC，AC，AF平面ACF，ACAF=A，所以BD平面ACF，又BD平面BDE，所以平面ACF平面BDE.(2)由(1)知AD，AF，AB两两垂直，以AD，AF，AB所在直线分别为x，y，z轴，建

22、立空间直角坐标系，如图.设MAD=，AB=1，则A 0,0,0，M cos,sin,0，C 1,0,1，E 0,1,1，故AM=cos,sin,0，AC=1,0,1，AE=0,1,1设平面AMC的法向量为m=x1,y1,z1，则mAC=0，mAM=0故x1+z1=0 x1cos+y1sin=0，取x1=sin，则y1=-cos，z1=-sin所以m=sin,-cos,-sin设平面AME的法向量为n=x2,y2,z2，nAE=0，nAM=0故y2+z2=0 x2cos+y2sin=0，取x2=sin，则y2=-cos，z2=cos所以n=sin,-cos,cos，所以cosm,n=1-sinc

23、os1+sin21+cos2，12由已知得1-sincos1+sin21+cos2=13，化简得：2sin22-9sin2+7=0，解得sin2=1或sin2=72(舍去)故=45，即MAD=45.10(2024(2024安徽黄山安徽黄山二模二模)如图，已知AB为圆台下底面圆O1的直径，C是圆O1上异于A,B的点，D是圆台上底面圆O2上的点，且平面DAC平面ABC，DA=DC=AC=2，BC=4，E是CD的中点，BF=2FD(1)证明：DO2BC；(2)求直线DB与平面AEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)6 8585【分析】(1)取AC的中点O，根据面面垂直的性质定理，可得DO

24、平面ABC，即可求证DO2OO1，进而可证矩形，即可根据线线平行以及平行的传递性求解.(2)建系，利用向量法，求解法向量n=1,-12,3与方向向量DB=(-1,4,-3)的夹角，即可求解【详解】(1)证明：取AC的中点为O，连接DO，OO1，O1O2，DA=DC，O为AC中点，DOAC，又平面DAC平面ABC，且平面DAC平面ABC=AC，DO平面DAC,DO平面ABC，DOO1O2，DO=O1O2，故四边形DOO1O2为矩形，DO2OO1，又O，O1分别是AC，AB的中点，OO1BC，DO2BC；(2)C是圆O1上异于A，B的点，且AB为圆O1的直径，BCAC，OO1AC，如图以O为原点建

25、立空间直角坐标系，由条件知DO=3，A(1,0,0),B(-1,4,0),C(-1,0,0),D(0,0,3)，E-12,0,32，设F(x,y,z)，BF=(x+1,y-4,z)，FD=(-x,-y,3-z)，由BF=2FD，得F-13,43,2 33，AF=-43,43,2 33，DB=(-1,4,-3)，AE=-32,0,32，设平面AEF法向量为n=(x1,y1,z1)，则nAE=-32x1+32z1=0nAF=-43x1+43y1+2 33z1=0，取n=1,-12,3，设直线BD与平面AEF所成角为，13则sin=|cos|=62 5 172=6 8585直线BD与平面AEF所成角

26、的正弦值为6 858511(2024(2024黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨一模一模)正四棱台ABCD-A1B1C1D1的下底面边长为2 2，A1B1=12AB，M为BC中点，已知点P满足AP=1-AB+12AD+AA1，其中 0,1(1)求证D1PAC；(2)已知平面AMC1与平面ABCD所成角的余弦值为37，当=23时，求直线DP与平面AMC1所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)24 1391【分析】(1)方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.(2)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【详解

27、】(1)方法一：A1B1=12AB，AA1 AB=AA1 AD=2 2 22=2D1A=-12AD-AA1 D1P=D1A+AP=1-AB+12-12AD+-1AA1 D1P AC=1-AB+12-12AD+-1AA1 AB+AD=1-AB 2+12-12AD 2+-1AB AA1+-1AD AA1=8 1-+812-12+4-1=0D1P AC，即D1PAC方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有A2,-2,0，B2,2,0，C-2,2,0，D-2,-

28、2,0，A122,-22,h，C1-22,22,h，D1-22,-22,h，M 0,2,0，AC=-2 2,2 2,0AP=1-0,2 2,0+12-2 2,0,0+-22,22,0=-3 22,2 2-3 22,h14D1A =3 22,-22,-h，D1P=D1A+AP=-3 22+3 22,-3 22+3 22,h-h故AC D1P=0，所以D1PAC(2)设平面ABCD的法向量为n=0,0,1，设平面AMC1的法向量为m=x,y,z，AM=-2,2 2,0，AC1 =-3 22,3 22,h，则有AM m=0AC1 m=0，即-2x+2 2y=0-3 22x+3 22y+hz=0，令x

29、=2 2h，则m=2 2h,2h,3又题意可得 cosm,n=38h2+2h2+9=37，可得h=2因为=23，经过计算可得P 0,0,43，D1-22,-22,2，D1P=2,2,43将h=2代入，可得平面AMC1的法向量m=4 2,2 2,3设直线DP与平面AMC1所成角的为sin=cosDP,m=8+4+42+2+16932+8+9=24 139112(2024(2024辽宁辽宁三模三模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1底面ABC,AC=AA1=2，AB=1,BC=3，点E为线段AC的中点.(1)求证：AB1平面BEC1；(2)若A1AC=3，求二面角A-BE-C1

30、的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2)-22【分析】(1)连接BC1，交B1C于点N，连接NE，利用线面平行的判定定理证明；(2)由已知可知，AA1C为等边三角形，故A1EAC，利用面面垂直的性质定理可证得A1E底面ABC，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.【详解】(1)连接BC1，交B1C于点N，连接NE，因为侧面BCC1B1是平行四边形，所以N为B1C的中点，又因为点E为线段AC的中点，所以NEAB1，因为AB1面BEC1，NE面BEC1，所以AB1面BEC1.(2)连接A1C，A1E，因为A1AC=3，AC=AA1=2，15所以AA1C为等边三角形，A1C=2，因为

31、点E为线段AC的中点，所以A1EAC，因为侧面ACC1A1底面ABC，平面ACC1A1平面ABC=AC，A1E平面ACC1A1，所以A1E底面ABC，过点E在底面ABC内作EFAC，如图以E为坐标原点，分布以EF，EC，EA1 的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，则E 0,0,0，B32,-12,0，C10,2,3，所以EB=32,-12,0，EC1=0,2,3，设平面BEC1的法向量为m=x,y,z，则mEB=32x-12y=0mEC1=2y+3z=0，令x=1，则y=3,z=-2，所以平面BEC1的法向量为m=1,3,-2，又因为平面ABE的法向量为n=0,0,1，则cosm,n

32、=-21+3+4=-22，经观察，二面角A-BE-C1的平面角为钝角，所以二面角A-BE-C1的余弦值为-22.13(2024(2024广东广州广东广州一模一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DCP是等边三角形，DCB=PCB=4，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：MN平面PBC；(2)求证：平面PBC平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)33.【分析】(1)取PC中点E，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.(2)过P作PQBC于点Q，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推

33、理即得.(3)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】(1)取PC中点E，连接ME,BE，由M为DP中点，N为AB中点，得MEDC,ME=12DC，又BNCD,BN=12CD，则MEBN,ME=BN，因此四边形BEMN为平行四边形，于是MNBE，而MN平面PBC,BE平面PBC，16所以MN平面PBC.(2)过P作PQBC于点Q，连接DQ，由DCB=PCB=4,CD=PC,QC=QC，得QCDQCP，则DQC=PQC=2，即DQBC，而PQ=DQ=2,PQ2+DQ2=4=PD2，因此PQDQ，又DQBC=Q,DQ,BC平面ABCD，则PQ平面ABCD，PQ平面PBC，所以平面

34、PBC平面ABCD.(3)由(2)知，直线QC,QD,QP两两垂直，以点Q为原点，直线QC,QD,QP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则C(2,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),M 0,22,22,A(-2,2,0)，CM=-2,22,22,AD=(2,0,0),DP=(0,-2,2)，设平面PAD的一个法向量n=(x,y,z)，则nAD=2x=0nDP=-2y+2z=0，令y=1，得n=(0,1,1)，设CM与平面PAD所成角为，sin=|cosCM,n|=|CM n|CM|n|=23 2=33，所以CM与平面PAD所成角的正弦值是33.14(2024(2024广东梅州广东

35、梅州二模二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PAD为等边三角形，ADBC，ADAB，AD=AB=2BC=2(1)求证：ADPC；(2)点N在棱PC上运动，求ADN面积的最小值；(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得AM平面BDQ，求PQQC的值【答案】(1)证明见解析(2)2 217(3)4【分析】(1)取AD的中点H，连接PH，CH，依题意可得四边形ABCH为矩形，即可证明CHAD，再由17PHAD，即可证明AD平面PHC，从而得证；(2)连接AC交BD于点G，连接MC交BQ于点F，连接FG，即可得到CGAG=12，再根据线面平行的性

36、质得到CFFM=12，在PBC中，过点M作MKPC，即可得到MKCQ=2，最后由PQ=2MK即可得解.【详解】(1)取AD的中点H，连接PH，CH，则AHBC且AH=BC，又ADAB，所以四边形ABCH为矩形，所以CHAD，又PAD为等边三角形，所以PHAD，PHCH=H，PH,CH平面PHC，所以AD平面PHC，又PC平面PHC，所以ADPC.(2)连接HN，由AD平面PHC，又HN平面PHC，所以ADHN，所以SADH=12ADHN=HN，要使ADN的面积最小，即要使HN最小，当且仅当HNPC时HN取最小值，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PH平面PAD，所以PH

37、平面ABCD，又HC平面ABCD，所以PHHC，在RtHPC中，CH=2，PH=3，所以PC=CH2+PH2=7，当HNPC时HN=PHCHPC=2 37=2 217，所以ADN面积的最小值为2 217.(3)连接AC交BD于点G，连接MC交BQ于点F，连接FG，因为ADBC且AD=2BC=2，所以CGBAGD，所以CGAG=BCAD=12，因为AM平面BDQ，又AM平面ACM，平面BDQ平面ACM=GF，所以GFAM，所以CFFM=CGAG=12，在PBC中，过点M作MKPC，则有MKCQ=MFCF=2，所以PQ=2MK，所以PQ=2MK=4CQ，即PQQC=41815(2024(2024广

38、东广州广东广州模拟预测模拟预测)如图所示，圆台O1O2的轴截面A1ACC1为等腰梯形，AC=2AA1=2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点，且AB=BC,P是线段BC的中点.(1)求证：C1P平面A1AB.(2)求平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)17【分析】(1)取AB的中点H，连接A1H,PH，证明四边形A1C1PH为平行四边形，进而得C1PA1H，即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解.【详解】(1)取AB的中点H，连接A1H,PH，如图所示，因为P为BC的中点，所以PHAC,PH=12AC.在等腰梯形A1A

39、CC1中，A1C1AC,A1C1=12AC，所以HPA1C1,HP=A1C1，所以四边形A1C1PH为平行四边形，所以C1PA1H，又A1H平面A1AB,C1P平面A1AB，所以C1P平面A1AB.(2)因为AB=BC,故O2BAC，以直线O2A,O2B，O2O1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形A1ACC1中，AC=2AA1=2A1C1=4，此梯形的高为h=AA21-AC-A1C122=3.因为A1C1=12AC,A1C1AC，19则O20,0,0,A 2,0,0,A11,0,3,B 0,2,0,C-2,0,0,C1-1,0,3，所以BC1=(-1,-2,3),BC

40、=(-2,-2,0),AB=(-2,2,0),A1B=(-1,2,-3).设平面A1AB的法向量为m=x,y,z，则-2x+2y=0,-x+2y-3z=0,令y=1，得m=1,1,33.设平面C1CB的法向量为n=a,b,c，则-a-2b+3c=0,-2a-2b=0,令a=3，得n=(3,-3,-1).设平面A1AB与平面C1CB的夹角为，则cos=cosm,n=mnmn=-33737=17.16(2024(2024广东深圳广东深圳二模二模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C底面ABC，且AB=AC，A1B=A1C(1)证明：AA1平面ABC；(2)若AA1=BC=2，BAC

41、=90，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)155.【分析】(1)取BC的中点M，连结MA、MA1，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得BC平面A1MA，进而由A1AB1B得B1BBC，再证明B1B平面ABC即可得证.(2)建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于A1B的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可.【详解】(1)取BC的中点M，连结MA、MA1因为AB=AC，A1B=A1C，所以BCAM，BCA1M，由于AM，A1M平面A1MA，且AMA1M=M，因此BC平面A1MA，20因为A1A平面A1MA，所以BCA1A，又因为

42、A1AB1B，所以B1BBC，因为平面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1C平面ABC=BC，且B1B平面BB1C1C，所以B1B平面ABC，因为A1AB1B，所以AA1平面ABC.(2)法一：因为BAC=90，且BC=2，所以AB=AC=2以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A10,0,2，B2,0,0，C 0,2,0，C10,2,2所以A1B=2,0,-2，A1C=0,2,-2，A1C1=0,2,0设平面A1BC的法向量为m=x1,y1,z1，则mA1B=0mA1C=0，可得2x1-2z1=02y1-2z1=0，令z1=1，则m=

43、2,2,1，设平面A1BC1的法向量为n=x2,y2,z2，则nA1B=0nA1C1=0，可得2x2-2z2=02y2=0，令z2=1，则n=2,0,1，设平面A1BC与平面A1BC1夹角为，则cos=mnmn=35 3=155，所以平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值为155.法二：将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体ABDC-A1B1D1C1连接C1D，过点C作CPC1D，垂足为P，再过P作PQA1B，垂足为Q，连接CQ，因为BD平面CDD1C1，且CP平面CDD1C1，所以BDCP，又因为CPC1D，由于BD，C1D平面A1BDC1，且BDC1D=D，所以CP平面A1BDC1，则

44、CPQ为直角三角形，由于A1B平面A1BDC1，所以A1BCP，因为CP，PQ平面CPQ，且CPPQ=P，所以A1B平面CPQ，因为CQ平面CPQ，所以CQA1B，则CQP为平面A1BC与平面A1BC1的夹角或补角，在A1BC中，由等面积法可得CQ=303,因为PQ=A1C1=2，所以cosCQP=PQCQ=155，因此平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值为155.2117(2024(2024河北保定河北保定二模二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD内存在一条直线EF与AB平行，PA平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为32，PA=BC=2 3，CD=2AB=4.(

45、1)证明：四边形ABCD是直角梯形.(2)若点E满足PE=2ED，求二面角P-EF-B的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)3 1010【分析】(1)根据条件，利用线面平行的判定定理，得到AB平面PCD，再线面平行的性质定理，得到ABCD，再利用条件得到AC=4，结合AB=2，BC=2 3，即可证明结果；(2)建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ABE的法向量，利用面面角的向量法，即可解决问题.【详解】(1)因为ABEF，EF平面PCD，AB平面PCD，所以AB平面PCD，因为AB平面ABCD，平面ABCD平面PCD=CD，所以ABCD，连接AC，因为PA平面ABCD，所以PCA是PC

46、与平面ABCD的夹角，则tanPCA=PAAC=2 3AC=32，解得AC=4.因为AB=2，BC=2 3，所以AB2+BC2=AC2，所以ABBC.又ABCD，所以四边形ABCD是直角梯形.(2)取CD的中点M，连接AM，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P 0,0,2 3，D 2 3,-2,0，C 2 3,2,0，B 0,2,0，AB=0,2,0，PC=2 3,2,-2 3，PD=2 3,-2,-2 3，由PE=2ED，得E4 33,-43,2 33，则BE=4 33,-103,2 33，设平面PCD的法向量为n=x,y,z，则nPC=2 3x+2y-2 3z=0nPD=2 3

47、x-2y-2 3z=0，取x=1，得到y=0,z=1，即n=1,0,1，设平面ABE的一个法向量为m=x,y,z，则由mAB=0mBE=0，得到2y=04 33x-103y+2 33z=0，到x=1，得到y=0,z=-2，所以平面ABE的一个法向量为m=1,0,-2设二面角P-EF-B的平面角为，22则 cos=cosn,m=nmnm=1010，所以sin=1-10102=3 1010，故二面角P-EF-B的正弦值为3 1010.18(2024(2024湖南衡阳湖南衡阳模拟预测模拟预测)如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AC是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD是圆锥底面

48、圆O的内接三角形，E是圆锥母线PC的中点，PO=6,AC=4.(1)求证：平面BED平面ABD；(2)设点M在线段PO上，且OM=2，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3 1010【分析】(1)借助圆锥的性质及面面垂直的判定定理计算即可得；(2)建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.【详解】(1)如图，设AC交BD于点F，连接EF，在圆锥PO中，PO底面圆O，所以POBD，又等边三角形ABD是圆锥底面圆O的内接三角形，AC为直径，所以BDAC，所以AB=ACsin3=2 3，所以AF=ABsin3=3，可知OF=12OC=1，即F是OC的中点，又E是

49、母线PC的中点，所以EFPO，所以EF平面ABD，又EF平面BED，所以平面BED平面ABD；(2)由(1)EF平面ABD,BDAC，以点F为坐标原点，FA,FB,FE所在直线分别为x轴y轴z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰三角形PAC中AC=4,PO=2EF=6,OM=2，又AF=3，所以BF=DF=AFtan6=3，所以A 3,0,0,B 0,3,0,D 0,-3,0,E 0,0,3,M 1,0,2，AB=-3,3,0,AE=-3,0,3,DM=1,3,2，设平面ABE的法向量为n=x,y,z，23则AB n=0AE n=0，即-3x+3y=0-3x+3z=0，令x=1，则y=3,

50、z=1，即n=1,3,1，设直线DM与平面ABE所成的角为，则sin=cosn,DM=nDM n DM=1+3 3+21+3+1 1+3+4=3 1010.19(2024(2024湖南岳阳湖南岳阳三模三模)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，DAB=60，PA=PC，PB=PD=2 10，M是线段PC上的点，且PC=4MC(1)证明：PC平面BDM；(2)点E在直线DM上，求BE与平面ABCD所成角的最大值【答案】(1)证明见解析；(2)6.【分析】(1)连结AC，BD交于点O，由条件证明POAC,POBD，建立空间直角坐标系，利用向量方法证明PCDM,PCBM，结合线面垂直