湖北省黄冈中学2024届高三第二次模拟考试（5月）数学试卷含答案.pdf

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1、由 扫描全能王 扫描创建#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkBGCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#湖北省黄冈中学2024届高三第二次模拟考试（5月）数学试卷由 扫描全能王 扫描创建#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkBGCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#由 扫描全能王 扫描创建#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkBGCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#由 扫描全能王 扫描创建#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkBGCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#湖北省黄冈中学

2、5月第二次模拟考试 数学试卷参考答案 第1 页(共8页)湖北省黄冈中学5月第二次模拟考试数学试卷参考答案1234567891 01 1BBADCBBBA C DB CB C D1.【详解】因为A=xN|x-3 x+2 0 =0,1,2,3 ,B=x|x-1 1 =x|0 x2 ,由韦恩图可知,阴影部分表示UB A,所以UB A=3 .故选:B.2.【详解】因为(1+i)z=3-i=3 2+-1 2=2,所以z=21+i=21-i 1+i 1-i =1-i,所以z-=1+i.故选:B.3.【详解】A77A55=4 2.故选:A.4.【详解】记O为坐标原点,因为A(1,3),B(-3,1),所以|

3、O A|=|O B|=1 0,所以点A(1,3),B(-3,1)均在以原点O为圆心1 0为半径的圆上.连接A B,取A B的中点M,连接OM,则OMA B,不妨设,(0,2),则x OM=+-2=+2,所以t a n+2=kOM=-1kA B=-2.故选:D.5.【详解】根据条件得:(a-e)2=|a|2+2-2ae=2-6+|a|2=1,|a|2=-(2-6-1)=-(-3)2+1 01 0,|a|1 0,|a|的最大值为1 0.故选C.6.【详解】因为函数g(x)为奇函数,所以有g(-x)=-g(x),g(0)=0,又因为g(x+1)为偶函数,所以g(x+1)=g(-x+1),g(2)=g

4、(0)=0于是有g(x+2)=g(-x)=-g(x)g(x+4)=g(x),所以函数g(x)的周期为4,因为g(x)=f(x+1)-2,f(2)=1,所以g(1)=f(1+1)-2=-1,g(3)=g(-1)=-g(1)=1,g(4)=g(0)=0,所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0,于是2 3k=1g(k)=5g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(1)+g(2)+g(3)=0-1+0+1=0,故选:B.7.【详解】设渐近线y=bax的倾斜角为,则t a n=ba,又F到渐近线y=bax的距离为A F=b c a2+b2=b,又O F=c,O A=a,B F=2A F=2b,

5、A B=3b,t a nA O B=t a n 2=3ba=3 t a n,2 t a n1-t a n2=3 t a n,解得t a n=33,双曲线C的渐近线方程为y=33x.故选:B.8.【详解】因为a=l o g1 61 5,b=l o g1 71 6,c=1 51 6 1 71 6,d321,a-b=l o g1 61 5-l o g1 71 6=l n 1 5l n 1 6-l n 1 6l n 1 7=l n 1 5l n 1 7-l n 1 6 2l n 1 6l n 1 7,l n 1 5l n 1 7l n 1 5+l n 1 72 2=l n 2 5 52 2l n 2

6、5 62 2=l n 1 6 2,所以a-b0即#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkBGCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#湖北省黄冈中学5月第二次模拟考试 数学试卷参考答案 第2 页(共8页)ab,c=1 51 6 1 71 61 51 6,ca1 51 6l o g1 61 5=1 51 6l n 1 6l n 1 5=l n 1 61 6l n 1 51 51所以ca,故有cab|F1F2|,且P,M,N不重合,故点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆(去掉P,M,N重合的点),则曲线C的方程为x24+y23=1(x-2),A错误;对于B:由图可知MPN与F

7、1P F2互补,当P点为椭圆短轴端点时,F1P F2最大,此时s i nF2P O=ca=12,所以F2P O=3 0,则F1P F2的最xyOMPNF1F2大值为6 0,所以MPN的最小值为1 2 0,B正确;对于C:MPP F1+NPP F2=-r(r+1)+r(3-r)=2r(1-r)2(r+1-r2)2=12,当且仅当r=12时等号 成 立,C正 确;对 于D:设 点P x0,y0 ,M x1,y1 ,N x2,y2 ,F1-1,0 ,F21,0 ,则过点P x0,y0 的椭圆的切线方程为x0 x4+y0y3=1,切线斜率 为-3x04y0,又PNNF2=r3,PMMF1=r,所 以P

8、N=-r3NF2,PM=rMF1,则#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkBGCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#湖北省黄冈中学5月第二次模拟考试 数学试卷参考答案 第3 页(共8页)x2-x0,y2-y0 =-r31-x2,-y2 ,x1-x0,y1-y0 =r-1-x1,-y1 ,得x2-x0=-r31-x2 y2-y0=-r3-y2 ,x1-x0=r-1-x1 y1-y0=r-y1 ,解 得x2=3x0-r3-ry2=3y03-r ,x1=x0-r1+ry1=y01+r ,所 以kMN=3y03-r-y01+r3x0-r3-r-x0-r1+r=3y01+r

9、-y03-r 3x0-r 1+r -x0-r 3-r =2y01+2x0-r,又r=P F1-1=x0+1 2+y20-1=x20+2x0+1+31-x204 -1=12x0+2 2-1=12x0+2-1,因为-20,所以r=12x0+2-1=12x0+1,所以kMN=2y01+2x0-12x0+1 =4y03x0,所以-3x04y04y03x0=-1,即曲线C在点P处的切线与线段MN垂直,D正确.故选:B C D.1 2.【详解】根据二项式的展开式:Tr+1=Cr6(-1)r(2)6-rx3r2-6(r=0,1,2,3,4,5,6);当r=4时,常数项为6 0.1 3.【详解】an0,d0,

10、a10,且a2+a3=2a3-d=1 0,2a3=1 0+d1 0,a35,故S5=5a1+a5 2=5a3 2 5,+.b3b9=5b7,所以b5b7=5b7b5=5,S5b55,所以最小值为5.1 4.【详解】令k(e-1)-ek x=(1-e)l nx-1x,ek x+l nx+k x+l nx-el nx+k x -1=0,令k x+l nx=t,则et+1-e t-1=0,令h x =ex+1-e x-1,则hx =ex+1-e.令hx 0 x l ne-1 h x 在l ne-1 ,+上单调递增;hx 0 x l ne-1 h x 在-,l ne-1 上单调递减;又0 l ne-1

11、 0,则此时px 在0,+上 递 增,又x0,p x -,x+,p x +.即p x R,则k x1+l nx1=0k x2+l nx2=1 有且只有一组实数根.当k0时,方程组k x1+l nx1=0k x2+l nx2=1 有且只有一组实数根,等价于函数y=l nx图象与直线y=-k x,y=1-k x图象有两个交点,临界情况为两条直线与y=l nx图象相切.当y=-k x与y=l nx相切,设对应切点为x3,y3 ,因l nx =1x,y3=l nx3,则相应切线方程#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkBGCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#湖北省黄冈中学

12、5月第二次模拟考试 数学试卷参考答案 第4 页(共8页)为y=1x3x-x3 +l nx3=1x3x+l nx3-1=-k xl nx3-1=01x3=-k k=-1e;当y=1-k x与y=l nx相切,设对应切点为x4,y4 ,则相应切线y=1x4x-x4 +l nx4=1x4x+l nx4-1=1-k x方程为l nx4-1=11x4=-k k=-1e2,则k-1e,-1e2 .综上,-1e,-1e2 0,+.xyOy=-kx1y=-kxy=xlnxyOy=-kx1y=-kxy=xln1 5.【详解】(1)f(x)=c o s(x+3)s i n(x-2)+c o s2 x-14=12s

13、 i n(2 x+6)由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为2.则2=(T2)2+1,解得:T=2,则:T=2=2 2,解得:=2.f(x)=12s i n(x+6).令2k-2x+62k+2(kZ),解得:2k-23x2k+13(kZ),由x0,3,知k=0故f(x)的单调递增区间为0,13.(2)由余弦定理:A=3,b+c=2,a2=b2+c2-2b cc o sA=(b+c)2-3b c=4-3b c,又2=b+c2b c0b c1,故1a2a,故1a2.由f(a)=12s i n(a+6),7 6a+61 3 6,所以f(a)的值域为-12,14).1 6.【详解】(1)如图,

14、设A C交B D于点F,连接E F,由圆锥的性质可知P O底面A B D,因为A C平面A B D,所以P OA C,又因为A B D是底面圆的内接正三角形,由AD=2 3,可得A F=3,ADs i n 6 0=A C,解得A C=4,又A E=2 3,C E=2,所以A C2=A E2+C E2,即A E C=9 0,A EP C,又因为A EA C=A FA E=32,所以A C EA F E,所以A F E=A E C=9 0,即E FA C,又P O,A C,E F平面P A C,直线E FP O,P O平面B D E,E F平面B D E,所以直线P O平面B D E.(2)因为P

15、 OE F,P O平面A B D,所以E F平面A B D,又E F平面B E D,所以平面B E D平面A B D;易知P O=2E F=2 3,以点F为坐标原点,F A,F B,F E所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkBGCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#湖北省黄冈中学5月第二次模拟考试 数学试卷参考答案 第5 页(共8页)所示的空间直角坐标系,则A3,0,0 ,B0,3,0 ,D0,-3,0 ,E0,0,3 ,P1,0,2 3 ,O1,0,0 ,所以A B=-3,3,0 ,A E=-3,0,3 ,D O=1,3,

16、0 ,O P=0,0,2 3 ,设平面A B E的法向量为n=x,y,z ,则A Bn=-3x+3y=0A En=-3x+3z=0,令x=1,则n=1,3,3 ,设OM=O P01 ,可得DM=D O+OM=1,3,2 3 ,设直线DM与平面A B E所成的角为,则s i n=c o s=nDMnDM=6+47 1 22+4=3+27 32+1,即s i n2=92+1 2+4732+1 =173+1 2+132+1 ,令y=1 2x+13x2+1,x 0,1 ,则y=1 2x+13x2+1=4x+11 2x2+13 =4x+11 2x+11 2-11 2 2+13 =4x+11 2+4 91

17、 4 4x+11 2-1642x+11 2 4 91 4 4x+11 2 -16=4,当且仅当x=12时,等号成立,所以当x=12时,y=1 2x+13x2+1有最大值4,即当=12时,s i n的最大值为1,此时点M1,0,3 ,所以MO=3,易知MF O即为平面MB D与平面A B D所成的角,又F O=1,MF O=6 0 故当直线DM与平面A B E所成角的正弦值最大时,平面MB D与平面A B D所成角为6 0 .1 7.【详解】(1)甲进入决赛的概率为p1=(34)2=91 6,乙进入决赛的概率为p2=2334=12,丙进入决赛的概率为p3=p(32-p)=-p2+32p=-(p-

18、34)2+91 6,而12p34,故p391 6,所以,甲进入决赛的可能性最大.(2)甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为91 6121-p(32-p)+91 6(1-12)p(32-p)+(1-91 6)12p(32-p)=2 97 2,整理可得1 8p2-2 7p+1 0=0,因为12p 3,则|P F1|=(-2+x0)2+y20=(-2+x0)2+x203-1=2 33x0-3,同理得|P F2|=2 33x0+3,因为P F1=(x0-2,y0),P F2=(x0+2,y0),又P F1aP F1=P F2aP F2,所以(x0-2,y0)(1,k)2 33x0-3=(x0+2,

19、y0)(1,k)2 33x0+3,整理得x0=3k y0,则kO Ak=y0 x0k=13,故直线O A与直线m的斜率之积为定值;(3)由(2)知x0=3k y0,因为x00,y00,所以k0,联立x0=3k y0 x203-y20=1 ,又x0 3,解得x0=3k 3k2-1,y0=1 3k2-1,所以A(3k 3k2-1,1 3k2-1),P(-3k 2k2-1,-1 3k2-1),k 33,k 33,不妨设直线m的方程为y=k x+n,因为点P在直线m上,解得n=3k2-1,所以直线m的方程为y=k x+3k2-1,k 33,#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkB

20、GCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#湖北省黄冈中学5月第二次模拟考试 数学试卷参考答案 第7 页(共8页)易知|AD|=|3k2-1 3k2-1+3k2-1|k2+1=2 3k2-1 k2+1,因为直线A B的斜率为-1k,不妨设直线A B的方程为x=-k y+t,因为点A在直线A B上,解得t=4k 3k2-1,所以直线A B的方程为x=-k y+4k 3k2-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x=-k y+4k 3k2-1x23-y2=1 ,消去x并整理得(k2-3)y2-8k2 3k2-1y+7k2+33k2-1=0,由韦达定理得y1+y2=8k2(k2-3)3k2-

21、1,y1y2=7k2+3(k2-3)(3k2-1),因为y1y20)的焦点到准线的距离为3,则p=3,即抛物线方程为x2=6y,即f(x)=y=16x2,则f(x)=13x,f(x)=13,又 抛 物 线 在 点3,y 处 的 曲 率,则K=13(1+1932)32=132 2=21 2,即在该抛物线上3,y 处的曲率为21 2.(2)g(-x)=12-x+1-12=2x2x+1-12=12-12x+1=-g(x),g(x)在R上为奇函数,又g(x)在R上为减函数.不等式g(ex+e-x2)g(2-c o s x)对于xR恒成立,等价于c o s x2-ex+e-x2对于xR恒成立。又因为两个

22、函数都是偶函数,记p(x)=c o s x,q(x)=2-ex+e-x2,则曲线p(x)恒在曲线q(x)上方。p(x)=-s i n x,q(x)=-ex-e-x2,又因为p(0)=q(0)=1,p(0)=q(0)=0#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkBGCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#湖北省黄冈中学5月第二次模拟考试 数学试卷参考答案 第8 页(共8页)所以在x=0处三角函数p(x)的曲率不大于曲线q(x)的曲率。即p(0)1+p2(0)32q(0)1+q2(0)32又因为p(x)=-2c o s x,q(x)=-ex+e-x2,p(0)=-2,q(0)

23、=-1所以21,解得:-11,因此,的取值范围为-1,1 (3)由题可得f(x)=4x.所以曲线y=f(x)在点(xn,f(xn)处的切线方程是:y-f(xn)=f(xn)(x-xn).即y-(2xn2-8)=4xn(x-xn).令y=0,得-(xn2-4)=2xn(xn+1-xn).即xn2+4=2xnxn+1.显然xn0,xn+1=xn2+2xn.由xn+1=xn2+2xn,知xn+1+2=xn2+2xn+2=(xn+2)22xn,同理xn+1-2=(xn-2)22xn,故xn+1+2xn+1-2=(xn+2xn-2)2.从 而l gxn+1+2xn+1-2=2 l gxn+2xn-2,设

24、l gxn+2xn-2=an,即an+1=2an.所 以,数 列 an 成 等 比 数 列.故an=2n-1a1=2n-1l gx1+2x1-2=2n-1l g 3.即l gxn+2xn-2=2n-1l g 3.从而xn+2xn-2=32n-1所以xn=2(32n-1+1)32n-1-1,bn=xn-2=432n-1-10bn+1bn=32n-1-132n-1=132n-1+1132n-11321-1=13当n=1时,显然T1=b1=21时,bn13bn-1(13)2bn-2(13)n-1b1,Tn=b1+b2+bnb1+13b1+(13)n-1b1=b11-(13)n1-13=3-3(13)n3.综上,Tn3(nN*).#QQABIYoQggCgAoAAABhCEwGwCAKQkBGCAAoORAAAsAAAiRFABAA=#