第21课极坐标系下二重积分的计算.doc

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1、极坐标系下二重积分的计算 第 课21课题极坐标系下二重积分的计算课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握极点在区域D的边界时二次积分的计算方法；（2）掌握极点在区域D的外部时二次积分的计算方法；（3）掌握极点在区域D的内部时二次积分的计算方法思政育人目标：通过讲解极坐标系下二重积分的计算，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：极坐标系下二重积分的计算教学难点：选用适当的坐标计算方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第

2、1节课：考勤（2 min）知识讲解（33 min）课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）问题讨论（10min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】讲解极点在区域D的边界时二次积分的计算，并通过例题讲解其应用如果积分区域是如图11-16所示的曲边扇形，即可以表示为，则极坐标系下二重积分化为二次积分的计算公式为图11-17例1 计算，其中解 积分区域如图11-17所

3、示因圆周的极坐标方程为，故可表示为，于是n 【学生】掌握极点在区域D的边界时二次积分的计算方法n 【教师】讲解极点在区域D的外部时二次积分的计算，并通过例题讲解其应用如果极点在积分区域的外部，如图11-18所示，设积分区域可以表示为，其中和在区间上连续如图11-19所示，在区间上任意取定一个值区域中与这个值对应的点在线段上，上任意一点的极径都满足，而是区间上的任意值，所以满足因此，极坐标系下二重积分化为二次积分的计算公式为或简写成 图11-18 图11-19例2 计算二重积分，其中 ，为圆环的一部分解 积分区域如图11-20所示，因圆周和的极坐标方程为和，故可表示为，图11-20于是在计算熟练

4、后，可直接按下列方式计算n 【学生】掌握极点在区域D的外部时二次积分的计算方法学习极点在区域D的边界时二次积分的计算，极点在区域D的外部时二次积分的计算。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（20 min）n 【教师】讲解极点在区域D的内部时二次积分的计算，并通过例题介绍其应用如图11-21所示，如果极点在区域的内部

5、，则可以表示为，其中是区域边界曲线的极坐标方程因此，极坐标系下二重积分化为二次积分的计算公式为例3 计算，其中解 积分区域如图11-22所示，因圆周的极坐标方程为，故可表示为，于是 图11-21 图11-22此题若采用直角坐标进行计算，则会遇到积分，它不能用初等函数来表示，因而无法计算由此可见，有时利用极坐标计算二重积分会比较方便由二重积分的几何意义知，表示以曲面为顶，以该曲面在坐标平面上的投影区域为底的曲顶柱体体积因此，可用二重积分来计算空间曲面所围立体的体积例4 求球面与圆柱面所围立体的体积解 圆柱面经过轴，球面与圆柱面所围立体的第一卦限部分如图11-23（a）所示为，由对称性可得，其中为

6、半圆周及轴所围成的闭区域，如图11-23（b）所示在极坐标系中，闭区域为可表示为，于是 （a） （b）图11-23n 【学生】掌握极点在区域D的内部时二次积分的计算方法学习极点在区域D的内部时二次积分的计算方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1哪些被积函数及积分区域适合用极坐标来计算二重积分？2当极点在不同位置时（如极点在积分区域的边界、外部、内部），极坐标系下二重积分化为二次积分的计算公式有何区别？n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一

7、下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课介绍了适用于极坐标系下计算二重积分的两个特点： 积分区域的为圆域、扇形域、圆环域等； 被积函数为并分三种情况讨论了极坐标系下二重积分的计算课后要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题11.3总结知识点，巩固印象教学反思本节课教学整体效果不错，部分环节让学生觉得较为枯燥。教师要反思如何才能让学生感受到学习的乐趣、如何才能提高学生学习的积极性和主动性、如何才能激发出他们的学习潜能等。教师要秉承公平、公正，不能只注视学习成绩好的学生，对于学习成绩差的学生更是要多加鼓励和指导7目 录