第9课函数的微分及其应用.doc

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1、函数的微分及其应用 第 课9课题函数的微分及其应用课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）理解函数微分的概念，及其几何意义。（2）掌握基本初等函数的微分与函数微分的运算法则。（3）掌握微分在近似运算中的应用。思政育人目标：由具体问题引出微分的定义，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。教学重难点教学重点：函数微分的概念、函数微分的运算法则教学难点

2、：微分在近似运算中的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（33 min）课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）问题讨论（10 min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】讲解微分的定义例1 一块正方形金属薄片，由于温度的变化，其边长由变为，如图2-4所示，此时薄片的面

3、积改变了多少？图2-4解 设此薄片的边长为，面积为，则当自变量在有改变量时，相应的面积函数有改变量，则从图中可以看出，由两部分组成：一部分是（的线性函数），为图中两个矩形的面积，它是的主要组成部分（很小时）；另一部分是，为图中小正方形的面积，当很小时，这部分可以忽略不计（是的高阶无穷小）所以，当很小时，这表明，正方形金属薄片面积的改变量可近似地用的线性函数部分来代替，其误差是的高阶无穷小由此产生了微分概念定义1 设函数在内有定义，为自变量改变量，和都在内，若产生的函数改变量可以表示成（是不依赖于的常数），即可用的线性函数加的高阶无穷小量表示，则称函数在点可微称为函数在点相应于的微分，记作，即一

4、般来说，如果在点可微，则存在常数，使，这样就有令，得，所以，故若在点可微，则在点一定可导，且反之，若在点可导，则，（其中是的无穷小量），所以，在点一定可微因此，有如下定理定理1 设函数在内有定义，则在点处可微的充要条件是在点处可导，且定理表明，函数在点处的可微性与可导性是等价的因此，可导函数也称为可微函数函数在任意点处的微分称为函数的微分，记作或，即当时，即因此，可看成自变量本身的微分，因此，函数的微分又可写成，从而，有因此，导数也称为微商按以上结果可以得到：（1）微分计算与导数计算的本质相同；（2）导数记号就是微分的商；（3）前面讨论的复合函数求导法则及参变量函数的导数公式均是微分的代数恒等

5、式例1 求函数在和点处的微分解 函数在处的微分函数在点处微分例2 分别求函数，的微分解 函数的微分；函数微分；函数微分n 【学生】理解微分的定义n 【教师】讲解微分的几何意义如图2-5所示，设函数在点处可微，在直角坐标系中，是曲线在点处的切线对于可微函数来说，当是曲线在点和点纵坐标的增量时，函数在的微分就是曲线在点处的切线在点和点纵坐标的增量，这就是微分的几何意义图2-5由微分的定义和几何意义可以看出：当很小时，在几何上就是函数曲线在局部可用函数的切线段近似代替，这种表示称为非线性函数的局部线性表示这是微积分学的基本思想方法之一，这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中被经常采用上述思想方法，

6、在几何上看就是：在邻近用切线段近似代替曲线段，我们称之为“局部以直代曲”n 【学生】理解微分的几何意义学习微分的定义和几何意义。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（20 min）n 【教师】讲解基本初等函数的微分与函数微分的运算法则，并通过例题讲解介绍其应用1基本初等函数的微分公式由函数微分的定义可知，求函数的微分

7、，只需求函数的导数，再乘自变量的微分dx即可因此，基本初等函数的微分公式如下：（1）(C为常数)；（2）(为常数)；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）2函数微分的四则运算法则由于，因此，微分运算实际就是导数的运算，故可得，这样，我们就得到了函数微分的四则运算公式：（1）；（2）；（3）3复合函数的微分法则复合函数由，复合而成，若，可导，则复合函数微分为由上式可以看出，无论是中间变量还是自变量，并不改变，这种性质我们称为一阶微分的形式不变性因此，求复合函数的微分可先求中间变量的微分，然后再求中间变量对自变量的微分例如，是由，复

8、合而成的，其微分如下：例3 ，求解 例4 ，求解 例5 设，求解 对等式两边同时微分得，即，整理得例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立：（1）；（2）；（3）；（4）解 （1）因为，所以，所以又由于，因此有(为任意常数)同理可得（2）；（3）；（4）n 【学生】掌握基本初等函数的微分与函数微分的运算法则n 【教师】讲解函数的近似计算和误差估计1函数的近似计算设函数在点可微（可导），为自变量的增量，则相应的函数增量为，于是当充分小时， （1）即，将移到式子右端，得当充分接近时，令，则，可得 （2）公式（1）和公式（2）为函数增量的近似计算公式和函数值的近似计算公式例7 有一批边

9、长为1 cm的金属正方体，为了提高金属几何体表面光洁度，要给它们镀上一层厚度为0.01 cm的铜，已知铜的密度为，试估计每个金属立方体需要多少克铜？分析 本题是一个函数增量的近似计算问题，求出所需铜的体积即可求得结果解 设正方体边长为，则体积因金属立方体镀上铜后，边长由1 cm增加到1.02 cm，故取，由微分近似计算公式有因此，需铜大约例8 计算的近似值分析 本题实际是求函数在的近似值解 令，由公式可得如果按实际计算，由此可见，近似计算的精度还是比较高的对近似计算公式，若取，则变为利用上式，可得到工程上常用的几个重要函数在附近的函数值近似计算公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）*2误

10、差估计我们先给出几个常用的误差估计概念绝对误差：如果某个量的精确值为A，近似值为a，则称为a的绝对误差相对误差：绝对误差与的比值称为a的相对误差绝对误差限：的上限（即）称为A的绝对误差限相对误差限：称为的相对误差限一般地，计算函数的值，估计其误差可用函数的微分近似估计，方法如下已知自变量的绝对误差限为，即，由可知的绝对误差限，的相对误差限为例9 测量一个球的半径，已知的绝对误差限，现在量得该球半径为20 cm，问：计算球体积时其绝对误差与相对误差大约各为多少？解 球体积公式，取，则有，即 ，故体积的绝对误差不超过体积的相对误差为，故体积的相对误差不超过n 【学生】掌握微分在近似运算中的应用，了

11、解误差估计学习基本初等函数的微分与函数微分的运算法则、微分的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1解释函数在点可微与在点连续的关系，并说明理由2函数的微分与导数的概念有何区别与联系？由导数定义能推出微分定义吗？反之如何？3微分用于函数值的近似计算有何优点与缺点？n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了微分的定义和几何意义、基本初等函数的微分与函数微分的运算法则、函数的近似计算和误差估计的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题2.5总结知识点，巩固印象教学反思本节课发现部分学生缺乏练习，无法将所学知识很好地应用到题目中。在今后的教学中应更加注重课堂练习环节的作用，将其与平时成绩紧密结合，让学生自主参与，消除学生的惰性，培养学生良好的学习习惯。11目 录