第20课可降阶的微分方程、二阶线性微分方程解的结构.doc

《第20课可降阶的微分方程、二阶线性微分方程解的结构.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第20课可降阶的微分方程、二阶线性微分方程解的结构.doc（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、20可降阶的微分方程、二阶线性微分方程解的结构 第 课课题可降阶的微分方程、二阶线性微分方程解的结构课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握可降阶的微分方程的解法。（2）理解二阶线性微分方程解的结构。思政育人目标：通过学习可降阶的微分方程的解法和二阶线性微分方程解的结构，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学重难点教学重点：二阶线性微分方程解的结构教学难点：可降阶的微分方程的解教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2

2、min）知识讲解（33 min）课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）问题讨论（10 min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】引入降阶求解高阶微分方程的概念二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程求解高阶微分方程的方法之一就是降阶，若高阶微分方程可降为一阶微分方程，那么就可以应用前面所介绍的方法去求解设二阶微分方程，其中为含有三个变量的函数本节中主要介绍三

3、类可降阶的二阶微分方程的解法n 【教师】讲解降阶求解型方程的方法，并通过例题介绍其应用型方程的特点是等式右端只是的函数，不出现及令，则于是原方程可降为一阶微分方程，等式两边积分可得，再积分一次，可得原方程的通解为，其中为任意常数例1 求微分方程的通解解 对原方程两边关于积分一次，可得，再积分一次，得原方程的通解，其中为任意常数n 【教师】讲解降阶求解型方程的方法，并通过例题介绍其应用型方程的特点是等式右端未明显包含变量如果令，则，代回原方程，得，这是一个关于变量，的一阶微分方程，可按一阶微分方程的解法求解设其求得的通解为，即，等式两边积分一次，即可求得原方程的通解，其中为任意常数例2 求微分方

4、程解 原方程中不显含，故设，则代入原方程，得这是一阶微分方程，分离变量可得，等式两端积分，解得，即，再将上式两边积分得，其中为任意常数n 【教师】讲解降阶求解型方程的方法，并通过例题介绍其应用型方程的特点是等式右端不明显包含自变量同样采用变量替换的方法，令，由复合函数求导法则有，代入原方程得这是一个关于的一阶微分方程，若能求出其通解，即，则可分离变量得，两边积分，可得原方程的通解，其中为任意常数例3 求微分方程的通解解 方程不明显包含自变量，故设，则，代入原方程，得当，时，变量分离可得，两边积分得，整理得，即，再次分离变量并积分解得，整理得显然，是原方程的解，便可得通解(为任意常数)n 【学生

5、】掌握可降阶的微分方程的解法学习可降阶的微分方程的解法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（20 min）n 【教师】讲解二阶线性微分方程解的结构定义1 形如 （5-22）的微分方程称为二阶线性微分方程其中为定义在某区间上的连续函数，若，则称方程是非齐次方程，若，则方程（5-22）变为， （5-23）它称为对应于（

6、5-22）的齐次方程，称为自由项本节将讨论方程（5-22）及（5-23）解的基本性质，并将这些性质推广到阶线性微分方程（5-24）n 【教师】讲解二阶齐次线性微分方程解的结构，并通过例题介绍其应用定理1 设都是方程（5-23）的解，则也是该方程的解，其中为任意常数证明 因为都是方程（5-23）的解，将代入方程（5-23）可得 故也是方程（5-23）的解注：（1）此定理说明齐次线性方程的解符合叠加原理（2）称为与的线性组合（3）虽然含有两个任意常数，但它未必为方程（5-23）的通解定义2 设为定义在某区间上的个函数，如果存在个不全为零的常数，使得时，恒有等式成立，则称这个函数在区间上线性相关，否

7、则称为线性无关例1 讨论下列函数的线性相关性：（1）；（2）证明 （1）因为，只需取，就有，故在上线性相关（2）对而言，如果不全为0，则在区间内至多存在两个点，使得要使上式恒等于0，则必须，故在任意区间内部线性无关特别地，对两个函数而言，线性相关的充要条件是(为非零常数)由此我们可以得到以下的结论定理2 如果是方程（5-23）的两个线性无关的解，则线性组合（为任意常数）是该方程的通解证明 由定理1可知是方程（5-23）的解，又由于线性无关，故，即，两个任意常数不能合并，是相互独立的，故线性组合是方程（5-23）的通解推论1 设是阶线性方程（5-24）的个线性无关的解，则此方程的通解为，其中，为

8、任意常数n 【教师】讲解二阶非齐次线性微分方程解的结构，并通过例题介绍其应用定理3 设是方程（5-22）的一个特解，是对应的齐次方程（5-23）的通解，则是非齐次方程（5-22）的通解证明 将代入方程（5-22）得 故是方程（5-22）的解，且中含有2个独立的任意常数，故是方程（5-22）的通解推论2 设是阶线性非齐次方程 （5-25）的特解，是对应的齐次方程的通解，则是方程（5-25）的通解推论3 设和是方程（5-22）的两个解，则是对应齐次方程（5-23）的通解推论4 设非齐次方程（5-22）右端是几个函数之和，不妨设， （5-26）而与分别是方程和的特解，则是方程（5-26）的特解证明

9、将代入方程（5-26）得故是方程（5-26）的特解这个定理说明非齐次线性方程的解符合叠加原理，并可推广到阶非齐次线性方程n 【学生】理解二阶齐次线性微分方程解的结构和二阶非齐次线性微分方程解的结构，并掌握其应用学习二阶线性微分方程解的结构，及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1如果个函数线性无关，应该满足什么条件？2设，为任意常数，是方程（5-23）的两个解，那么是否为该方程的通解？3设是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，如何利用这三个解来表示该方程的通解？n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识

10、点的理解课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了齐次型微分方程和一阶线性微分方程的相关知识及其应用，了解了伯努利方程。课后大家要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题5.3、习题5.4总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，通过复习测验，发现学生对于本章知识都掌握的不错，只出现了一些小问题。教师对学生进行了鼓励，并针对出现的小问题进行了讲解，排除了学生的学习隐患。9目 录