第21课二阶常系数线性微分方程.doc

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1、二阶常系数线性微分方程 第 课21课题二阶常系数线性微分方程课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。（2）掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法。思政育人目标：通过学习二阶常系数线性微分方程的解法，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学重难点教学重点：二阶常系数线性微分方程的概念教学难点：二阶常系数线性微分方程的解法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（3

2、3 min）课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）问题讨论（10 min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】讲解二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法，并通过例题介绍其应用由上节课学习的定理2知，要解出方程（5-28）的通解，只要找出其两个线性无关的特解即可由于方程（5-28）的左端是，及的线性关系式，且，都是常数，要使，三项之和为零，那么，应该是同一类型的函数

3、而指数函数与其各阶导数只相差一个常数因子，因此可猜想方程（5-28）具有（为待定常数）形式的解下面将代入方程（5-28），看看应该满足什么条件对求一阶、二阶导数得，把，代入方程（5-28）得，由于，故有 （5-29）这表明，只要是代数方程（5-29）的根，那么就是微分方程（5-28）的解代数方程（5-29）称为微分方程（5-28）的特征方程，特征方程的根称为特征根这样就把求微分方程解的问题转化为求特征方程根的问题根据特征方程（5-29）的根有相异实根、重根、共轭复根3种情形，现分别进行如下讨论（1）当时，特征方程有两个相异的实根，此时微分方程（5-28）对应的两个特解为因为不是常数，故，线性无

4、关，方程（5-28）的通解为（2）当时，特征方程有两个相等的实根，记为，这时可得方程（5-28）的一个特解但还需要再找另一个与线性无关的特解，即常数故可设，其中为待定函数假设是方程（5-28）的解，且，将代入方程（5-28），可得因为，故有，又因为为特征根，即，故有简单起见，取特解，则是方程（5-28）的与线性无关的一个特解，故方程（5-28）的通解为(为任意常数)（3）当时，特征方程（5-29）有一对共轭复根，设为其中，这时微分方程（5-28）有两个复数解，即而实际常用的是实数形式的解，因此还需对上述两个特解做一些处理应用欧拉公式，可将变形为为，记，由5.4节的定理1知都是微分方程（5-28

5、）的解，且，不是常数，故和线性无关，因此方程（5-28）的通解为综上所述，求解二阶常系数齐次线性方程通解的步骤及结论如下：（1）写出对应的特征方程；（2）求出特征方程的根；（3）根据两个特征根的不同情形，写出微分方程（5-28）的通解，如表5-1所示表5-1特征方程的根方程的通解两个不等实根：两个相等实根：一对共轭复根：例1 求微分方程的通解解 特征方程为，解出特征根，故所求微分方程的通解为(为任意常数)例2 求微分方程满足初始条件的特解解 先求出通解，再求满足初始条件的特解特征方程为，特征根为二重根，故微分方程的通解为代入，求得；因为，代入，求得故微分方程满足题中初始条件的特解为例3 求微分

6、方程的通解解 特征方程为，求解得共轭复根为，即，故原方程的通解为n 【学生】掌握可降阶的微分方程的解法学习二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（20 min）n 【教师】讲解二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法，并通过例题讲解介绍其应用1型当时，方程（5-27），变为， （5-

7、30）其中是常数，为关于的次多项式在前面的讨论中已知，为相同形式的函数，同理，在方程（5-30）中，也应该与方程右端的形式一致故假设方程（5-30）有形如 （5-31）的特解，其中为某个多项式（次数待定）将，代入方程（5-30）中，整理可得（5-32）这表明，若是方程（5-30）的解，则必然是方程（5-32）的解因此，可以通过方程（5-32）的解，进而确定由于方程（5-32）的右端为次多项式，故也应该是多项式对于多项式，其次数及系数就是我们要确定的下面分情况讨论的次数及系数的系数与有关（1）若不是特征方程的根，即，则方程（5-32）中，左端多项式的最高次幂出现在中，因此的次数与的次数相同，也为

8、次不妨将定义为，即（2）若是特征方程的实单根，即满足此时，方程（5-32）可简化为此时与的次数相同，故应为次多项式，为使讨论的形式简化，我们设（3）若是特征方程的实重根，即满足此时，方程（5-32）变为，故应为次多项式，不妨设综上所述，特解和的关系可以统一表示为，其中是与同次的多项式，根据不是特征根、是实单根、是实重根分别取0，1或2，如表5-2所示表5-2不是特征根0是实单根1是实重根2说明 以上结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程是特征方程中特征根的重复次数例4 求方程的通解解 对应的特征方程为，特征根，故对应的齐次方程的通解为因为，所以；又因为是特征方程的二重根，故，即可设因为，代入原

9、方程，整理得，解得，于是有，故原方程的通解为例5 求方程的通解解 对应的特征方程为，特征根，故对应的齐次方程的通解为因为，所以又因为不是特征根，故，即可设因，代入原方程，整理得，比较方程两边同次幂（同类项）系数得，于是有，故原方程的通解为2型当时，方程（5-27）变为，其中是常实数，分别为关于的次多项式对于这一类型，可以利用欧拉公式及前面的求解方法求解假设是方程的特解，其中是的次多项式，k根据不是特征根、是特征根分别取0，1，如表5-3所示表5-3不是特征根0是特征根1说明 以上结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程，是特征方程中含根的重复次数例6 求方程的通解解 对应的特征方程为，特征根，故

10、对应的齐次方程的通解为因为，所以又因为不是特征根，故，即可设，代入原方程，整理得，因此得方程组解得，即原方程通解为例7 求方程的通解解 对应的特征方程为，特征根，故对应的齐次方程的通解为因为，所以又因为不是特征根，故，即可设，代入原方程，整理得，因此得方程组解得即原方程通解为n 【学生】掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法学习二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10 min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1在二阶常系数齐次线性微分方程的通解推导过程中，当特征方程有两个相等实根，即时，我们取，还可以取其他形式吗？2若阶常系数齐次线性微

11、分方程的特征根为个相异的实根，其通解形式是什么？n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了二阶常系数线性微分方程的相关知识及其应用，了解了伯努利方程。课后大家要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题5.5总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，学生积极提问，并主动与老师交流。我在课堂教学中认识到，只有主动与学生共同探讨学习中的问题，并以交流、合作、商讨的口气与学生交流心得、体会，才能使学生“亲其师，信其道”，遇到什么问题都愿意与老师讲，寻求老师的帮助。11目 录