湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（含解析）.docx

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1、2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一期中联考数学试题考试时间：2023年4月18日 考试用时：120分钟 试卷满分：150分祝考试顺利一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为( )A. 1B. 2C. D. 2. 已知在复平面内，是原点，向量，对应的复数分别为，那么向量对应的复数的虚部是( )A. B. C. D. 3. 已知，则( )A. B. C. D. 4. 已知，为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D. 5. 设是定义在上的

2、奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 6. 宜昌奥林匹克体育中心了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形区域设计灯带已知灯带米，米， 米，且，则( ) A. B. C. D. 7. 在中，已知，外接圆半径为，点分别是的三等分点( )，与相交于点，则的余弦值为( )A. B. C. D. 8. 已知在上的最小值为，则的解有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知平面内四点可构成平行四边形，其

3、中，则点的坐标可能为( )A. B. C. D. 10. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是( )A B. C. D. 11. 在所在的平面上存在一点，则下列说法错误的是( )A. 若，则点的轨迹不可能经过的外心B. 若，则点轨迹不可能经过的垂心C. 若，则点的轨迹可能经过的重心D. 若，则点的轨迹可能经过的内心12. 已知是边长为的等边三角形，平面内有两动点满足 若，则的值可能为( )A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知，则_14. 若平面内不共线的三个向量两两的夹角相等，且，则_15. 在中，已知是的一元二次方程的两个实根，则_

4、16. 已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知，(1)若，且三点共线，求的值(2)当实数为何值时，与垂直？18. 要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到(1)由图象变换得到函数图象，写出变换的步骤和函数；(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图 19. 已知函数在区间上的最大值为5(1)求常数的值；(2)求函数的单调递减区间20. 已知函数为奇函数，(1)求实数；(2)求函数在区间上的最小值；21. 宜昌卷桥河湿地公园是一幅美丽的田

5、园湿地画卷，它将自然山体、阳光草坪、亲水草滩、芒草湿地、溪谷密林等有机融合，设计的十分精致优美为了迎接2023年的春天，公园里开辟了一块等腰直角三角形农田种植七彩油菜，其斜边米为了方便游客观光，欲在上选择一点，修建两条观赏小径，点分别在边上，且小径与边的夹角都是区域和区域种植粉色油菜，区域种植黄色油菜(1)随着春天到来，油菜均已开花，为了游客深度体验观赏，准备在种植黄色油菜区域内修建小径，当点在何处时，三条小径()的长度之和最小？(2)种植粉色油菜的成本是100元/平方米，求种植粉色油菜的最少费用22. 定义非零向量的“伴随函数”为，非零向量为函数的“伴随向量”(其中为坐标原点)(1)设，求出

6、与的“伴随向量”共线的单位向量；(2)已知点满足，向量“伴随函数”在处取得最小值，求的取值范围；(3)向量，其“伴随函数”为，已知，求的取值范围2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一期中联考数学试题考试时间：2023年4月18日 考试用时：120分钟 试卷满分：150分祝考试顺利一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为( )A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图所示，根据弦长得到为等边三角形，得到答案.【详解】根据题意：作出如下图形，则为等边三角形，故.

7、故选：C2. 已知在复平面内，是原点，向量，对应的复数分别为，那么向量对应的复数的虚部是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先由向量的减法运算及复数的运算得出，根据虚部的定义即可得出答案【详解】对应复数，所以向量对应的复数的虚部是9，故选：D3. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】因为,所以，所以.故选：B.4. 已知，为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由投影向量的公式，代入计算即可【详解】向量在向量上的投影向量为：，故选：C

8、5. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】判断出，构造，根据的奇偶性得到的奇偶性和单调性，从而对变形，得到不等式，根据单调性求出解集.【详解】不妨设，且，因为，所以，不等式两边同除以得，即，令，则，所以在上单调递减，定义域为，又是定义在上的奇函数，故，所以为偶函数，故在上单调递增，因为，所以，当时，变形得到，即，解得，所以解集为，当时，变形得到，即，解得，所以解集为，所以不等式的解集为.故选：D6. 宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形区域设计灯带已知灯带米，米， 米，

9、且，则( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在和分别用余弦定理得到的等量关系，再由和平方关系将等量关系转化为关于C的三角方程，求出C的三角函数值即可【详解】 如图，连接 BD .在中，由余弦定理有：,在 中，由余弦定理有：,由得：,又,又. 或,若 ,则 (舍)故选：A .7. 在中，已知，外接圆半径为，点分别是的三等分点( )，与相交于点，则的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可得，由余弦定理可得，以为原点，所在的直线为轴，过做的垂线，为轴，建立平面直角坐标系利用向量法可得.【详解】由正弦定理可得，所以，由余弦定理可得，解得，以为原

10、点，所在的直线为轴，过做的垂线为轴，建立平面直角坐标系，如下图，则，所以，所以，所以.故选：C. 8. 已知在上的最小值为，则的解有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】分类讨论，和三种情况，结合余弦函数的图像和性质，进一步缩小的范围，再利用复合函数的单调性与零点存在定理，以及数形结合即可得解.【详解】当时，而，显然不满足题意；当时，因为，所以，要使在上的最小值为，则有，所以，此时在处取得最小值，即，令，因为，所以在上单调递减，又在上单调递减，所以函数在上单调递减，又因为，由函数零点存在性定理可知，此时函数有唯一的零点，也即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；

11、当时，因为，所以，要使在上的最小值为，则有，解得，当时，则，结合余弦函数的图象可知，函数在上的最小值为，解得，满足题意；当时，则，此时在处取得最小值，即，从而将问题转化为与的图像有多少个交点，因为，所以在上单调递增，又，则与的大致图像如下， 所以与的图像有唯一交点，即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；综上可知，的解有3个，故选：C.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分类讨论和时，要结合余弦函数的性质进一步缩小的范围，同时将问题转化为的零点个数问题，由此得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

12、错的得0分9. 已知平面内四点可构成平行四边形，其中，则点的坐标可能为( )A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据平行四边形的性质，设点分情况讨论可分别根据，由此求得答案即可；【详解】因为四点可构成平行四边形，平行四边形有三种可能当四边形是平行四边形，所以，设点D的坐标为，所以,所以,即点D的坐标,A选项正确当四边形是平行四边形，所以，设点D的坐标为，所以,所以,即点D的坐标,D选项正确当四边形是平行四边形，所以，设点D的坐标为，所以,所以,即点D的坐标，C选项正确故选：ACD.10. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是( )A. B. C. D. 【答案】

13、AC【解析】【分析】依次判断选项的周期和单调性即可得到答案.【详解】对于A：的最小正周期，且在区间上单调递增，故A符合题意；对于B：，将在x轴下方的图象翻折到上方，可知最小正周期，在区间上单调递减，故B不符合题意；对于C，的最小正周期，则在区间上单调递增，故C正确；对于D，的最小正周期，则在区间上有增有减，故D不正确.故选：AC.11. 在所在的平面上存在一点，则下列说法错误的是( )A. 若，则点的轨迹不可能经过的外心B. 若，则点的轨迹不可能经过的垂心C. 若，则点的轨迹可能经过的重心D. 若，则点的轨迹可能经过的内心【答案】ABC【解析】【分析】由，结合向量共线的推论判断的轨迹，讨论形状

14、判断A、B正误；根据重心的性质得判断C；根据题设设等边三角形，确定，点的轨迹可能经过的内心判断D.【详解】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，中，当时，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；若，不妨取当时,此时的轨迹经过的垂心，B错；若为的重心，必有，此时，C错；若，设为等边三角形，结合，则点在的中线上，也在的平分线上，的轨迹可能经过的内心，D正确.故选：ABC12. 已知是边长为的等边三角形，平面内有两动点满足 若，则的值可能为( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由条件化简变形可得，根据的取值范围确定点的位置，再由转化思想得，求出的取值范围，即可得出答案

15、.【详解】因为，所以所以，即，因为，所以，所以点在的内部或边上取的中点，则，因为，所以，即，所以，所以，即，所以，.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13 已知，则_【答案】【解析】【分析】由平方关系以及商数关系得出，即可得出.【详解】由,以及 得出故答案为：14. 若平面内不共线的三个向量两两的夹角相等，且，则_【答案】【解析】【分析】利用向量数量积的运算律，结合向量数量积的定义求解作答.【详解】因为平面向量两两的夹角相等，则，而，所以.故答案为：.15. 在中，已知是的一元二次方程的两个实根，则_【答案】#【解析】【分析】利用韦达定理，两角和的正切公式，求得的值，

16、可得的值，从而求得的值【详解】因为是的一元二次方程的两个实根，由题有，而，又，.故答案为：.16. 已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用换元法，根据函数与方程的关系，转化为函数交点的问题，利用数形结合进行求解即可.【详解】设，则由得，若，作出函数的图象如图， 当或时，此时，无解；当时，由，得只有一个解且，此时，最多有3个零点，不满足条件，故，不成立；当时，作出函数的图象如图， ，则，由，得方程有3个不同的根，其中，其中，当时，只有一个根，当时，只有一个根，要使函数有5个零点，则必有，有3个零点，由，得，即，此时只要即可，得，即，得，则实数的取值范围是.故

17、答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知，(1)若，且三点共线，求的值(2)当实数为何值时，与垂直？【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由A，B，C三点共线，则存在实数，使得，列出方程求解即可；(2)由平面向量垂直的坐标表示，列出方程求解即可【小问1详解】因为，所以，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使得，整理得，所以，解得，故的值为【小问2详解】由，得，因为与垂直，所以，即，解得18. 要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到(1)由图象变换得到函数的图象，写

18、出变换的步骤和函数；(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图 【答案】(1)答案见解析 (2)作图见解析【解析】【分析】(1)根据三角函数图象变换求解即可；(2)利用“五点法”画出图象.【小问1详解】步骤1：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象或者步骤1：步骤1：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；步骤2：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍(

19、横坐标不变)，得到函数的图象小问2详解】因为列表： 19. 已知函数在区间上的最大值为5(1)求常数的值；(2)求函数的单调递减区间【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)先应用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再根据最值求出常数即可；(2)根据正弦函数的递减区间计算求解即得.【小问1详解】，因为，所以，则当时，取得最大值，故，即【小问2详解】的单调递减区间需要满足：，解得，所以的单调递减区间为：20. 已知函数为奇函数，(1)求实数；(2)求函数在区间上的最小值；【答案】(1) (2)答案见解析【解析】【分析】(1)根据奇函数的定义，可判断，求；(2)通过换元法，转化为二次函数求最小值问题

20、，要注意分类讨论.【小问1详解】解：因为奇函数，所以，所以在定义域内恒成立，整理，得在定义域内恒成立，所以，解得，当时，的定义域为，定义域不关于原点对称，此时没有奇偶性，当时，的定义域为，关于原点对称，且，符合题意，综上可得：；【小问2详解】，令，则上述函数化为，因为，则对称轴当，即时，函数在上单调递增，故；当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故；当，即时，函数在上单调递减，故综上所述：当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为21. 宜昌卷桥河湿地公园是一幅美丽的田园湿地画卷，它将自然山体、阳光草坪、亲水草滩、芒草湿地、溪谷密林等有机融合，设计的十分精致优美为了迎接2023年

21、的春天，公园里开辟了一块等腰直角三角形农田种植七彩油菜，其斜边米为了方便游客观光，欲在上选择一点，修建两条观赏小径，点分别在边上，且小径与边的夹角都是区域和区域种植粉色油菜，区域种植黄色油菜(1)随着春天到来，油菜均已开花，为了游客深度体验观赏，准备在种植黄色油菜区域内修建小径，当点在何处时，三条小径()的长度之和最小？(2)种植粉色油菜的成本是100元/平方米，求种植粉色油菜的最少费用【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)在中由正弦定理求得，同理可得，在中，由余弦定理结合基本不等式求出的最小值，即可得出当点是的中点时，三条小径(QM，QN，MN)的长度之和最小；(2)求出的面积和，利用

22、基本不等式求最小值，即可得出的结论.【小问1详解】在中，由正弦定理可得：，因为，即，同理可得，所以；在中，由余弦定理可得：，即，所以，又因为，故，当且仅当时等号成立故当点是的中点时，三条小径(QM，QN，MN)的长度之和最小，最小为(米)； 【小问2详解】由(1)可知，故，同理可得：，所以(当且仅当时取得最小值，故最少费用为元22. 定义非零向量的“伴随函数”为，非零向量为函数的“伴随向量”(其中为坐标原点)(1)设，求出与的“伴随向量”共线的单位向量；(2)已知点满足，向量的“伴随函数”在处取得最小值，求的取值范围；(3)向量，其“伴随函数”为，已知，求的取值范围【答案】(1) (2) (3

23、)【解析】【分析】(1)根据降幂公式及两角和的余弦公式化简，根据“伴随向量”的定义即可得出，再求出与共线的单位向量即可；(2)由辅助角公式得出，由在处取得最小值，得出，再由得出，进而得出的范围，根据二倍角公式，范围及的单调性得出的范围，最后由两角差的正切公式及的单调性得出的取值范围；(3)由题意可知，根据两角和的余弦公式整理得，再根据辅助角公式及同角三角函数的平方关系得，其中，分类讨论，当时不合题意，当时，求出的范围即可得出的取值范围【小问1详解】因为，故的“伴随向量”，所以与共线单位向量为：【小问2详解】的“伴随函数”，因为在处取得最小值，所以当，即时，有最小值，所以，所以，因为，所以，解得，所以，则，令，则，因为和均为上的单调递减函数，所以在上单调递减，故，所以，又，令，因为在上单调递增，故，故的取值范围为【小问3详解】由题意知，则，即，化简得，所以，其中，即，当时，则，不成立，舍去；当时，设，则，令，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，当时，即，解得或(，舍去)，当时，即，解得或(，舍去)，所以当，因为在上单调递减，且，所以，故【点睛】关键点点睛：第三问，应用三角恒等变换及辅助角公式得且，结合三角函数性质、研究的范围，进而得到范围.