浙江省强基联盟2022-2023学年高一下学期5月统测数学试题（含解析）.docx

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1、2022学年第二学期浙江强基联盟高一5月统测数学试题命题人：浙江省义乌中学审题人：杭师大附中一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，则图中阴影部分对应的集合是( ) A. B. C. D. 2. 已知(其中为虚数单位)，则( )A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是( )A. 一个八棱柱有10个面B. 任意四面体都可以割成4个棱锥C. 棱台侧棱的延长线必相交于一点D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱4. 设是平行四边形的对角线的交点，则( )A. B. C. D. 5. 若，则( )A. 1B. 1C. 2D. 2

2、6. 若，则( )A B. C. D. 7. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则实数的取值范围是( )A B. C. D. 8. 如图所示，在三棱锥中，与所成的角为，且在线段上分别取靠近点的等分点，记为，过作平行于的平面，与三棱锥的截面记为，其面积为，则以下说法错误的是( ) A. 截面都为平行四边形B. C. D 二多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知是虚数单位，下列说法正确的是( )A. 若复数满足，则B.

3、若复数满足，则C. 若是纯虚数，则实数D. 若，则的最大值为10. 在锐角中，角的对边分别为，则下列选项正确的是( )A. B. C. D. 11. 如图，在中，则的可能值为( ) A. B. C. D. 12. 在正方体中，为棱的中点，在侧面上运动，且，已知正方体的棱长为2，则( ) A 平面B. 的轨迹长度为C. 的最小值为D. 当在棱上时，经过三点的正方体的截面周长为三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为_14. 已知，则_15. 已知向量，若，则的最小值为_16. 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，3个小球的球心构成正三角形，且相邻

4、的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住3个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_四解答题：第17题10分，1822题每题12分，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 已知向量(1)若，求实数的值；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围18. 在中，角的对边分别为，在以下条件中选择一个条件：；求解以下问题(选择多个条件的，以所选的第一个计分)(1)求角；(2)若，且，求的内切圆半径19. 在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，底面是的中点，是的中点，分别在线段和上，且 (1)证明：平面平面(2)求直线与底面所成角的大小20. 杭州市为迎接2023年亚运会，规划修建公路自行车比

5、赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的四边形运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车或收容车处获得帮助，如修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点处进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，为赛道， (1)设点到赛道的最短距离为，请用表示的解析式；(2)应该如何设计，才能使折线段赛道最长(即最大)，最长值为多少？21. 如图，在多面体中，平面平面，平面平面菱形， (1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值22. 已知函数，其中(1)当时，求的值域；(2)若对任意，求实数的取值范围2022

6、学年第二学期浙江强基联盟高一5月统测数学试题命题人：一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，则图中阴影部分对应的集合是( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】图中阴影部分表示，由交集的补集的定义求解即可.【详解】图中阴影部分表示，则或，因为所以，故选：D2. 已知(其中为虚数单位)，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算可得结果.【详解】，故选：D3. 下列说法错误的是( )A. 一个八棱柱有10个面B. 任意四面体都可以割成4个棱锥C. 棱台侧棱的延长线必相交于一

7、点D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱【答案】D【解析】【分析】根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A说法正确；对于选项B：任意四面体，在四面体内取一点为，将点与四面体的各个顶点连，即可构成4个棱锥，故B说法正确；对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确；对于选项D：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误.故选：D4. 设是平行四边形的对角线的交点，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】

8、【分析】根据平行四边形性质及向量线性运算化简得解.【详解】如图， ，故选：A5. 若，则( )A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】C【解析】【分析】由，得，解得，由题意可知是方程的两根，由韦达定理可得答案.【详解】，解得，是方程的两根，则，.故选：C6. 若，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接与0比较，均在内，所以作差法进一步比较，与1比较即可.【详解】因，所以，因为，所以，即，所以，故选：A7. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】

9、【分析】根据三角函数图象平移的规律得的解析式，结合的范围，根据正弦函数的性质列出不等式即可得结果.【详解】，则，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则，解得，即实数的取值范围是.故选：B8. 如图所示，在三棱锥中，与所成的角为，且在线段上分别取靠近点的等分点，记为，过作平行于的平面，与三棱锥的截面记为，其面积为，则以下说法错误的是( ) A. 截面都为平行四边形B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的性质可证明截面为平行四边形判断A，利用平行四边形面积公式可求出，据此判断B，由的单调性判断C，化简后判断函数的单调性可判断D.【详解】过作平行于平面分别交于，如图， 对于A

10、，因为平面，且平面平面，所以，同理，故四边形为平行四边形故A正确；又所成的角为，所以所成的角也为又为靠近的等分点，故故对于B，故B正确；对于C，是关于的开口向下的二次函数，先增后减，C错误；对于D，当时是单调递增的，故D正确故选：C二多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知是虚数单位，下列说法正确的是( )A. 若复数满足，则B. 若复数满足，则C. 若是纯虚数，则实数D. 若，则的最大值为【答案】BD【解析】【分析】利用特值法可判断A；设，所以，求出可判断B；由纯虚数概念求解可判断

11、C；由得在复平面内对应的点的轨迹是单位圆，利用圆的性质可判断D【详解】对于A，当时，所以A错误；对于B，设，因为，所以，于是，所以B正确；对于C，是纯虚数，则即，故C错误；对于D，由，得在复平面内对应的点的轨迹是单位圆，所以，所以D正确故选：BD10. 在锐角中，角的对边分别为，则下列选项正确的是( )A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据锐角三角形可判断A，由正弦定理及两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性可判断C，由锐角三角形可判断角的范围，利用正切函数的单调性判断D，根据C及正弦定理、二倍角的正弦公式判断B.【详解】 为锐角三角形，即，可得，故正确；由正弦定理可知，即，

12、又三角形为锐角三角形，即，故C正确；由C知，解得，所以，所以，故D正确；，而，所以，故B错误故选：ACD11. 如图，在中，则的可能值为( ) A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】利用向量的运算求得，从而得，由基本不等式得，由此判断可得答案【详解】由于是上的两个三等分点，则由图形可得，因为，所以，整理得，即，结合基本不等式得，当且仅当时，等号成立所以的最小值为.故选：BD12. 在正方体中，为棱的中点，在侧面上运动，且，已知正方体的棱长为2，则( ) A. 平面B. 的轨迹长度为C. 最小值为D. 当在棱上时，经过三点的正方体的截面周长为【答案】BCD【解析】【分析】直观想象即

13、可判断A；以以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量垂直判断的轨迹即可判断B；利用空间向量求点到直线的距离可判断C；用向量判断截面，然后可求周长，可判断D.【详解】对A，取的中点，连接，则，所以，所以共面，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，故A错误，对B，因为平面，平面，所以取的中点，连接，以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，因为，所以的轨迹为，B正确对C，由上知平面，记垂足为K，因为平面，所以，所以，即为点M到AH的最小距离，又，所以，所以，所以点M到AH的距离，C正确对D，取上靠近点的四等分点，上靠近的三等分点，则，

14、因为，所以五点共面，所以五边形即为截面，所以周长，D正确故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题难点主要在于截面的确定，关于截面的确定，主要是利用线面平行性质定理，通过作平行线的方法来确定截面.三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为_【答案】#【解析】【分析】由平面，可证得平面，从而，可知三棱锥的四个面均为直角三角形，从而可求表面积【详解】因为平面，平面，所以，,又，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为，所以，所以三棱锥的表面积为故答案为：.14. 已知，则_【答案】【解析】【分析】令，则，利用诱导公式及二倍角公式求解即可.【详解】令

15、，则，故故答案为：.15. 已知向量，若，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】由向量平行坐标表示可得，根据，利用基本不等式可求得结果.【详解】，当且仅当，即，即，时，等号成立故的最小值为6故答案为：6.16. 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，3个小球的球心构成正三角形，且相邻的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住3个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_【答案】【解析】【分析】以3个小球球心和与桌面的切点为顶点作三棱柱，结合图形分析可解.【详解】如图所示，设3个球心分别为个球分别与水平桌面相切于三点，假设半球形的容器与球相切于点，此时半球形容器内壁的半径最小，记最小半径设为，易知是

16、边长为4的正三角形，记AB中点为E，半球形容器的球心O为的中心，则.则故答案为： 四解答题：第17题10分，1822题每题12分，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 已知向量(1)若，求实数的值；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示列式计算即可；(2)的夹角为锐角，则且不共线，列式计算即可.【小问1详解】，解得.【小问2详解】的夹角为锐角，且不共线同向，且，解得且，即实数的取值范围为.18. 在中，角的对边分别为，在以下条件中选择一个条件：；求解以下问题(选择多个条件的，以所选的第一个计分)(1)求角；(2)

17、若，且，求的内切圆半径【答案】(1) (2)1【解析】【分析】(1)选由已知得，由正弦定理得化边为角，进而得，结合的范围可得选由正弦定理化角为边得，则，可得选由已知得，即，则，可得(2)因为，所以，由余弦定理求得，求得的面积，利用面积法求得内切圆半径小问1详解】选因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以选，则，所以，即，所以，因为，所以选因为，所以，又，所以，因为，所以【小问2详解】因为，由(1)可知，所以，又，则，所以，又的面积，设的内切圆半径为，则，所以，解得19. 在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，底面是的中点，是的中点，分别在线段和上，且 (1)证明：

18、平面平面(2)求直线与底面所成角的大小【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)根据比例关系可得线线平行，由此可得线面平行，再由面面平行的判定定理得证；(2)根据线面角的定义得出线面角，再求解即可.【小问1详解】取的中点，取上靠近的四等分点，连接， ，且，且，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面，又平面平面，平面，平面平面平面【小问2详解】由(1)知，又底面，底面，连接，就是与底面所成的角在中，与底面所成角的大小是20. 杭州市为迎接2023年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的四边形运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器

19、材车或收容车处获得帮助，如修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点处进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，为赛道， (1)设点到赛道的最短距离为，请用表示的解析式；(2)应该如何设计，才能使折线段赛道最长(即最大)，最长值为多少？【答案】(1) (2)当时，取得最大值【解析】【分析】(1)在中，利用正弦定理求得，由可求出结果；(2)在中，由正弦定理得，从而得，然后利用三角函数的性质求得答案.【小问1详解】由已知得在中，由正弦定理得，又，且，即【小问2详解】在中，由正弦定理得，当，即时，取得最大值21. 如图，在多面

20、体中，平面平面，平面平面是菱形， (1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理即可得证；(2)利用勾股定理可得出线段的长，再由此证明，得出二面角的平面角，计算得解.【小问1详解】分别取的中点，连接，如图， 是菱形且，为正方形，故，平面平面，平面平面平面，平面，又平面，同理可得，平面平面，又平面【小问2详解】在上取，连接因为平面，由(1)知，由勾股定理可知，在中可得，由正三角形可知，在平行四边形中，由可知，即为二面角的平面角由余弦定理知，二面角的平面角的余弦值为22. 已知函数，其中(1)当时，求的值

21、域；(2)若对任意，求实数的取值范围【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)当，通过令，将问题转化成的值域，再利用二次函数的性质即可求出结果；(2)令，将问题转化成，再通过对二次函数的对称轴所在区间进行讨论，求出在区间上最大值和最小值，再根据条件建立不等关系即可得出结果.【小问1详解】当时，令，因为，则，所以，又由，所以，则，所以，所以的值域为，即的值域为【小问2详解】令，由(1)知，成立，即，因为，所以为开口朝上的二次函数，对称轴为，当时，即，且，所以，解得，又，故舍去，当时，即，所以，的最大值为或，所以，即，化简变形得，又易知，恒成立，所以或，得到或或，又，而，故或【点睛】问题点晴：解决本题的关键是，利用与间的关系，通过换元，将问题转化成二次函数的最值问题