2024年新高考新结构数学7个大题逐一击破三角函数、三角恒等变换与解三角形含答案.pdf

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1、1三角函数、三角恒等变换与解三角形三角函数、三角恒等变换与解三角形根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.题型一：三角恒等变换与三角函数1(2024福建福州统考模拟预测)(2024福建福州统考模拟预测)已知函数 f x=sin x-4(00的最小正周期为T若T4，且y=f(x)的图象关于直线x=6对称.(1)求函数 f x的单

2、调增区间；(2)求函数 f x在区间 0,3上的最值.3题型二：正余弦定理解三角形的边与角4(20242024 浙江浙江 高三浙江金华第一中学校考开学考试高三浙江金华第一中学校考开学考试)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=3，a=2.(1)若sinB+sinC=2sinA，求ABC的面积；(2)若sinB-sinC=34，求b.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.(1)已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；(2)已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；(3)已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；

3、(4)已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；(5)已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质(如大边对大角，三角形的内角取值范围等)，并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。41(20242024 山东日照山东日照 统考一模统考一模)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2a-2bsinA=0且a=5，c=4 2(1)求角B及边b的大小；(2

4、)求sin 2C+B的值2(20242024 江苏江苏 高三统考期末高三统考期末)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=3(1)若b=2，cosC=1116，求sinA；(2)点D在边AB上，AD=2DB，若CD=2 213，tanC=2tanB，求a5题型三：利用正弦定理求三角形外接圆3(20242024 山西晋城山西晋城 统考一模统考一模)在ABC中，AB=3 3，AC=5 3，BC=7 3(1)求A的大小；(2)求ABC外接圆的半径与内切圆的半径利用正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R可求解三角形外接圆的半径。若要求三角形外接圆半径的范围，一般将R用含角的

5、式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。61(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b,c，其中cosAa+cosCc=sinBsinA3sinC,a=2 3(1)求角A；(2)过点B作BDAB，且A,B,C,D四点共圆，CD=b，求ABC的面积2(20232023 河南河南 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)已知ABC中B为钝角，且3cosA-3sinB=3 cosB-sinA(1)证明：2A+C=56；(2)已知点D在边AC上，且AD=BD=4，求DBC外接圆面积的取值范围7题型四：解三角形中边长或周长的最值范围3(2024202

6、4 黑龙江黑龙江 高三大庆实验中学校联考阶段练习高三大庆实验中学校联考阶段练习)已知在锐角三角形ABC中，边a，b，c对应角A,B,C，向量m=2cosA,3，n=sin A-3,cos2A，且m与n垂直，c=2(1)求角A；(2)求a+b的取值范围利用正、余弦定理等知识求解三角形边长或周长最值范围问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理。81(20242024 广东湛江广东湛江 统考一模统考一模)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B-C+acosA-2

7、 3csinBcosA=0(1)求A；(2)若ABC外接圆的直径为2 3，求2c-b的取值范围2(20242024 广西南宁广西南宁 南宁三中校联考一模南宁三中校联考一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a-bc=sinA-sinCsinA+sinB(1)求角B的大小；(2)若b=2，求ABC周长的最大值9题型五：解三角形中面积的最值范围3(20242024 四川德阳四川德阳 统考模拟预测统考模拟预测)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinC=c3cosB2，b=3.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，求ABC的面积范围.1、常用三角形的面积公式：(

8、1)S=12ah；(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA；(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径)；(4)S=p(p-a)(p-b)(p-c)，即海伦公式，其中p=12(a+b+c)为三角形的半周长。2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。101(20242024 陕西安康陕西安康 高三统考开学考试高三统考开学考试)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，且tanA+tanC+tanAtanC=1.(1)求角B的大小；(2)若b=4，求ABC面积的

9、最大值.2(20242024 河北石家庄河北石家庄 高三石家庄市第二十四中学校联考期末高三石家庄市第二十四中学校联考期末)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cosB+3sinB=ca.(1)求角A;(2)若a=2，求ABC面积的最大值.11题型六：三角形的角平分线、中线、垂线3(20242024 广东广东 高三统考期末高三统考期末)已知ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，a2=3b2+c2，且sinC=2sinB.(1)求角A的大小；(2)若b+c=6，点D在边BC上，且AD平分BAC，求AD的长度.1、解三角形角平分线的应用如图，在ABC中，AD平分BAC，角A、

10、B，C所对的边分别问a，b，c(1)利用角度的倍数关系：BAC=2BAD=2CAD(2)内角平分线定理：AD为ABC的内角BAC的平分线，则ABAC=BDDC.说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。(3)等面积法：因为SABD+SACD=SABC，所以12cADsinA2+12bADsinA2=12bcsinA，所以 b+cAD=2bccosA2，整理的：AD=2bccosA2b+c(角平分线长公式)2、解三角形中线的应用(1)中线长定理：在ABC中，AD

11、是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2)【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中(2)向量法：AD 2=14b2+c2+2bccosA【点睛】适用于已知中线求面积(已知BDCD的值也适用).3、解三角形垂线的应用(1)分别为边上的高，则(2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度高线两个作用：(1)产生直角三角形；(2)与三角形的面积相关。121(20232023 安徽安徽 高三校联考期末高三校联考期末)如图,在ABC中,CAB的平分线交BC边于点E,点D在AB边上,AE=7,AD=3 7,cosCAE=5 714.(1)求ADE的大小;(2

12、)若ACB=23,求CDE的面积.2(20242024 黑龙江齐齐哈尔黑龙江齐齐哈尔 统考一模统考一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=4,4bcosC=2c+2a.(1)求tanC；(2)若ABC的面积为32，求BC边上的中线长.131(20242024 北京海淀北京海淀 高三高三101101中学校考开学考试中学校考开学考试)已知函数 f x=cos 2x-3+2sin x-4sin x+4(1)求函数 f x的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数 f x在区间-12,2上的最值2(20242024 辽宁大连辽宁大连 高三统考期末高三统考期末)已知函数 f x=

13、sin 2x+cos2x，其中 0,|2(1)若 f(0)=-32，求的值(2)已知 f(x)在区间-3,23上单调递增，f23=1，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数 f(x)存在，求,的值条件：f3=2；条件：f-3=-1；条件：f(x)在区间-2,-3上单调递减注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分1三角函数、三角恒等变换与解三角形三角函数、三角恒等变换与解三角形根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考

14、中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.题型一：三角恒等变换与三角函数1(20242024 福建福州福建福州 统考模拟预测统考模拟预测)已知函数 f x=sin x-4(03)，x=8是 f x的零点(1)求的值；(2)求函数y=f x-8+f12x+8的值域【思路分析】(1)根据函数的零点性质并结合范围求解；(2)利用余弦二倍角公式以及二次函数的性质求值域.【规范解答】(1)由已知可得 f8=sin8-4=0，解得8-4=k,kZ Z，即=2+8k,kZ Z，又00

15、的最小正周期为T若T4，且y=f(x)的图象关于直线x=6对称.(1)求函数 f x的单调增区间；(2)求函数 f x在区间 0,3上的最值.3【答案】(1)k-3,k+6，kZ；(2)最小值为2，最大值为3【分析】(1)利用辅助角公式化简函数的解析式，然后通过对称性和周期得到，然后求解单调区间(2)由x的取值范围，求出2x+6的取值范围，然后根据正弦函数的性质求解函数的值域即可【解析】(1)f(x)=3sin2x+cos2x+1=2sin 2x+6+1，由函数的最小正周期T满足T4，得224，解得141，又因为函数图象关于直线x=6对称，所以3+6=k+2,kZ，所以=1+3k,kZ，所以=

16、1，所以 f x=2sin 2x+6+1，由2k-22x+62k+2，kZ，得k-3xk+6，kZ函数 f x的单调增区间为 k-3,k+6，kZ.(2)0 x3，62x+656，12sin 2x+61，由 f x=2sin 2x+6+1，当x=0或x=3时，f xmin=2，当x=6时，f xmax=3题型二：正余弦定理解三角形的边与角4(20242024 浙江浙江 高三浙江金华第一中学校考开学考试高三浙江金华第一中学校考开学考试)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=3，a=2.(1)若sinB+sinC=2sinA，求ABC的面积；(2)若sinB-sinC=34，求b

17、.【思路分析】(1)由已知结合正弦定理得b+c=4，再利用余弦定理得bc=4，从而得解；(2)由三角形内角和结合已知可得sinB-sin23-B=34，化简可得：sin B-3=34，再利用sinB=sinB-3+3求解.【规范解答】(1)在ABC中，sinB+sinC=2sinA，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R可知：可化为：b2R+c2R=2a2R故可得：b+c=2a，代入可得：b+c=4所以 b+c2=b2+c2+2bc=16，故b2+c2=16-2bc(*)在ABC中，由余弦定理可得：cosA=b2+c2-a22bc代入数据和(*)式可得：bc=4所以三角形面积为：S

18、=12sinAbc=3，故三角形ABC的面积为3.(2)因为A+B+C=且A=3，故B+C=23，所以B 0,23，4代入可得：sinB-sin23-B=34因此sinB-32cosB-12sinB=12sinB-32cosB=34化简可得：sin B-3=34，则cos B-3=74，因为B 0,23，所以B-13-13,13，所以cos B-3=74，所以可得：sinB=sinB-3+3，化简可得：sinB=3+218在ABC中，由正弦定理可得：b=asinAsinB=3+72.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.(1)已知两角及一边，求其

19、余的边或角，利用正弦定理；(2)已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；(3)已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；(4)已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；(5)已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质(如大边对大角，三角形的内角取值范围等)，并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。1(20242024 山东日照山东日照 统考一模统考

20、一模)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2a-2bsinA=0且a=5，c=4 2(1)求角B及边b的大小；(2)求sin 2C+B的值【答案】(1)B=4，b=17；(2)-7 234【分析】(1)根据正弦定理边换角即可得B=4，再利用余弦定理即可得b=17；(2)利用余弦定理求得cosC=117，再结合同角三角函数关系和两角和的正弦公式即可得到答案.【解析】(1)依题意，2a-2bsinA=0，由正弦定理得2sinA-2sinBsinA=0，由于锐角三角形中0A0，所以2-2sinB=0,sinB=22，而B是锐角，所以B=4.5由余弦定理得b=a2+c2-2acco

21、sB=25+32-254 2 22=17.(2)由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=25+17-322517=117，而C是锐角，所以sinC=1-cos2C=1-117=417，所以sin(2C+B)=sin 2C+4=22(sin2C+cos2C).=222sinCcosC+2cos2C-1=2sinCcosC+2cos2C-22=2 417117+2 117-22=-7 234.2(20242024 江苏江苏 高三统考期末高三统考期末)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=3(1)若b=2，cosC=1116，求sinA；(2)点D在边AB上，AD=2DB，若

22、CD=2 213，tanC=2tanB，求a【答案】(1)sinA=154；(2)a=15【分析】(1)根据余弦定理求出a，再利用正弦定理求出sinA；(2)在ABC，BCD中分别利用余弦定理列式可得2a2+b2=34，再由条件tanC=2tanB切化弦，根据正、余弦定理化简得a2+3b2=27，运算求得a.【解析】(1)在ABC中，b=2，c=3，由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=1116，即4a2-11a-20=0，所以a=4sinC=1-cos2C=1-11162=3 1516，由正弦定理asinA=csinC，得4sinA=33 1516，所以sinA=154(2)因为AD

23、=2DB，AB=c=3，所以AD=2，DB=1在ABC中，由余弦定理得b2=a2+32-2a3cosB，即a2-b2+9=6acosB，在BCD中，由余弦定理得2 2132=a2+12-2a1cosB，即a2-253=2acosB，所以a2-b2+9=3a2-25，即2a2+b2=34公众号：慧博高中数学最新试题因为tanC=2tanB，所以sinCcosC=2sinBcosB又c=3，由正弦定理得3cosC=2bcosB，2bcosC=3cosB，即2ba2+b2-c22ab=3a2+c2-b22ac，则a2+3b2=27联立可得a2=15，所以a=15题型三：利用正弦定理求三角形外接圆3(

24、20242024 山西晋城山西晋城 统考一模统考一模)在ABC中，AB=3 3，AC=5 3，BC=7 3(1)求A的大小；(2)求ABC外接圆的半径与内切圆的半径【思路分析】(1)由余弦定理即可求解；(2)由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.6【规范解答】(1)由余弦定理得cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=-12，因为0A，所以A=23(2)设ABC外接圆的半径与内切圆的半径分别为R，r，由正弦定理得2R=BCsinA=7 332=14，则R=7ABC的面积S=12ABACsinA=45 34，由12r(AB+AC+BC)=S，得r=2SAB+AC+BC=32利用正

25、弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R可求解三角形外接圆的半径。若要求三角形外接圆半径的范围，一般将R用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。1(20232023 全国全国 模拟预测模拟预测)锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b,c，其中cosAa+cosCc=sinBsinA3sinC,a=2 3(1)求角A；(2)过点B作BDAB，且A,B,C,D四点共圆，CD=b，求ABC的面积【答案】(1)A=3；(2)3+3【分析】(1)由余弦定理的推论和正弦定理进行角化边，得bac=bsinA3c，将a=2 3 代入得sinA=32；(2)因为A,B,C,D四点共圆

26、，BDAB，所以AD是ABC外接圆的直径，由正弦定理可求得AD=4，在ABC中，由正弦定理，可得ABC=45，最后由三角形面积公式可解.【解析】(1)由余弦定理的推论和正弦定理得b2+c2-a22abc+b2+a2-c22abc=bsinA3c，整理得bac=bsinA3c，将a=2 3 代入得sinA=32又因为角A是锐角，所以角A=3(2)因为A,B,C,D四点共圆，BDAB，所以ACD=ABD=90，所以AD是ABC外接圆的直径，设ABC外接圆的半径为R，则2R=asinBAC，得2R=4，即AD=4因为AC=CD=b，所以b=2 2在ABC中，2R=bsinABC=4，所以sinABC

27、=227又ABC为锐角，所以ABC=45，所以ACB=75，所以sin75=sin 45+30=6+24，所以SABC=12absinACB=3+32(20232023 河南河南 高三校联考阶段练习高三校联考阶段练习)已知ABC中B为钝角，且3cosA-3sinB=3 cosB-sinA(1)证明：2A+C=56；(2)已知点D在边AC上，且AD=BD=4，求DBC外接圆面积的取值范围【答案】(1)证明见解析；(2)16,+【分析】(1)由已知利用辅助角公式化简可得cos A-6=cos B-3，进而求得A,B的关系证得结果；(2)由可知可得DBA=A，由ABC=A+6，可得DBC=6，利用正

28、弦定理可得CDsinDBC=BDsinC=2r，从而可得r=CD=BDsinDBCsinC=2sinC=2sin 2A+6通过函数性质计算求解即可.【解析】(1)因为3cosA-3sinB=3 cosB-sinA，所以3cosA+3sinA=3cosB+3sinB，即cos A-6=cos B-3，又A 0,2，B2,，所以-6A-63,6B-323，所以A-6=B-3，即B=A+6，或A-6=3-B，即A+B=2(舍去)，又A+B+C=，所以A+A+6+C=，即2A+C=56；(2)因为AD=BD=4，所以DBA=A，又ABC=A+6，可得DBC=6，设DBC外接圆半径为r，在DBC中，CD

29、sinDBC=BDsinC=2r，可得r=CD=BDsinDBCsinC=2sinC，在ABC中，sinC=sin A+B=sin 2A+6，因为ABC中B为钝角，所以0A22B=A+60C=-A-A-62，得3A512，所以562A+6，0sin 2A+612，所以2sinC 4,+，即CD的取值范围为 4,+可得DBC外接圆面积的取值范围 16,+题型四：解三角形中边长或周长的最值范围83(20242024 黑龙江黑龙江 高三大庆实验中学校联考阶段练习高三大庆实验中学校联考阶段练习)已知在锐角三角形ABC中，边a，b，c对应角A,B,C，向量m=2cosA,3，n=sin A-3,cos2

30、A，且m与n垂直，c=2(1)求角A；(2)求a+b的取值范围【思路分析】(1)通过mn=0，利用三角恒等变形公式计算即可；(2)利用正弦定理，将a+b用角C表示出来，然后利用C的范围求a+b的取值范围【规范解答】(1)因为m与n垂直，所以mn=2cosA,3 sin A-3,cos2A=2cosAsin A-3+3cos2A=0，即2cosA12sinA-32cosA+3cos2A=cosAsinA-3cos2A+3cos2A=0，即12sin2A-321+cos2A+3cos2A=0，即12sin2A+32cos2A=32，即sin 2A+3=32，又0A2，所以32A+343，所以2A+

31、3=23，即A=6；(2)由正弦定理asinA=bsinB=csinC得a+b=csinAsinC+csinBsinC=2sin6+2sin6+CsinC=1+cosC+3sinCsinC=1+cosCsinC+3=2cos2C22sinC2cosC2+3=cosC2sinC2+3=1tanC2+3，根据三角形ABC是锐角三角形得0-C-620C2，解得3C2，则6C24，所以33tanC21，所以11tanC23，则1+3 1tanC2+3 0,sinB0，所以sinA=3cosA，所以tanA=3，因为A 0,，所以A=3.(2)由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=2R=2

32、3，所以b=2 3sinB,c=2 3sinC，故2c-b=4 3sinC-2 3sinB=2 3 2sinC-sinB，又A+B+C=，所以B=23-C,C 0,23，所以2c-b=2 3 2sinC-sin23-C=2 332sinC-32cosC=6sin C-6，又C 0,23，所以C-6-6,2，所以2c-b=6sin C-6-3,6，所以2c-b的取值范围为-3,6.2(20242024 广西南宁广西南宁 南宁三中校联考一模南宁三中校联考一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a-bc=sinA-sinCsinA+sinB(1)求角B的大小；(2)若b=2，求AB

33、C周长的最大值【答案】(1)B=3；(2)6【分析】(1)根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果；(2)根据a2+c2-b2=ac，结合基本不等式运算求解.【解析】(1)因为a-bc=sinA-sinCsinA+sinB，由正弦定理可得a-bc=a-ca+b，整理得a2+c2-b2=ac，由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，且B 0,，所以B=3.(2)由(1)可知：a2+c2-b2=ac，整理得 a+c2-4=3ac，即ac=a+c2-43，因为aca+c24，当且仅当a=c=2时，等号成立，则a+c2-43a+c24，可得 a+c216，即a+c4

34、，所以ABC周长的最大值为4+2=6.10题型五：解三角形中面积的最值范围3(20242024 四川德阳四川德阳 统考模拟预测统考模拟预测)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinC=c3cosB2，b=3.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，求ABC的面积范围.【思路分析】(1)根据sinC=c3cosB2，b=3，利用正弦定理得到sinBsinC=sinCcosB2，再利用三角恒等变换求解；(2)设ABC的外接圆半径为R，得到2R=bsinB=2 3，再由SABC=12acsinB=3 32sin 2A-6+3 34求解.【规范解答】(1)因为sinC=c3cosB2

35、，b=3，所以sinBsinC=sinCcosB2，因为sinC0，所以sinB=cosB2，则2sinB2cosB2=cosB2，因为cosB20，所以sinB2=12，又B2 0,2，则B2=6，所以B=3.(2)设ABC的外接圆半径为R，则2R=bsinB=2 3，所以SABC=12acsinB=122RsinA2RsinCsinB=3 3sinAsin23-A=3 3sinA32cosA+12sinA=92sinAcosA+3 32sin2A=94sin2A+3 321-cos2A2=94sin2A-3 34cos2A+3 34=3 32sin 2A-6+3 34，因为ABC为锐角三角

36、形，所以0A2023-A2，解得6A2，则62A-656，则12sin 2A-61，所以3 32SABC9 34，所以ABC的面积范围3 32,9 34.1、常用三角形的面积公式：(1)S=12ah；(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA；11(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径)；(4)S=p(p-a)(p-b)(p-c)，即海伦公式，其中p=12(a+b+c)为三角形的半周长。2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。1(20242024 陕西安康陕西

37、安康 高三统考开学考试高三统考开学考试)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，且tanA+tanC+tanAtanC=1.(1)求角B的大小；(2)若b=4，求ABC面积的最大值.【答案】(1)34；(2)4 2-4【分析】(1)由题设条件求得tan(A+C)=1，即得tanB=-1，在三角形中即可求得角B；(2)由(1)和b=4可利用正弦定理将边a,c分别用A的三角函数表示，运用三角形面积公式，经三角恒等变换将面积表示成正弦型函数，最后结合角的范围和三角函数的图象即得.【解析】(1)由tanA+tanC+tanAtanC=1可得：tanA+tanC=1-tanAtanC，则tan(

38、A+C)=tanA+tanC1-tanAtanC=1.由tanB=tan-(A+C)=-tan(A+C)=-1，又因0B，故得：B=34.(2)由(1)知B=34，又b=4，由正弦定理可得：asinA=csinC=4sin34=4 2，则a=4 2sinA,c=4 2sinC=4 2sin4-A，记ABC的面积为S，则S=12acsinB=244 2sinA4 2sin4-A=8sinA(cosA-sinA)=4sin2A+4cos2A-4=4 2sin 2A+4-4，因0A4，则42A+434，故220，所以3sinA=cosA，显然cosA0，所以tanA=33，又因为A(0,)，所以A=

39、6.(2)因为a=2，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得4=b2+c2-3bc(2-3)bc，所以bc8+4 3，当且仅当b=c时取到号，故ABC面积的最大值为S=12(8+4 3)sinA=2+3.题型六：三角形的角平分线、中线、垂线3(20242024 广东广东 高三统考期末高三统考期末)已知ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，a2=3b2+c2，且sinC=2sinB.(1)求角A的大小；(2)若b+c=6，点D在边BC上，且AD平分BAC，求AD的长度.【思路分析】(1)利用正弦定理将角化边，找到边的关系，借助余弦定理计算即可；(2)结合(1)问，求出c=4b=

40、2，利用SABD+SADC=SABC，计算出AD的长度即可.【规范解答】(1)因为sinC=2sinB，由正弦定理可得：c=2b，因为a2=3b2+c2，所以a2=3b2+2b2=7b2，即a=7b，由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=b2+4b2-7b22b2b=-12，在ABC中，A 0,所以A=23.(2)由(1)问可知A=23,c=2b，所以c=2bb+c=6，解得c=4b=2，设AD=x，由AD平分BAC，所以SABD+SADC=SABC,即12cxsin3+12bxsin3=12cbsin23，解得：x=bcb+c=43，故AD的长度为43.1、解三角形角平分线的应用如

41、图，在ABC中，AD平分BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，c13(1)利用角度的倍数关系：BAC=2BAD=2CAD(2)内角平分线定理：AD为ABC的内角BAC的平分线，则ABAC=BDDC.说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。(3)等面积法：因为SABD+SACD=SABC，所以12cADsinA2+12bADsinA2=12bcsinA，所以 b+cAD=2bccosA2，整理的：AD=2bccosA2b+c(角平分线长公式)2、解三角形中

42、线的应用(1)中线长定理：在ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2)【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中(2)向量法：AD 2=14b2+c2+2bccosA【点睛】适用于已知中线求面积(已知BDCD的值也适用).3、解三角形垂线的应用(1)分别为边上的高，则(2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度高线两个作用：(1)产生直角三角形；(2)与三角形的面积相关。1(20232023 安徽安徽 高三校联考期末高三校联考期末)如图,在ABC中,CAB的平分线交BC边于点E,点D在AB边上,AE=7,AD=3 7,cosCAE=

43、5 714.(1)求ADE的大小;(2)若ACB=23,求CDE的面积.【答案】(1)3；(2)5 34【分析】(1)因为AE是CAB的角平分线,所以cosCAE=cosDAE=5 714,在ADE中利用余弦定理求出DE的长,再次利用余弦定理即可求出ADE的大小.(2)在ACE中,由正弦定理求出CE的长,再根据四边形内角和为2可得到CED+CAD=，14从而求出sinCED的值,再利用三角形面积公式求解即可.【解析】(1)因为AE是CAB的角平分线,所以cosCAE=cosDAE=5 714,在ADE中,根据余弦定理得DE2=AE2+AD2-2AEADcosDAE=49+63-273 7 5

44、714=7所以DE=7，则cosADE=AD2+DE2-AE22ADDE=63+7-4923 7 7=12,因为ADE 0,所以ADE=3.(2)因为cosCAE=5 714,所以sinCAE=1-cos2CAE=1-5 7142=2114,在ACE中,由正弦定理得CEsinCAE=AEsinACECE2114=732CE=7,在四边形ADEC中,CED+CAD=2-ACB-ADE=2-23-3=,所以sinCED=sinCAD=2sinCAEcosCAE=25 7142114=5 314,则SCDE=12CEDEsinCED=127 7 5 314=5 34.2(20242024 黑龙江齐齐

45、哈尔黑龙江齐齐哈尔 统考一模统考一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=4,4bcosC=2c+2a.(1)求tanC；(2)若ABC的面积为32，求BC边上的中线长.【答案】(1)tanC=12；(2)52.【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tanC.(2)根据三角形ABC的面积求得ac，根据同角三角函数的基本关系式求得sinA,cosA，利用正弦定理、向量数量积运算来求得BC边上的中线长.【解析】(1)由正弦定理可得csinC=bsinB，所以4sinBcosC=2sinC+2sinA，即2 2cosC=2sinC+2sinA，又A+B+C=，所以2

46、 2cosC=2sinC+2sin4+C=2 2sinC+2cosC，整理得2cosC=2 2sinC，解得tanC=12；(2)依题意，12acsinB=12ac22=32，解得ac=3 2，又tanA=tan34-C=-1-tanC1-tanC=-3，所以A为钝角，所以由sinAcosA=-3sin2A+cos2A=1，解得sinA=310,cosA=-110，由正弦定理可得ca=sinCsinA=15310=23，又ac=3 2，所以a=3,c=2,b=csinBsinC=2 2215=5，15设BC的中点为D，则AD=12AB+AC，所以AD 2=14(AB+AC)2=b2+c2+2b

47、ccosA4=2+5+22 5 -1104=54，所以BC边上的中线长为52.1(20242024 北京海淀北京海淀 高三高三101101中学校考开学考试中学校考开学考试)已知函数 f x=cos 2x-3+2sin x-4sin x+4(1)求函数 f x的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数 f x在区间-12,2上的最值【答案】(1)最小正周期，图象的对称轴方程为x=3+k2kZ Z；(2)最大值1，最小值-32【分析】(1)利用三角恒等变换得到 f x=sin 2x-6，利用T=2求出最小正周期，整体法求出函数的对称轴方程；(2)整体法求出函数的最值.【解析】(1)因为 f x=

48、12cos2x+32sin2x+222sinx-22cosx22sinx+22cosx=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x=12cos2x+32sin2x-cos2x=32sin2x-12cos2x=sin 2x-6，所以函数 f x的最小正周期T=2=22=，令2x-6=2+k,kZ，解得x=3+k2kZ Z故图象的对称轴方程为x=3+k2kZ Z(2)因为-12x2，所以-32x-656，所以当2x-6=2，即x=3时，f x取最大值 f3=1，当2x-6=-3，即x=-12时，f x取最小值 f-12=-322(20242024 辽宁大连辽宁大连 高三统考期末高三统考

49、期末)已知函数 f x=sin 2x+cos2x，其中 2，.请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：-12是 f x的一个零点；f 0=f3.(1)求的值；(2)当x-6,3时，若曲线y=f x与直线y=m恰有一个公共点，求m的取值范围.16注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)=-6；(2)-12,12 1【分析】(1)根据三角函数的性质建立并解方程，可得答案；(2)利用三角函数恒等式整理函数解析式，根据复合型三角函数的单调性，可得答案.【解析】(1)选条件由题设 f-12=sin-6+cos-6=0.所以sin-6=-32.因为-22，所

50、以-23-63.所以-6=-3.所以=-6.选条件.由题设sin+cos0=sin23+cos23.sin+1=sin23cos+cos23sin-12，sin+1=32cos-12sin-12，32cos-32sin=32，12cos-32sin=32，sincos6-cossin6=-32，整理得sin-6=-32.因为-22，所以-23-60，则sinA=sin A+3，由0A，知0AA+30)，cosA2=2sinA2cosA2sinA2=12cosA20，ABC为锐角三角形，A=3(2)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=4，即asinA=bsinB=csin-3+B=4