山东省济南市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含解析）.docx

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1、山东省济南市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含解析）高一年级学情检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若全集,则A. B. C. D. 2. 函数定义域为( )A. B. C. D. 3. 若函数是定义在R上的奇函数，当时，则( )A. B. C. 5D. 74. 已知，则( )A. B. C. D. 5. 若，则下列关系式正确的为( )A. B. C. D. 6. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为( )A. B. C. D. 7. 已知函数图像如图所示，则的解析式可能是( )A. B.

2、 C. D. 8. 设函数是定义在R上奇函数，满足，若，则实数t的取值范围是( )A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数，下列说法正确的是( )A. 为偶函数B. C. 的最大值为1D. 的最小正周期为10. 若，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D. 11. 若函数有且仅有3个零点，则实数m的值可能是( )A. B. C. 10D. 1112. 已知函数的定义域为，且函数图象连续不间断，假如存在正实数，使得对于任意的，恒成立，称函数满

3、足性质.则下列说法正确的是( )A. 若满足性质，且，则B. 若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质C. 若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质D. 若函数满足性质，则函数必存零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则的值为_.14. 已知一个扇形的周长为10，弧长为6，那么该扇形的面积是_.15. 已知函数，则的值为_.16. 已知函数定义域为，对任意的，当时，有(e是自然对数的底).若，则实数a的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1

4、7. 已知集合或，.(1)当时，求；(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求a的取值范围.18. 设函数，且方程有两个实数根为，.(1)求的解析式；(2)若，求的最小值及取得最小值时x的值.19. 已知二次函数.(1)当时，解不等式；(2)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围.20. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于点P.过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与.(1)若的面积为2，求的值；(2)求的最小值.21. Laeeb是2022年卡塔尔世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物具有非常鲜明民族特征，阿拉伯语意为“高超的球员”，某

5、中国企业可以生产世界杯吉祥物Laeeb，根据市场调查与预测，投资成本x(千万)与利润y(千万)的关系如下表x(千万)2412y(千万)0.40.812.8当投资成本x不高于12(千万)时，利润y(千万)与投资成本x(千万)的关系有两个函数模型与可供选择.(1)当投资成本x不高于12(千万)时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)当投资成本x高于12(千万)时，利润y(千万)与投资成本工(千万)满足关系，结合第(1)问的结果，要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x(千万)应该控制在什么范围.(结果保留到小数点后一位)(参考数据：)22. 已知函数是奇函数.(e是自然对数

6、的底)(1)求实数k的值；(2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.高一年级学情检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若全集,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】,故选B.2. 函数的定义域为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可解得结果.【详解】由函数有意义，得解得，所以函数的定义域为.故选：B3. 若函数是定义在R上的奇函数，当时，则( )A

7、. B. C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】求出时的解析式后，代入可求出结果.【详解】因为为奇函数，且当时，所以当时，所以.故选：C4. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式可求出结果.【详解】.故选：A5. 若，则下列关系式正确的为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性可比较出大小.【详解】，所以.故选：D6. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用幂函数的定义求出，再根据零点存在性定理可得答案.【详解】因为函数为幂函数，所以，得，

8、所以，因为，且在上为增函数，所以在上有唯一零点.故选：C7. 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据为偶函数，可排除B和D，根据在上为增函数，排除C.【详解】对于B和D，因为为偶函数，所以和都是偶函数，它们的图象都关于轴对称，故B和D都不正确；对于C，由于在上为增函数，且，所以在上为减函数，由图可知，C不正确；故只有A可能正确.故选：A8. 设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，则实数t的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据为奇函数，推出是周期函数，周期为，利用周期得，根据推出，再利用单位圆可求出结

9、果.【详解】因为为奇函数，所以，所以，又因为，所以，所以是周期函数，周期为，所以，因为，所以，即，根据单位圆中三角函数线可得：，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数，下列说法正确的是( )A. 为偶函数B. C. 的最大值为1D. 的最小正周期为【答案】BCD【解析】【分析】根据正弦函数的奇偶性、最值和周期性可得答案.【详解】因为，所以，所以为奇函数，故A不正确；因为，所以，故B正确；因为的最大值为，故C正确；因为的最小正周期为，故D正确.故选：BCD10.

10、若，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】由不等式性质可以判断A正确，B错误，利用指数函数和对数函数的单调性可以判断CD正确.【详解】因为，所以，故A正确；因为，利用不等式同号反序性可得，故B错误；因为在R上单调递增，所以，故C正确；因为在上单调递增，所以，故D正确；故选：ACD.11. 若函数有且仅有3个零点，则实数m的值可能是( )A. B. C. 10D. 11【答案】AC【解析】【分析】令，则，将有且仅有3个零点，结合的图象转化为必有1个值等于2或者等于，另一个值大于2或者小于，可得答案.【详解】令，得，令，则，因为有且仅有3个零点，由的图象可

11、知，必有1个值等于2或者等于，另一个值大于2或者小于，当时， 由得，得；此时由，得或，由得，由，得，所以有且仅有3个零点，符合题意；当时，由得，得，此时由得或，由，得，由得，所以有且仅有3个零点，符合题意；综上所述：或.故选：AC12. 已知函数的定义域为，且函数图象连续不间断，假如存在正实数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.则下列说法正确的是( )A. 若满足性质，且，则B. 若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质C. 若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质D. 若函数满足性质，则函数必存在零点【答案】ABD【解析】【分析】计算得到，正确；确定，画出函数图像知B正确；取特殊值得到不恒

12、成立，C错误；考虑，三种情况，根据零点存在定理得到答案.【详解】对选项A：，则，正确；对选项B：，即，即，根据图像知方程有唯一正数解，正确；对选项C：，即，取得到，取得到，方程组无解，故等式不恒成立，错误；对选项D：若，则1即为的零点；若，则，可得，故当趋近正无穷时，趋近正无穷，所以存在零点；若，则由， 可得，由， 可得，当趋近正无穷时，趋近负无穷，所以存在零点.综上所述：存在零点，正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义可

13、求出结果.【详解】依题意得，所以，所以.故答案为：.14. 已知一个扇形的周长为10，弧长为6，那么该扇形的面积是_.【答案】6【解析】【分析】根据周长和弧长求出半径，再根据面积公式可求出结果.【详解】设该扇形的弧长为，半径为，周长为，面积为，则，所以，则.故答案为：.15. 已知函数，则的值为_.【答案】5【解析】【分析】利用分段函数解析式代入求值即可.【详解】函数，.故答案为：516. 已知函数定义域为，对任意的，当时，有(e是自然对数的底).若，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将变形为，由此设函数，说明其在上单调递减，将化为，即，利用函数单调性即可求得答案.【详解】由题意

14、当时，有，即，即，故令，则当时，则在上单调递减，由于，而，即有，即，所以 ，即实数a的取值范围是，故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据，变形为，从而构造函数，并说明其为单调减函数，由此可解决问题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合或，.(1)当时，求；(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】(1)或； (2).【解析】【分析】(1)化简，根据并集的概念可求出结果；(2)转化为是的真子集，再根据真子集关系列式可求出结果.【小问1详解】当时，或，由，得，所以，所以或.【小问2详解】若“”是“”成立的必

15、要不充分条件，则是的真子集，故，解得.18. 设函数，且方程有两个实数根为，.(1)求的解析式；(2)若，求的最小值及取得最小值时x的值.【答案】(1) (2)，【解析】【分析】(1)将化为一元二次方程，根据韦达定理列式求出可得结果；(2)根据基本不等式可求出结果.【小问1详解】由，得.化简得：.因为，是上述方程的两个根，由韦达定理可得：，解得：，所以.【小问2详解】当时，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为，此时.19. 已知二次函数.(1)当时，解不等式；(2)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围.【答案】(1)或 (2)或【解析】【分析】(1)根据二次函数转化为不含参数的一元二次不

16、等式直接求解即可；(2)利用二次函数的单调性分类讨论即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】解：当时，此时不等式，即，解得：或所以不等式的解集为或；【小问2详解】解：若在区间上单调递减因为的对称轴为，当时，开口向下，且此时在区间上单调递减.所以；当时，开口向上，且故.所以；综上所述，实数a的取值范围为或.20. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于点P.过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与.(1)若的面积为2，求的值；(2)求的最小值.【答案】(1) (2)16【解析】【分析】(1)由题意求出与，根据的面积为2，结合三角函数同

17、角的三角函数关系，即可求得答案;(2)结合(1)可表示出，利用基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由题意得为锐角，故P在第一象限，则在轴正半轴上，由题意可知，故,故，,故，则，由的面积为2，得，即.所以，又，故，即，解得；【小问2详解】由题意是锐角，则，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为16.21. Laeeb是2022年卡塔尔世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物具有非常鲜明的民族特征，阿拉伯语意为“高超的球员”，某中国企业可以生产世界杯吉祥物Laeeb，根据市场调查与预测，投资成本x(千万)与利润y(千万)的关系如下表x(千万)2412y(千万)0.40.812.8当投资成本x不高于12(千万

18、)时，利润y(千万)与投资成本x(千万)的关系有两个函数模型与可供选择.(1)当投资成本x不高于12(千万)时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)当投资成本x高于12(千万)时，利润y(千万)与投资成本工(千万)满足关系，结合第(1)问的结果，要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x(千万)应该控制在什么范围.(结果保留到小数点后一位)(参考数据：)【答案】(1)最符合实际的函数模型为 (2)【解析】【分析】(1)将点与分别代入两函数模型，求得解析式，计算时的函数值，比较可得结论，从而确定函数模型；(2)由题意可得利润y与投资成本x满足关系，分段接不等式，即可求得答案

19、.【小问1详解】最符合实际的函数模型是.若选函数模型，将点与代入得，解得，所以，当时，.若选函数模型，将点与代入得，解得，所以，当时，综上可得，最符合实际的函数模型为.【小问2详解】由题意可知：利润y与投资成本x满足关系,要获得不少于一个亿的利润，即,当时，即，即因，所以.又因，所以.当时，解得，又因为，所以，综上可得，故要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x(千万)的范围是.22. 已知函数是奇函数.(e是自然对数的底)(1)求实数k的值；(2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，为长度的线段也能构成三角形

20、，求实数n的最大值.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】(1)根据求出，再检验的奇偶性；(2)若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得；(3)化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值.【小问1详解】因为是奇函数，且定义域为R，所以，即，解得.经检验，此时是奇函数所以.【小问2详解】由(1)知，由时，恒成立，得，因为，所以，设，因，当且仅当时，等号成立，又，所以，故，所以.【小问3详解】由题意得：不妨设，以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且，以，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立，因为，仅当a=b时前一个等号成立，所以，即，于是n的最大值为.