山东省泰安市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（含解析）.docx

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1、山东省泰安市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（含解析）高一年级考试数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足(为虚数单位)，则在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.

2、 已知，则( )A. 0.5B. 0.6C. 0.8D. 13. 如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为( )A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险各种保险按相关约定进行参保与理赔已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是( ) A 周岁人群参保总费用最少B. 30周岁以下的参保人群约

3、占参保人群的C. 54周岁以上的参保人数最少D. 丁险种更受参保人青睐6. 抛掷-枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则( )A. 甲乙互斥B. 乙丙互为对立C. 甲乙相互独立D. 甲丙相互独立7. 已知，则向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D. 8. 已知正四面体的体积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

4、题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设复数，则下列说法正确是( )A. 的虚部是B. C. 复平面内和分别对应的两点之间的距离为1D. 10. 已知函数的最大值为3，且的图象关于直线对称，则下列说法正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. C. 函数的图象关于点对称D. 函数在上单调递减11. 已知点是所在平面内一点，且，则下列说法正确是( )A. 若，则点是边的中点B. 若点是边上靠近点的三等分点，则C. 若，则与的面积相等D. 若点在边的中线上，且，则点是的重心12. 如图，在直三棱柱中，已知，为的中点，过的截面与棱，分别交于点，则下列说法正确的是( )

5、A. 三棱锥的体积为定值B. 线段长度的取值范围是C. 当点与点重合时，四棱锥的体积为2D. 存在点，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕这是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派_人14. 已知是第三象限角，且，则的值是_.1

6、5. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高_m 16. 在锐角中，已知，则的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在锐角中，内角对边分别为，向量，且(1)求；(2)若为中点，的面积为，求的长18. 如图，平面，为中点 (1)求证：平面；(2)求点到平面距离19. 某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个社区各抽取了20人进行打分(分数为正整数，满分100分)甲社区20名居民的打分记录如下：52，56，59，63，64，70，71

7、，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95将乙社区20名居民的打分分成五组，并画出了其频率分布直方图 (1)根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；(2)估计乙社区20名居民打分的平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；(3)现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率20. 已知向量，设(1)若，求的值；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上有零点，求实数的取值范围21. 甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，

8、负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立(1)求第三局结束时甲获胜的概率；(2)求乙最终以分获胜的概率22. 如图1，在边长为4的菱形中，分别为，的中点，将沿折起到的位置，得到如图2所示的三棱锥 (1)证明：；(2)为线段上一个动点(不与端点重合)，设二面角的大小为，三棱锥与三棱锥的体积之和为，求的最大值高一年级考试数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回

9、答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足(为虚数单位)，则在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以，则在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C2. 已知，则(

10、 )A. 0.5B. 0.6C. 0.8D. 1【答案】B【解析】【分析】依题意根据计算可得；【详解】解：因为，则，所以事件与事件不相互独立，故选：B3. 如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用斜二测画法得到原图矩形ABCD中，从而求出圆柱的高，底面半径，从而求出圆柱的体积.【详解】由斜二测画法得，在原图矩形ABCD中，所以该圆柱的高为，底面半径为，故该圆柱的体积为故选：B4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】

11、B【解析】【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，若，则或异面，故A选项错误；对于B选项，若，则，故B选项正确；对于C选项，若，则或或相交，故C选项错误；对于D选项，若，则或，故D选项错误；故选：B5. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险各种保险按相关约定进行参保与理赔已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是( ) A. 周岁人群参保总费用最少B. 30周岁以下的参保人群约占参保人群的C. 54周岁以上的参保人数最少D. 丁

12、险种更受参保人青睐【答案】A【解析】【分析】根据统计图表一一分析即可.【详解】对于选项A，由扇形统计图及折线图可知，故不小于周岁人群参保总费用最少，故A错误；对于选项B，由扇形统计图可知，周岁以下参保人群约占参保人群的，故B正确；对于选项C，由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占，人数最小，故C正确；对于选项D，由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故D正确；故选：A6. 抛掷-枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则( )A. 甲乙互斥B. 乙丙互为对立C. 甲乙相互独

13、立D. 甲丙相互独立【答案】D【解析】【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率，再利用互斥事件、对立事件以及事件的独立性定义判断各选项的正误即可.【详解】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：，则；乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5” 包含的基本事件有：，则；丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7” 包含的基本事件有：，则；对于A，甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A错误；对于B，除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B错误；对于C，甲乙同时发生的概率为，C错误；对于D，甲丙同时发生的

14、概率为，D正确.故选：D.7. 已知，则向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先算，再求与向量同向的单位向量和在上的投影，然后由投影向量定义可得.【详解】由题知，与向量同向的单位向量为因，所以，得所以向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量为.故选：D8. 已知正四面体的体积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，根据正四面体的体积求出棱长和正方体的边长，再利用正方体的体对角线等于外接球的直径，即可求出球的半径，当过点的截面到球心的距离最

15、大为时，截面圆的面积达最小值，最后利用球的截面的性质求出截面圆的半径，即可求出截面圆的面积最小值.【详解】如图所示，球为正四面体的外接球，即为正方体的外接球，正四面体体积为，设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，所以，解得，设正四面体的外接球的半径为，则，基底，因为为棱的中点，过点作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大值时，截面圆的面积达最小值，此时球心到截面距离等于正方体棱长的一半，即，可得截面圆的半径为：，所以截面圆的面积最小值为：.故选：B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9

16、. 设复数，则下列说法正确的是( )A. 的虚部是B. C. 复平面内和分别对应的两点之间的距离为1D. 【答案】BD【解析】【分析】对于A，根据复数虚部的定义判断，对于B，通过计算判断，对于C，利用两点间的距离公式分析判断，对于D，通过计算判断.【详解】对于A，由，得，所以的虚部为，所以A错误，对于B，因为，所以，所以B正确，对于C，因为平面内和分别对应的点分别为和，所以这两个点间的距离为，所以C错误，对于D，因为，所以D正确，故选：BD10. 已知函数的最大值为3，且的图象关于直线对称，则下列说法正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. C. 函数的图象关于点对称D. 函数在上单调递减【

17、答案】BCD【解析】【分析】根据函数的性质求出、，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为的最大值为，所以，又的图象关于直线对称，所以，所以，因为，所以，所以，则函数的最小正周期，故A错误；，故B正确；，所以关于对称，故C正确；当，则，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确；故选：BCD11. 已知点是所在平面内一点，且，则下列说法正确的是( )A. 若，则点是边的中点B. 若点是边上靠近点的三等分点，则C. 若，则与的面积相等D. 若点在边中线上，且，则点是的重心【答案】BC【解析】【分析】根据平面向量线性法则及共线定理判断即可.【详解】对于A：当，则，即

18、，即，所以，故A错误；对于B：若点是边上靠近点的三等分点，所以，所以，又，且、不共线，所以，故B正确；对于C：若，则，所以，如图延长到点使得，延长到点使得，则，所以，所以、三点共线，又为三角形的中位线，所以、到的距离相等，所以，故C正确；对于D：取的中点，所以，又点在边的中线上，设， 所以，又，所以，又，所以，即，此时为的中点，则点不是的重心，故D错误；故选：BC12. 如图，在直三棱柱中，已知，为的中点，过的截面与棱，分别交于点，则下列说法正确的是( ) A. 三棱锥的体积为定值B. 线段长度的取值范围是C. 当点与点重合时，四棱锥的体积为2D. 存在点，使得【答案】AC【解析】【分析】延长

19、交延长线于，连接，过点作交于点，根据及锥体的体积判断A；用长表示长并求出范围判断B；利用割补法求出体积判断C；取上靠近点的四等分点，依题意，只要即可，推出矛盾，即可判断D.【详解】在直三棱柱中，E为的中点，有，延长交延长线于，连接，如图1，令，于是，即，由，得，即， 对于A，因为为的中点，为等腰直角三角形，过点作交于点，则，又直三棱柱中，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又四边形为矩形，在上，所以所以，故A正确； 对于B，显然在上单调递增，所以，故B错误；对于C，当点与点B重合时，如图， 四棱锥即的体积：，故C正确；对于D：取上靠近点的四等分点，又A可知即在平面内的射影，要使，只要即可，若

20、，设，则，又，所以，所以，得，则，所以不存在点，使得，故D错误； 故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕这是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派_人【答案】【解析】【分析】根据分层抽样按比例抽取计算即可【详解】由题意，在大

21、一青年志愿者中应选派人故答案为：14. 已知是第三象限角，且，则的值是_.【答案】#-0.75【解析】【分析】根据同角三角函数关系式求得的值，再根据正切二倍角公式求得的值.【详解】因为是第三象限角，且，所以，则，所以.故答案为：.15. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高_m 【答案】【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求出，然后利用锐角三角函数可求出.【详解】在中，则，由正弦定理得，所以，所以，得，在中，所以，所以塔高，故答案为：16. 在锐角中，已知，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到，则，再转化为

22、关于的三角形函数，由三角形为锐角三角形求出的取值范围，结合二次函数的性质计算可得.【详解】由正弦定理，即，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，令，则，显然在上单调递增，且，所以，即，所以的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在锐角中，内角的对边分别为，向量，且(1)求；(2)若为中点，的面积为，求的长【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由向量共线的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，即可得解；(2)由面积公式求出，即可得到，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】因为向量，且，所以，由正弦定理可得，因为，

23、所以，又，所以.【小问2详解】因为的面积为，所以，又，所以，所以，在中，所以.18. 如图，平面，为中点 (1)求证：平面；(2)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)取的中点，连接、，即可得到四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；(2)利用等体积法求出点到平面的距离.【小问1详解】取的中点，连接、，因为为中点，所以且，又，即且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】因为，所以，所以，又平面，所以，因为，所以，由平面，平面，所以，又，所以，所以，设点到平面的距离为，则，解得.19. 某城市正在进行创建文明城市的活动，为了

24、解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个社区各抽取了20人进行打分(分数为正整数，满分100分)甲社区20名居民的打分记录如下：52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95将乙社区20名居民打分分成五组，并画出了其频率分布直方图 (1)根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；(2)估计乙社区20名居民打分平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；(3)现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】(1)根据百分位数计算规

25、则计算可得；(2)根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；(3)利用列举法及古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】因为，所以这个数据的第百分位数是从小到大排列的第和第个数的平均数，即，即甲社区名居民打分的第百分位数为.【小问2详解】由频率分布直方图可知，乙社区名居民打分的平均分为：.【小问3详解】甲社区打分不低于分的有人记作、，乙社区打分不低于分的有人，记作、，从中任选人的可能结果有、共个基本事件，其中满足人不在同一社区的有、共个基本事件，所以人不在同一社区的概率.20. 已知向量，设(1)若，求的值；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数

26、的图象，若函数在上有零点，求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得的表达式，结合可得，利用诱导公式化简求值，即得答案.(2)根据三角函数图像的变换规律可得的表达式，结合x的范围求得的值域，即可求得答案.【小问1详解】由题意得，由，得，即，故.【小问2详解】由题意得，因为，故，所以，故，故函数在上有零点时，实数的取值范围为.21. 甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则

27、比赛最终打平假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立(1)求第三局结束时甲获胜的概率；(2)求乙最终以分获胜的概率【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)对甲来说共有两种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜),根据独立事件的乘法公式即可求解.(2)以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件为“第三局结束甲获胜”，由题意知，甲每局获胜的概率为，不获胜的概率为 若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜) 故.【小问2详解】由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为，平的

28、概率为，负的概率为，设事件为“乙最终以分获胜”若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率 若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：(胜，不胜，胜)，(不胜，胜，胜) 此时的概率 若第四局结束乙以分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：(胜，平，平，胜)，(平，胜，平，胜)，(平，平，胜，胜)，(胜，平，负，胜)，(胜，负，平，胜)，(平，胜，负，胜)，(负，胜，平，胜)，(平，负，胜，胜)，(负，平，胜，胜) 此时的概率 故.22. 如图1，在边长为4的菱形中，分别为，的中点，将沿折起到的位置，得到如图2所示的三棱锥 (1)证明：；(2)为

29、线段上一个动点(不与端点重合)，设二面角的大小为，三棱锥与三棱锥的体积之和为，求的最大值【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)在菱形中连接交于点，则，即可得到，从而得到平面，即可得证；(2)在菱形中，连接交于点，即可得到是二面角的平面角，即，过作于点，过作于点，即可得到平面，平面，则、分别为三棱锥、的高，即可表示出，再由锥体的体积公式及二倍角公式公式计算可得.【小问1详解】在菱形中连接交于点，所以为的中点，在三棱锥中，平面，所以平面，平面，所以. 【小问2详解】在菱形中，连接交于点，因为，分别为，的中点，所以且，所以，在三棱锥中，所以是二面角的平面角，所以， 过作于点，过作于点，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，同理可证平面，所以、分别为三棱锥、的高，因为菱形边长为，所以，所以，在中，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以当时取得最大值.【点睛】关键点睛：第二问解答的关键是用的式子表示出、，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算出体积最大值.