广东省深圳市高级中学高中部2022-2023学年高一下学期期中数学试题含解析.docx

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1、深圳市高级中学2022-2023学年第二学期期中测试高一数学试题2023.04命题人：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数与都是纯虚数，则( )A. B. C. D. 2. 在空间中，表示平面，m表示直线，已知=l，则下列命题正确的是A. 若m/l，则m与，都平行B. 若m与，都平行，则m/lC. 若m与l异面，则m与，都相交D. 若m与，都相交，则m与l异面3. 已知,则是“与的夹角为钝角”的条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4. 已知，则下列正确的是( )A. B. C. D

2、. 5. 已知底面半径为的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，则圆锥的母线长为( )A. B. 2C. D. 46. 已知函数满足，则函数是( )A. 奇函数，关于点成中心对称B. 偶函数，关于点成中心对称C. 奇函数，关于直线成轴对称D. 偶函数，关于直线成轴对称7. 在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑如图，在鳖臑中，底面，作于于，下面结论正确的是( )平面 平面三棱锥鳖臑 三棱锥是鳖臑A B. C. D. 8. 若函数在(0，)上恰有2个零点，则的取值范围为( )A B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合

3、题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )A. B. 复数的虚部为C. 若复数为纯虚数，则D. 若为复数，则为实数10. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则点三点共线C. 若点是的重心，则D. 若且，则面积是面积的11. 在中，内角，的对边分别为，且( )A. 若，则B. 若，则的面积为C. 若，则的最大值为D. 若，则周长的取值范围为12. 在直三棱柱中，点P在线段上，则的( )A. 最小值为B. 最小值为C. 最大值为D. 最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.

4、已知，则_14. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则_(结果用数值表示)15. 若为奇函数，则_.(填写符合要求的一个值)16. 已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17. 在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且满足.(1)求的值;(2)若为线段上任意一点，求的最小值.18. 已知，为锐角，(1)求的值；(2)求的值19. 如图，在棱长为4的正方体中，E是上的动点，F是CD的中点.(1)求三棱锥的体积；(2)若E是中点

5、，求证：平面.20. 记中，角所对边分别为，且(1)求的最小值；(2)若，求及的面积.21. 已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称；(1)求出的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，求的值及的取值范围.22. D边上一点，满足，记，(1)当时，且，求CD的值；(2)若，求面积的最大值深圳市高级中学2022-2023学年第二学期期中测试高一数学试题2023.04命题人：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数与都是纯虚数，则( )A. B. C. D. 【答

6、案】C【解析】【分析】根据题意设，根据复数的四则运算可得出关于的等式与不等式，求出的值，即可得解.【详解】因为为纯虚数，设，则，由题意可得，解得，因此，.故选：C.2. 在空间中，表示平面，m表示直线，已知=l，则下列命题正确的是A. 若m/l，则m与，都平行B. 若m与，都平行，则m/lC. 若m与l异面，则m与，都相交D. 若m与，都相交，则m与l异面【答案】B【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系，以及直线与平面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.【详解】对：若m/l，则m与，都平行，或在平面，或者内，故错误；对：若m与，都平行，容易知m/l，故正确；对：若m与l异面，则m与，都

7、相交，或与其中一个平面相交，与另一个平行，故错误；对：若m与，都相交，则m与l异面，或者与相交，故错误.综上所述，选项正确.故选：B.【点睛】本题考查空间中直线与平面，直线与直线之间的位置关系，属基础题.3. 已知,则是“与的夹角为钝角”的条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据向量的夹角为钝角，则，再排除共线时的取值，从而进行等价转化；再结合题意进行选择即可.【详解】，与的夹角为钝角210且2+0，即且2.是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由向量夹角的范围求参数的范围，属

8、综合基础题.4. 已知，则下列正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用和角余弦公式、二倍角余弦及正切公式化简a、b、c，结合三角函数的性质比较大小.【详解】由，所以.故选：C5. 已知底面半径为的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，则圆锥的母线长为( )A. B. 2C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据底面半径为的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解.【详解】解：设圆锥母线长为l，半径为1的球的表面积为，因为底面半径为圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，所以，解得，故选：C6. 已知函数满足，则函数是( )

9、A. 奇函数，关于点成中心对称B. 偶函数，关于点成中心对称C. 奇函数，关于直线成轴对称D. 偶函数，关于直线成轴对称【答案】D【解析】【分析】，求得，再根据余弦函数的性质即可判断.【详解】因为，即所以，即，则，所以，令对于AC，因为，所以函数是偶函数.AC错误；对于BD，所以函数关于直线成轴对称，B错误D正确.故选：D7. 在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑如图，在鳖臑中，底面，作于于，下面结论正确的是( )平面 平面三棱锥鳖臑 三棱锥是鳖臑A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，可判定正确；证得平面，可判定不正确；根据线面垂直的判定定理

10、和性质定理，结合鳖臑的定义，可判定、正确.【详解】对于中，由平面，且平面，所以，又由，可得，因为且平面，所以平面，所以正确；对于中，由平面，平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，所以与平面不垂直，所以不正确；对于中，由平面，且平面，所以，所以都为直角三角形，又由，所以为直角三角形，因为平面，平面，所以，所以为直角三角形，根据鳖臑的定义，可得三棱锥是一个鳖臑，所以正确；对于中，由平面，且平面，所以，所以都为直角三角形，因为，所以为直角三角形，由平面，平面，所以，因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为直角三角形，根据鳖臑的定义，可得三棱锥是一个鳖臑，所以正确.故选：D.8. 若函数在

11、(0，)上恰有2个零点，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简函数，根据，得到，结合在上恰有2个零点，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数，因为，所以，又由在上恰有2个零点，所以，解得，所以的取值范围为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )A. B. 复数虚部为C. 若复数为纯虚数，则D. 若为复数，则为实数【答案】AD【解析】【分析】根据复数的乘方、虚部的概念、纯虚数的概念与复数的几何

12、意义、共轭复数的概念与运算依次判断选项即可.【详解】A：，故A正确；B：对于复数的虚部为-1，故B错误；C：由复数z为纯虚数，设()，则，所以，故C错误；D：设复数()，则，所以，故D正确.故选：AD10. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则点三点共线C. 若点是的重心，则D. 若且，则的面积是面积的【答案】ACD【解析】【分析】A：根据向量的数乘和加减法法则即可判断；B：根据向量共线的性质即可判断；C：根据三角形重心的性质即可判断；D：根据向量共线和三角形面积即可判断.【详解】对于A，故A正确；对于B，若M、B、C三点共线，则存在唯一实数，使得，则，则无解

13、，故M、B、C三点不共线，故B错误；对于C，延长AM交BC于D，M是ABC重心，D是BC中点，则，故C正确；对于D，且，设则，则三点共线，由MD=AD可知的面积是面积的，故D正确故选：ACD11. 在中，内角，的对边分别为，且( )A 若，则B. 若，则的面积为C. 若，则的最大值为D. 若，则周长的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角形三边关系及基本不等式可求解.【详解】因为，所以.对于A，B，若，则，解得，的面积，A正确，B错误.对于C，若，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，C正确.对于D，若，则根据三边关系可得即解得，则，的周长为，故

14、周长的取值范围为，D正确.故选：ACD12. 在直三棱柱中，点P在线段上，则的( )A. 最小值为B. 最小值为C. 最大值为D. 最大值为【答案】BD【解析】【分析】将平面与平面展平在一个平面上后可求的最值.【详解】如图展开，其中是斜边为的等腰直角三角形，是斜边为6的等腰直角三角形当三点共线时，取得最小值当P位于C点位置时，取得最大值故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知，则_【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，二倍角的余弦公式求解作答.【详解】因，所以故答案为：14. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则_(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】首先

15、根据投影公式求得，再代入数量积公式，即可求解.【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，且，所以，所以，则故答案为：15. 若为奇函数，则_.(填写符合要求的一个值)【答案】(答案不唯一，符合题意均可)【解析】【分析】由为奇函数，且为奇函数，为偶函数，可得，解方程即可得答案.【详解】解：，因为为奇函数，且为奇函数，为偶函数，所以，即，所以或，所以的值可以是，故答案为：(答案不唯一，符合题意均可)16. 已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为_.【答案】#【解析】【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的

16、半径，则问题可解【详解】如图所示：依题意得 ，底面的外接圆半径为，点到平面的距离为 ，所以 ， 所以 设球的半径为，所以则，得 设球的半径为，则，又 得 所以球的表面积为 故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17. 在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且满足.(1)求的值;(2)若为线段上任意一点，求的最小值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)以为基底，将数量积运算通过向量的线性运算，转化成关于基底的运算；(2)先确定的位置，即，再令，从而将表示成关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可得答案.【详解】(1)在梯形中，因为，

17、所以， ;(2)令，则，即，令，则，所以当时，有最小值.【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化为函数的最值问题.18. 已知，为锐角，(1)求的值；(2)求的值【答案】(1)； (2).【解析】【分析】根根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，转化为，即可求解；根据已知得与的值，由，即可求解【小问1详解】；【小问2详解】因为，所以，又，为锐角，所以，所以19. 如图，在棱长为4的正方体中，E是上的动点，F是CD的中点.(1)求三棱锥的体积；(2)若E是的中点，求证：平面.【答案

18、】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)由正方体的性质可知平面，即点到平面的距离为，最后根据锥体的条件公式计算可得.(2)连接交于点，连接，即可得到四边形是平行四边形，从而得到，即可得证.【小问1详解】解：在正方体中，平面，所以点在上运动时，到平面的距离为4，所以.【小问2详解】解：连接交于点，连接，因为，且，且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.20. 记中，角所对边分别为，且(1)求的最小值；(2)若，求及的面积.【答案】(1) (2)5，【解析】【分析】(1)先利用题给条件求得，再利用均值定理即可求得的最小值；(2)先求得，再利用正弦定理即可求得及

19、的面积.【小问1详解】因为，所以，即，因为，所以，所以，(当且仅当时等号成立.)所以的最小值为.【小问2详解】因为，由(1)得，因为，所以，所以，由正弦定理，得，所以的面积为.21. 已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称；(1)求出的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，求的值及的取值范围.【答案】(1) (2)，【解析】【分析】(1)根据条件相邻的两个对称中心的距离为得到周期从而求出，再根据对称轴是及求出，从而得到的解析式；(2)根据平移变换得到，再通过整体代换，利用正弦函数的图像和性质得到有最小值及对应的自变量的值，即可求的

20、值及的取值范围.【小问1详解】解：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，所以，即周期，所以，所以，又因为函数的图象关于直线轴对称，所以，即，因为，所以，所以函数的解析式为；【小问2详解】解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，所以，当时，,当时，有最小值且关于对称，因为方程在上有两根，所以，即的取值范围.22. D为边上一点，满足，记，(1)当时，且，求CD的值；(2)若，求面积的最大值【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)设CD长为x，可知，再利用正切的二倍角公式可求解；(2)利用正弦定理得，再利用三角形面积公式结合两角差的正弦公式及辅助角公式可得，利用正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】设CD长为x，当时，则，因为，所以，即所以，得，所以，所以为【小问2详解】在中，则，由正弦定理得，又，所以，则面积，又，所以因为，所以，所以当，即时，S有最大值又的面积等于，故的面积的最大值为