广东省东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学五校2022-2023学年高二下学期联考数学试题含解析.docx

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1、东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2022-2023学年高二下学期五校联考试题数学本卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑字字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不

2、按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设函数，则( )A. B. C. D. 2. 展开式中的系数为( )A B. C. D. 3. 一种卫星接收天线(如图1)，其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分(如图2)，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 4. 各项均为正数的等差数列的前项和是，若，则的值为( )A. B.

3、 C. D. 5. 一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是( )A. B. C. D. 6. 将诗集诗经、唐诗三百首，戏剧牡丹亭，四大名著红楼梦、西游记、三国演义、水浒传7本书放在一排，下面结论成立的是( )A. 戏剧放在中间的不同放法有种B. 诗集相邻的不同放法有种C. 四大名著互不相邻不同放法有种D. 四大名著不放在两端的不同放法有种7. 已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 8. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于，两点(点、在

4、点的两侧)，且，则的离心率为( )A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9. 已知，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 10. 已知空间向量，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 在上的投影向量的长度为11. 有台车床加工同一型号零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起已知第，台车床加工的零件数分别占总数的，则( )A. 任取一个零件是第台生产出来的次品的概率为B. 任取一个零件是次品的概率为C. 如果取到的零件是

5、次品，且是第台车床加工的概率为D. 如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为12. 设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为( )A. 的图象与轴相切B. 存在实数，使得的图象与轴相切C. 若，则方程有唯一实数解D. 若有两个零点，则的取值范围为三、填空题：本大题共4小题.每小题5分.13. 在等比数列中，则_.14. 某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加，三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去企业，则不同的派遣方案共有_.15. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围为_.16. 若对任意的、，且当时，都有，则的最小值是_.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，

6、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于0的等比数列，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.18. 已知函数.(1)若，求的极值；(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围.19. 如图，在三棱柱中，平面，为线段上一点.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角为，求点到平面距离.20. 第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙

7、在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中.(1)求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望.21. 如图，已知椭圆，其左右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.22. 已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：；曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.

8、试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2022-2023学年高二下学期五校联考试题数学本卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑字字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然

9、后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设函数，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数的定义可求得所求极限的值.【详解】因为，则，因此，.故选：A.2. 展开式中的系数为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】写出展开式通项，令的指数为，分别求出求出、参数的值，代入通项后即可得解.【详解】的展开式通项为，因为，在中，令，在，令，可得，因此，展开式中的系数为

10、.故选：D.3. 一种卫星接收天线(如图1)，其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分(如图2)，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合图形知抛物线经过，设出抛物线方程，求出即可.【详解】由题意，结合图形可知，由于该抛物线开口向右，可设，即，解得，于是.故选：B4. 各项均为正数的等差数列的前项和是，若，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题干条件中下标的特点，结合等差中项进行化简先算出，然后利用求和公式求解.【

11、详解】根据等差中项，于是，即，而等差数列每一项均是正数，则解得，.故选：B5. 一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件分析概率值、对应的事件，即可得结果.【详解】由题设，取出3个球中没有白球的概率为，取出的3个球中有一个白球的概率，所以目标式表示.故选：C6. 将诗集诗经、唐诗三百首，戏剧牡丹亭，四大名著红楼梦、西游记、三国演义、水浒传7本书放在一排，下面结论成立的是( )A. 戏剧放在中间的不同放法有种B. 诗集相邻的不同放法有种C. 四大名著互不相邻的

12、不同放法有种D. 四大名著不放在两端的不同放法有种【答案】D【解析】【分析】A选项，戏剧先排，其余书本全排列即可；B选项，利用捆绑法进行处理；C选项，利用插空法处理；D选项，先排四大名著，然后再排剩下书本.【详解】A选项，戏剧只有一本，放中间，有种放法，其余本书全排列，有种，一共有种放法，A选项错误；B选项，将诗集看作一个整体，内部排序有种，和剩下的本书共同形成本书，全排列有放法，故一共有种放法，B选项错误；C选项，先排列除了四大名著的本书，全排列有种，这本书之间会形成个空，把四大名著插进这个空，有，故有种，C选项错误；D选项，四大名著不能排在两端，于是只能排在中间的个位子，有种放法，剩下的本

13、书在剩下的个位置全排列，有种，即，D选项正确.故选：D7. 已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：令，则，所以在R上递增，又，则不等式等价于，所以，故选：A8. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于，两点(点、在点的两侧)，且，则的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】过作，利用特殊三角形，三角形的中位线求出双曲线焦点三角形的边长，然后根据双曲线的定义进行求解.【详解】 如图，设圆和相切于，圆

14、的直径为双曲线的实轴，即，过作，垂足为，又，则/，又为的中点，则为中位线，则，又，则为等腰直角三角形，即.由，则，于是，故，根据双曲线的定义，则，故，.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9. 已知，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】由通项公式可判断B，由特值法可判断ACD【详解】令得，故A正确；因为的通项为，所以，故B正确；令，则，又，所以，故C错误；令，则，故D正确；故选：ABD10. 已知空间向量，则下列结论正确的是( )A. B.

15、C. D. 在上的投影向量的长度为【答案】BD【解析】【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的长度即可解决.【详解】对于A，由题得，而，故A不正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，故C不正确；对于D，因为在上的投影向量的长度为，故D正确；故选：BD.11. 有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起已知第，台车床加工的零件数分别占总数的，则( )A. 任取一个零件是第台生产出来的次品的概率为B. 任取一个零件是次品的概率为C. 如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为D. 如果取到的零件是次

16、品，且是第台车床加工的概率为【答案】ABD【解析】【分析】运用条件概率公式对每个选项逐一分析即可.【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”，则，对于A，即，故A正确；对于B，故B正确；对于C，故C错误；对于D，故D正确.故选：ABD12. 设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为( )A. 的图象与轴相切B. 存在实数，使得的图象与轴相切C. 若，则方程有唯一实数解D. 若有两个零点，则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】通过导数的几何意义分别判断函数，与x轴的相切情况；时，求得的单调区间及最值，判断方程是否有唯一实数解；对分类讨论，求得有两个零点

17、时应满足的条件，从而判断选项正误.【详解】，若的图象与轴相切，则，又，则切点坐标为，满足条件，故A正确；，当时，易知恒成立，不存在为0的解，故不存在实数，使得的图象与轴相切，B错误；由上所述，在上单减，上单增，则；若，在上单增，上单减，故方程有唯一实数解，故C正确；，当时，恒成立，单增，不存在2个零点，故舍去；当时，在上单增，在上单减，且时，时，故若有两个零点，则应使最大值，即，令，易知单调递减，且，因此的解集为，D正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：利用导数来研究函数的单调性，最值问题，把方程的根的问题，零点问题转化为图像交点问题，利用导数求得最值，从而得证.三、填空题：本大题共4小题.每

18、小题5分.13. 在等比数列中，则_.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，进而可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，所以，因此，.故答案为：.14. 某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加，三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去企业，则不同的派遣方案共有_.【答案】【解析】【分析】先选一个人和甲作伴，然后剩下的个人平均分组进行处理.【详解】由题意，先在除了甲的剩下的人选一个和甲作伴，一起去企业，有种方法，剩下的人，平均分成两组，有种方法，将这些分组分配到两个企业，有种，于是一共有种.故答案为：15. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围为_.【答

19、案】【解析】【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，即可得答案.【详解】因为，所以，令，若不等式恒成立，只需.因为，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.故答案为：16. 若对任意的、，且当时，都有，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】由已知不等式变形得出，令，可知函数在上为增函数，利用导数求出函数的增区间，即可得出实数的取值范围，即可得解.【详解】由题意可知，、均为正数，则，所以，因为，由可得，所以，令，则，所以，函数在上为增函数，由，可得，所以，函数的单调递增区间为，所以，则，即实数的最小值为.故答案为：.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解

20、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于0的等比数列，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.【答案】(1)； (2).【解析】【分析】(1)由导数的几何意义可求得；设等比数列的公比为，由求得，从而可求得；(2)求得，再结合分组求和法、裂项相消法即可求解.【小问1详解】因为，所以，所以；设等比数列的公比为，则，化简整理，得，解得(舍去)或，.小问2详解】，所以.18. 已知函数.(1)若，求的极值；(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【答案】(1)， (2)【解析】【分析】(1)利用导数分析函数的单调性，求解极值即可

21、；(2)在上单调递增转化为在上恒成立，分离参数，构造函数，利用二次函数求解最值即可求解.【小问1详解】当时，则，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，故，；【小问2详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，又，因为，所以，所以，所以，所以，故的取值范围是.19. 如图，在三棱柱中，平面，为线段上一点.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明过程见解析； (2).【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；(2)利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可

22、.【小问1详解】因为平面，平面，所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：，因为，所以，即，【小问2详解】设平面的法向量为，所以有，因为直线与平面所成角为，所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为：.【点睛】20. 第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中.(1)求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求

23、三人中进入决赛的人数的分布列和期望.【答案】(1)甲； (2)分布列见解析，.【解析】【分析】(1)根据题意求出甲、乙、丙三人初赛的两轮中均获胜的概率并比较大小即可；(2)根据题意先求出与所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解.【小问1详解】甲在初赛的两轮中均获胜的概率为，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为，丙在初赛两轮中均获胜的概率为.因为，所以，所以，即甲进入决赛的可能性最大.【小问2详解】设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，则，且，解得.所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，两轮中均获胜的概率为.进入决赛的人数的可能取值为0，1，2，3，则，.所

24、以的分布列为0123所以.21. 如图，已知椭圆，其左右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)； (2)存在，.【解析】【分析】(1)利用椭圆的定义可得，结合题列出关系式，可得，即得；或利用椭圆上点的坐标结合定义可得.(2)由题可设直线的方程为：，设点，利用韦达定理法，结合条件可得，即得.【小问1详解】法一：，,，,椭圆方程为：.法二：设，代入椭圆方程，由，解得，椭圆方程为：.【小问2详解】设动直线的方程为：，

25、由，得设，则，由对称性可设存在定点满足题设，则，由，可得，所以，由题意知上式对成立，且，解得.存在定点，使得以为直径的适恒过这个点，且点的坐标为.22. 已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：；曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.【答案】(1)增区间为、 (2)不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)求出函数的定义域，求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间；(2)假设函数存在“中值相依切线”，求出函数的，结合导数的几何意义，可得出，再令，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，判断方程在上的解的情况，即可得出结论.【小问1详解】解：函数的定义域为，因为，则，由可得或，所以，函数的增区间为、.【小问2详解】解：假设函数存在“中值相依切线”，设、是曲线上不同的两个点，且，则，则，因为，则，由可得，即，则，令，则，则，故函数在上单调递增，则，故在上无解，假设不成立，综上，假设不成立，所以函数不存在“中值相依切线”.【点睛】关键点点睛：本题考查导数中的新定义“中值相依切线”，解题时要紧扣题中定义，结合题意变形得出，通过换元法结合函数方程思想转化为在上的零点问题为解本题的关键.