湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（含解析）.docx

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1、长郡中学2023年上学期高一期中考试数学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则()A. B. C. D. 2. 定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 与向量垂直的单位向量为( )A. B. 或C. D. 或4. 若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为( )A. cm3B. cm3C. cm3D. cm35. 在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球半径为( )A 3B. C. D

2、. 66. 下列命题正确的为( )若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线于A、B、C三点，则这四条直线共面；已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；已知a，b，c为三条直线，若，则.A. B. C. D. 7. 如图，在中，已知，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为( )A. B. C. D. 8. 如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为( )A. B. C. D. 二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共

3、20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是( )A. 若为纯虚数，则B. 若，则C. 若，则的最大值为2D. 10. 关于直线，与平面，以下四个命题中真命题是A. 若，且，则B. 若，且，则C. 若，且，则D. 若，且，则11. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是( )A. B. 与所成的角为60C. 与是异面直线D. 平面12. 已知两个不相等的非零向量,，两组向量,和,均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题

4、为( )A. 可能有5个不同的值B. 若，则与无关C. 若，则D. 若，则与的夹角为三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 如图，将一个长方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是_. 14. 已知向量 , ，则向量的模的最大值是_.15. 在复平面内，为原点，向量，对应复数为，将绕点沿逆时针方向旋转，且将向量的模变为原来的倍，得向量，此时向量对应的复数为.现有一平行四边形，如图，则点直角坐标为_.16. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，D，E，F分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写

5、出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知复数，其中是实数(1)若，求实数的值；(2)若是纯虚数，是正实数，求18. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得距离为，在处测得大楼楼顶的仰角为75.(1)求两点间的距离；(2)求大楼的高度.19. 已知在直角三角形中，(如图所示)(1)若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积.(2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.20. 在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边，且.(1)若，求的面积；(2)记边中点为，求的最大

6、值，并说明理由.21. 如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知，. (1)若是的外心，求、的值；(2)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求的值.22. 如图,在四棱锥中,底面是菱形,底面,点在棱上,且(1)证明：面面;(2)求二面角的余弦值.长郡中学2023年上学期高一期中考试数学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量共线定理得存在实数，使，代入条件列式计算即可.【详解】若向

7、量与向量共线，则存在实数，使，解得.故选：D.2. 定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论.【详解】设复数的平方根为，则，化简，所以，解得，或，即复数的平方根为或，故选：C3. 与向量垂直的单位向量为( )A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】【分析】利用单位向量的定义及向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】设该单位向量为，则，解之得或，故选：B4. 若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为( )A. cm3B. cm3C. cm3D.

8、 cm3【答案】A【解析】【分析】设球的半径为R cm，正方体棱长为a cm，根据表面积和棱长的关系求出棱长，进而可得半径，再用体积公式求球的体积即可.【详解】设球的半径为R cm，正方体棱长为a cm，6a26，a1cm，即2R1，Rcm，球的体积故选：A.5. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球半径为( )A. 3B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】先求出外接圆半径，利用勾股定理求出三棱锥外接球半径.【详解】由正弦定理得,外接圆直径为，得r=3.设球心到平面距离为，则.三棱锥的外接球半径为.故选：C6. 下列命题正确的为( )若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q，R，则

9、P，Q，R三点共线；若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线于A、B、C三点，则这四条直线共面；已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；已知a，b，c为三条直线，若，则.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据基本事实3可判断的正误，利用基本事实及3个推论可判断的正误，根据可能的反例可判断的正误.【详解】对于，设平面平面，因为，平面，所以，同理，故、三点共线，正确；对于，因为，所以，可以确定一个平面，因为，所以，所以，又，所以.同理，也可以确定一个平面，且，因为，故重合，故这四条直线共面，所以正确；对于，直线、异面，、异面，则，可能平行、相交或异面，所以

10、错误；对于，则，可能平行、相交或异面，所以错误.故选：D.7. 如图，在中，已知，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积求出，再利用向量夹角公式求解作答.【详解】在中，令，则，因为、边上的两条中线，相交于点，则，于是，所以.故选：A8. 如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得出，再根据求功公式计算即可.【详解】在中，由正弦定理，.故选：B二、选择题

11、(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 已知为复数，是共轭复数，则下列命题一定正确的是( )A. 若为纯虚数，则B. 若，则C. 若，则的最大值为2D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据复数的运算，复数的定义，复数模的三角不等式及共轭复数的定义，计算求解后判断即得【详解】对于A，为纯虚数，所以，即，所以A错误；对于B，因为，所以，从而，所以正确；对于C， 由复数模的三角不等式可得，所以C正确；对于D，所以D正确.故选：BCD10. 关于直线，与平面，以下四个命题中真命题是A. 若，且，则B. 若

12、，且，则C. 若，且，则D. 若，且，则【答案】BC【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案【详解】解：若，且，则，可能平行也可能异面，也可以相交，故A错误；若，且，则，一定垂直，故B正确；若，且，则，一定垂直，故C正确；若，且，则，可能相交平行也可能异面，故D错误故选：BC【点睛】考查线线平行与垂直的判定，基础题.11. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是( )A. B. 与所成的角为60C. 与是异面直线D. 平面【答案】ACD【解析】【分析】将平面图形还原为立体图形，A正确B错误，观察知C正确，根据

13、平面平面得到D正确，得到答案.【详解】如图所示，将平面图形还原为立体图形，根据正方体的性质知：，故，A正确B错误；与是异面直线，C正确；平面平面，平面，平面，D正确.故选：ACD12. 已知两个不相等的非零向量,，两组向量,和,均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题为( )A. 可能有5个不同的值B. 若，则与无关C. 若，则D. 若，则与的夹角为【答案】BC【解析】【分析】根据的取值依据所含的个数有0个、有1个、有2个，可得,进而可判断A，根据数量积的运算，结合选项即可判断BCD.【详解】根据题意得的取值依据所含的个数，分三类：有0个、有1个、有2个，记，

14、分别得的取值为：，则至多有3个不同的值，A错误；若，则，此时，又，为非零向量，则，与无关，B对；若，则，则，C对；若，则，解得，D错误.故选：BC三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 如图，将一个长方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是_. 【答案】【解析】【分析】设长方体的长、宽、高分别为，根据长方体的几何特征，我们可得，两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案【详解】设长方体的长、宽、高分别为，即，由长方体，得，两两垂直，所以，于是故剩下几何体的体积，因此，故答案为：. 14. 已

15、知向量 , ，则向量的模的最大值是_.【答案】【解析】【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式求出模的表达式，并化简，根据三角函数的性质求得最大值.【详解】 ，则，当时，有最大值，且为，故答案为：15. 在复平面内，为原点，向量，对应复数为，将绕点沿逆时针方向旋转，且将向量的模变为原来的倍，得向量，此时向量对应的复数为.现有一平行四边形，如图，则点直角坐标为_.【答案】【解析】【分析】根据已知条件代入公式计算即可.【详解】易得,故对应的复数为：，即，故答案为：16. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，D，E，F分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_.【答案】【解析】【分析】通过构造平

16、行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可.【详解】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，由于，分别是棱，的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而，又因为，分别是，的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角.设，则，.从而，故，故异面直线与所成角的余弦值是.故答案为：.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知复数，其中是实数(1)若，求实数的值；(2)若是纯虚数，是正实数，求【答案】(1)2 (2)【解析】【分析】(1)利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解(2)利用为纯虚数求，从而得，然后通过复数的周期性进行求解即可【小问

17、1详解】，从而，解得a=2所以实数a的值为2【小问2详解】依题意得：因为是纯虚数，所以：，从而a=2或；又因为a是正实数，所以a=2当a=2时，因为，()所以所以18. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，在处测得大楼楼顶的仰角为75.(1)求两点间的距离；(2)求大楼的高度.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据题意，利用正弦定理计算即可求解；(2)根据题意可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.【小问1详解】因为，在中，由正弦定理得，即，所以m，即AC两点的距离为m；【小问2详解】在中，因为，所以，又，所以m，即大楼

18、的高度为m.19. 已知在直角三角形中，(如图所示)(1)若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积.(2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)若以为轴，直角三角形旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，由圆锥的表面积公式，即可求出结果 (2)利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形(如图)最短距离就是点B到点的距离，代入数值，即可求出结果【小问1详解】在直角三角形中，由即，得，若以为轴旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，则，其表面积为.【

19、小问2详解】由问题(1)的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点的母线把圆锥侧面展开为平面图形，最短距离就是点到点的距离，在中，由余弦定理得.20. 在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边，且.(1)若，求的面积；(2)记边的中点为，求的最大值，并说明理由.【答案】(1) (2)，理由见解析【解析】【分析】(1)根据题意，由正弦定理、余弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算可得，进而，结合三角形的面积公式计算即可求解；(2)根据余弦定理得，由平面向量的线性运算可得，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】在中，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，又，则，即，当时，为正三角形，得，

20、；【小问2详解】由余弦定理得：，边的中点为，又，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.21. 如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知，. (1)若是的外心，求、的值；(2)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求的值.【答案】(1)， (2)【解析】【分析】(1)设的中点为，利用三角形外心的性质可推出，从而得，结合已知可得的关系式，继而设的中点为，则，同理可得的关系式，解方程组可得答案.(2)利用三角形角平分线可得，推出，利用基本不等式求得的值，结合向量的模的运算即可求得答案.【小问1详解】设的中点为，因为是的外心，故， 而，故，由，可得，故，设的中点为，则，由，即，即，；【小问2详解】

21、因为是的平分线上某点，所以，所以由，可得，由，当且仅当时取等号，即时取等号，此时，所以，所以.22. 如图,在四棱锥中,底面是菱形,底面,点在棱上,且(1)证明：面面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】方法一：(1)由题意，得出，再由菱形的性质，求得，由线面垂直的判定定理，证得面，进而利用面面垂直的判定定理，即可得到面面；(2)连接OE,证得，得到是二面角平面角，在中，即可求解.法二：(1)以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据，得面，在面面垂直的判定定理，证得面面；(2)分别求得平面和平面的法向量为，利用向量的夹角公式，即可

22、求解.【详解】(1)证明：面 在菱形中，且面故面面(2)连接，则面面故在面内的射影为 又由(1)可得，故是二面角的平面角菱形中，,又 所以故 即二面角的余弦值为 法二：(1)菱形中， 又面故可以以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 由 可知相关点坐标如下： 则平面的一个法向量为 因为 所以 故面 从而面面 (2)设，则因为所以 故可得： 平面的一个法向量为设平面的一个法向量则 故 即二面角的余弦值为【点睛】本题考查了立体几何中的直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.