柯西不等式与权方和不等式的应用--2025届新高考数学含答案.pdf

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1、1思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、知识点梳理一、柯西不等式一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(a,b,c,dR,当且仅当ad=bc时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a2+b2c2+d2 ac+bd(a,b,c,dR,当且仅当ad=bc时,等号成立.)(2)a2+b2c2+d2 ac+bd(a,b,c,dR,当且仅当ad=bc时,等号成立.)(3)(a+b)(c+d)(ac+bd)2(a,b,c,d0,当且仅当ad=bc时，等号成立.)3.扩展：a2

2、1+a22+a23+a2nb21+b22+b23+b2n(a1b1+a2b2+a3b3+anbn)2，当且仅当a1:b1=a2:b2=an:bn时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a2+b2+c2，并不是不等式的形状，但变成13 12+12+12 a2+b2+c2就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式二、权方和不等式权方和不等式：权方和不等式：若a,b,x,y0，则a2x+b2y(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时，等号成立.证明1：a,b,x,y0要证a2x+b2y(a+b)2x+y只需证ya2+xb2xy(a+b)2x+y即证xya2+y2a2+x2b2+x

3、yb2xya2+2xyab+xyb2故只要证y2a2+x2b22xyab(yaxb)20当且仅当yaxb=0时，等号成立即a2x+b2y(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a2x+b2y(x+y)(a+b)2在a,b,x,y0时，就有了a2x+b2y(a+b)2x+y当ax=by时，等号成立推广1：a2x+b2y+c2z(a+b+c)2x+y+z,当ax=by=cz时，等号成立柯西不等式与权方和不等式的应用柯西不等式与权方和不等式的应用-2025届新高考数学届新高考数学2推广:2：若ai0,bi0，则a21b1+a22b2+a2nbn(a1+a2+

4、an)2b1+b2+bn，当ai=bi时，等号成立.推广3：若ai0,bi0,m0，则am+11bm1+am+12bm2+am+1nbmn(a1+a2+an)m+1b1+b2+bnm，当ai=bi时，等号成立.二、题型精讲精练二、题型精讲精练1 1实数x、y满足x2+y2=4，则x+y的最大值是.2 2设x,y,zR，且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立，证明：a-3或a-1.3 3已知a1,b12，且2a+b=3，则1a-1+12b-1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【题型训练题型训练-

5、刷模拟刷模拟】1.1.柯西不等式柯西不等式一、单选题一、单选题4(2024全国模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数a1,a2,a3和b1,b2,b3，有a21+a22+a23b21+b22+b23 a1b1+a2b2+a3b32等号成立当且仅当a1b1=a2b2=a3b3已知x2+y2+z2=14，请你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是()A.14B.12C.10D.85(2

6、3-24高二下山东烟台阶段练习)已知空间向量OA=1,12,0,OB=1,2,0,OC=0,1,12，OP=xOA+yOB+zOC，且x+2y+z=2，则 OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4二、填空题二、填空题6(2024山西二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一3个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x1,y1，b=x2,y2，由 ab ab得到 x1x2+y1y22 x21+y21x22+y22，当且仅当x1y2=x2y1时取等号.现已知a0，b0，a+b=9，则2a+4+b+1 的最大值为.

7、7(22-23高二下浙江阶段练习)已知x2+y2+z2=1，a+3b+6c=16，则 x-a2+y-b2+z-c2的最小值为.8(22-23高一全国课堂例题)若不等式x+y k 5x+y 对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为.9(22-23高三上河北衡水期末)若C：x-a2+y-b2=1，D：x-62+y-82=4，M，N分别为C，D上一动点，MN最小值为4，则3a+4b取值范围为10已知正实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，则1a+b+c+1b+c+d+1c+d+a+1d+a+b的最小值是三、解答题三、解答题11(2024四川南充三模)若a，b均为正实数，且满足a2+b2=2.

8、(1)求2a+3b的最大值；(2)求证：4 a3+b3a+b92.12(2024四川模拟预测)已知a,b,c均为正实数，且满足9a+4b+4c=4(1)求1a+1100b-4c的最小值；(2)求证：9a2+b2+c21641.413(2024高三全国专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0a25；(2)若a，b，c 0,+，求证：a21-a+b21-b+c21-c122.2.权方和不等式权方和不等式一、填空题一、填空题14已知x-1，y0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为15已知x0，y0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值

9、是16已知a0，b0，且2a+2+1a+2b=1，则a+b的最小值是17(23-24高一上辽宁沈阳阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y0，则a2x+b2y(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式，函数 f x=2x+91-2x0 x1,b1，则a2b-1+b2a-1的最小值是523(2023高三全国专题练习)已知实数x，y满足xy0，且x+y=2，M=3x+2y+12x-y的最小值为.24(2024高三全国专题练习)已知x,y0,1x+2 2y=1，则x2+y2的最小值是25(2023高三全国专

10、题练习)已知正数x,y满足4x+9y=1，则42x2+x+9y2+y的最小值为1思维拓展 柯西不等式与权方和不等式思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲精讲+精练精练)一、知识点梳理一、知识点梳理一、柯西不等式一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(a,b,c,dR,当且仅当ad=bc时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a2+b2c2+d2 ac+bd(a,b,c,dR,当且仅当ad=bc时,等号成立.)(2)a2+b2c2+d2 ac+bd(a,b,c,dR,当且仅当ad=bc时,等号成立.)(3)(a+b)(c+d)(ac+bd

11、)2(a,b,c,d0,当且仅当ad=bc时，等号成立.)3.扩展：a21+a22+a23+a2nb21+b22+b23+b2n(a1b1+a2b2+a3b3+anbn)2，当且仅当a1:b1=a2:b2=an:bn时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a2+b2+c2，并不是不等式的形状，但变成13 12+12+12 a2+b2+c2就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式二、权方和不等式权方和不等式：权方和不等式：若a,b,x,y0，则a2x+b2y(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时，等号成立.证明1：a,b,x,y0要证a2x+b2y(a+b)2x+y只需证

12、ya2+xb2xy(a+b)2x+y即证xya2+y2a2+x2b2+xyb2xya2+2xyab+xyb2故只要证y2a2+x2b22xyab(yaxb)20当且仅当yaxb=0时，等号成立即a2x+b2y(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a2x+b2y(x+y)(a+b)2在a,b,x,y0时，就有了a2x+b2y(a+b)2x+y当ax=by时，等号成立推广1：a2x+b2y+c2z(a+b+c)2x+y+z,当ax=by=cz时，等号成立2推广:2：若ai0,bi0，则a21b1+a22b2+a2nbn(a1+a2+an)2b1+b2+b

13、n，当ai=bi时，等号成立.推广3：若ai0,bi0,m0，则am+11bm1+am+12bm2+am+1nbmn(a1+a2+an)m+1b1+b2+bnm，当ai=bi时，等号成立.二、题型精讲精练二、题型精讲精练1 1实数x、y满足x2+y2=4，则x+y的最大值是.解：x2+y212+12 x+y2，则8 x+y2所以x+y2 2，当且仅当x=y=2 时等号成立.答案：2 22 2设x,y,zR，且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立，证明：a-3或a-1.【分析】(1)根据条件x+y+z=

14、1，和柯西不等式得到(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243，再讨论x,y,z是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x,y,z代入原不等式，便可得到参数a的取值范围.【详解】(1)(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2(12+12+12)(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x+y+z+1)2=4故(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243等号成立当且仅当 x-1=y+1=z+1 而又因 x+y+z=1，解得x=53y=-13z=-13时等号成立，所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)因为(x-2)2+(y-1)2+(z-

15、a)213，所以(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(12+12+12)1.根据柯西不等式等号成立条件，当x-2=y-1=z-a，即x=2-a+23y=1-a+23z=a-a+23时有(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(12+12+12)=(x-2+y-1+z-a)2=(a+2)2成立.所以(a+2)21成立，所以有a-3或a-1.3 3已知a1,b12，且2a+b=3，则1a-1+12b-1的最小值为()3A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a+b=3，所以4a+2b=6由权方和不等式a2x+b2y(a+b)2x+y可得1a-1+12b-1=44a-4+12b-1=224a-

16、4+122b-12+124a-4+2b-1=9当且仅当24a-4=12b-1，即a=76,b=23时，等号成立【答案】C C【题型训练题型训练-刷模拟刷模拟】1.1.柯西不等式柯西不等式一、单选题一、单选题4(2024全国模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数a1,a2,a3和b1,b2,b3，有a21+a22+a23b21+b22+b23 a1b1+a2b2+a3b32等号成立当且仅

17、当a1b1=a2b2=a3b3已知x2+y2+z2=14，请你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是()A.14B.12C.10D.8【答案】A【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得 x+2y+3z2 x2+y2+z212+22+32=1414=196，所以x+2y+3z的最大值为14，当且仅当x=1,y=2,z=3时取等号.故选：A5(23-24高二下山东烟台阶段练习)已知空间向量OA=1,12,0,OB=1,2,0,OC=0,1,12，OP=xOA+yOB+zOC，且x+2y+z=2，则 OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的

18、坐标表示计算OP=xOA+yOB+zOC，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为OP=xOA+yOB+zOC=x 1,12,0+y 1,2,0+z 0,1,12=x+y,12x+2y+z,12z，所以 OP 2=x+y2+12x+2y+z2+12z24=13x+y2+12x+2y+z2+12z21+1+113x+y+12x+2y+z+12z2=1332x+3y+32z2=34x+2y+z2=3，当且仅当x+y=12x+2y+z=12z时等号成立，即x=2,y=-1,z=2时等号成立.所以 OP 3，所以 OP 的最小值为3.故选：B二、填空题二、填空题6(2024山西二模)柯西不等式是数学家柯

19、西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x1,y1，b=x2,y2，由 ab ab得到 x1x2+y1y22 x21+y21x22+y22，当且仅当x1y2=x2y1时取等号.现已知a0，b0，a+b=9，则2a+4+b+1 的最大值为.【答案】6【分析】令x1=2,y1=1,x2=a+2,y2=b+1，代入公式即可得解.【详解】令x1=2,y1=1,x2=a+2,y2=b+1，又a0，b0，a+b=9，所以2a+4+b+12 2+1a+2+b+1=312=36，所以2a+4+b+1 6，当且仅当

20、2 b+1=a+2，即a=6,b=3时取等号，所以2a+4+b+1 的最大值为6.故答案为：67(22-23高二下浙江阶段练习)已知x2+y2+z2=1，a+3b+6c=16，则 x-a2+y-b2+z-c2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】a+3b+6c=1612+32+62a2+b2+c2=4 a2+b2+c2a2+b2+c24,当且仅当a1=b3=c6时等号成立，即a=1,b=3,c=6，x-a2+y-b2+z-c2=1-2 xa+by+cz+a2+b2+c21-2 x2+y2+z2a2+b2+c2+a2+b2+c2=1-2 a2+b2+c2+a2+b2

21、+c2=a2+b2+c2-129，当且仅当ax=by=cz时等号成立，可取x=14,y=34,z=64故答案为：98(22-23高一全国课堂例题)若不等式x+y k 5x+y 对任意正实数x，y都成立，则实数k5的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x+y=x215+y21x+y15+1，整理得x+y5x+y305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上河北衡水期末)若C：x-a2+y-b2=1，D：x-62+y-82=4，M，N分别为C，D上一动点，MN最小值为

22、4，则3a+4b取值范围为【答案】15,85【分析】先根据 MN的最小值求出 CD=7，即 a-62+b-82=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于 MN最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离 CD=4+1+2=7，即 a-62+b-82=49，由柯西不等式得：a-62+b-82 32+42 3 a-6+4 b-82，当且仅当a-63=b-84，即a=515,b=685时，等号成立，即 3a+4b-5022549，解得：153a+4b85.故答案为：15,8510已知正实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，则1a+b+c+1b+c+d+1c+d+a+1d+a

23、+b的最小值是【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1a+b+c+1b+c+d+1c+d+a+1d+a+b=133 a+b+c+d1a+b+c+1b+c+d+1c+d+a+1d+a+b=13a+b+c+b+c+d+c+d+a+d+a+b(1a+b+c+1b+c+d+1c+d+a+1d+a+b)131+1+1+12=163，当且仅当a=b=c=d=14时取“=”号6所以原式的最小值为163故答案为：163.三、解答题三、解答题11(2024四川南充三模)若a，b均为正实数，且满足a2+b2=2.(1)求2a+3b的最大值；(2)求证：4 a3+b3a+

24、b92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；(2)由分析法转化为求证44+2ab-2a2b292，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a2+b222+32 2a+3b2，即 2a+3b226，故2a+3b26，当且仅当3a=2ba2+b2=2，即a=2 2613b=3 2613 时取得等号，所以2a+3b的最大值为26.(2)要证：4 a3+b3a+b92，只需证：4a4+b4+ab a2+b292，只需证：4 a2+b22+ab a2+b2-2a2b292，即证：44+2ab-2a2b292，由a，b均为正实数，且满足a2+b2=2可得2

25、=a2+b22ab，当且仅当a=b时等号成立，即00，1-b0，1-c0，所以a21-a+1-a42a21-a1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4b，c21-c+1-c4c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c 0,+，所以1-a0，1-b0，1-c0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c121-a a1-a+1-b b1-b+1-c c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当

26、a=b=c=13时等号成立2.2.权方和不等式权方和不等式一、填空题一、填空题14已知x-1，y0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为【答案】92【分析】由x-1知：x+10，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b+4b=1a-2b+123b1+122a-2b+3b=14+4 6(等号成立条件，略).15已知x0，y0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是【答案】14【解析】x2x+2+y2y+1x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立916已知a0，b0

27、，且2a+2+1a+2b=1，则a+b的最小值是【答案】12+2【解析】1=2a+2+1a+2b2+122a+2b+2当2a+2=1a+2b，即a=2,b=12时，等号成立，a+bmin=12+217(23-24高一上辽宁沈阳阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y0，则a2x+b2y(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式，函数 f x=2x+91-2x0 x12的最小值【答案】25【分析】由 f x=2x+91-2x=42x+91-2x，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0 x0，由权方和不

28、等式可得 f x=2x+91-2x=42x+91-2x2+322x+1-2x=25，当且仅当22x=31-2x，即x=15时取等号，所以函数 f x=2x+91-2x0 x1,b1，则a2b-1+b2a-1的最小值是【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a+b-2=t0，则a2b-1+b2a-1a+b2a+b-2=t+22t=t+4t+42 4+4=8，11当a+b-2=2ab-1=ba-1 时，即a=2,b=2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8故答案为：823(2023高三全国专题练习)已知实数x，y满足xy0，且x+y=2，M=3x+2y+12x-y的最小值为.【答

29、案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：a0,b0,x0,y0,有a2x+b2y(a+b)2x+y,当且仅当ax=by时取等号.证明：利用柯西不等式：m,n,x,y0,(m2+n2)(x2+y2)(mx+ny)2，当且仅当mx=ny时取等号，要证a2x+b2y(a+b)2x+y,只须证(x+y)a2x+b2y(a+b)2，因a0,b0,x0,y0,则(x+y)a2x+b2y=(x)2+(y)2ax2+by2x ax+y by2=(a+b)2,当且仅当xax=yby时，即ax=

30、by时取等号.不妨令m(x+2y)+(2x-y)=n(x+y),整理得(m+2)x+(2m-1)y=nx+ny，则m+2=n2m-1=n,解得m=3n=5,则M=3x+2y+12x-y=93x+6y+12x-y=93x+6y+12x-y=323x+6y+122x-y(3+1)25(x+y)=85，当且仅当33x+6y=12x-y时等式成立，由33x+6y=12x-yx+y=2 解得：x=32y=12，即当x=32,y=12时，M=3x+2y+12x-y的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三全国专题练习)已知x,y0,1x+2 2y=1，则x2+y2的最小值是【答案】3 3【分析】利

31、用权方和不等式求解最值即可.12【详解】由题意得，1=1x+2 2y=132x212+232y2121+232x2+y212=3 3x2+y2(权方和的一般形式为：am+11bm1+am+12bm2+am+13bm3+am+1nbmna1+a2+a3+anm+1b1+b2+b3+bnm,ai0,bi0,当且仅当ai=bi时等号成立)当1x2=2y21x+2 2y=1，即x=3,y=3 2 时，x2+y2取得最小值3 3故答案为：3 325(2023高三全国专题练习)已知正数x,y满足4x+9y=1，则42x2+x+9y2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在

32、于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：a0,b0,x0,y0,有a2x+b2y(a+b)2x+y,当且仅当ax=by时取等号.证明：利用柯西不等式：m,n,x,y0,(m2+n2)(x2+y2)(mx+ny)2，当且仅当mx=ny时取等号，要证a2x+b2y(a+b)2x+y,只须证(x+y)a2x+b2y(a+b)2，因a0,b0,x0,y0,则(x+y)a2x+b2y=(x)2+(y)2ax2+by2x ax+y by2=(a+b)2,当且仅当xax=yby时，即ax=by时取等号.故由42x2+x+9y2+y=424 2x2+x+929 y2+y=42x28+4x+92y29+9y4x+9y24x+9y+17=118当且仅当4x8+4x=9y9+9y时取等号.由4x+9y=14x8+4x=9y9+9y,解得：x=172y=17，即当x=172,y=17时，42x2+x+9y2+y的最小值为118.故答案为：118.