广东省深圳市高级中学（集团）2022-2023学年高二下学期期中数学试题（含解析）.docx

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1、深圳市高级中学(集团)2022-2023学年第二学期期中测试高二数学命题人：(满分150分.考试时间120分钟.)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，若，则实数取值集合为( )A. B. C. D. 2. 函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是( )

2、A. B. C. D. 3. 某种品牌手机电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为( )A. 0.9B. 0.7C. 0.3D. 0.14. 已知等差数列中，是数列的前项和，则最大值时的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 75. 已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为( )A. B. 1C. 2D. 46. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同分配方法种数为( )A. 12B. 14C. 36D. 727. 若曲线有三条过点的切线，则实数的取

3、值范围为( )A. B. C. D. 8. 已知随机变量的分布列为：xyPyx则下列说法正确的是( )A. 存在x，B. 对任意x，C. 对任意x，D. 存x，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则( )A. B. C. 70分以下的人数约为6人D. 本次考试的平均分约为93.610. 已知数列an的前n项和为， ，若，则k可能为(

4、 )A. 4B. 8C. 9D. 1211. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则( )A. 事件，为互斥事件B. 事件B，C为独立事件C. D. 12. 已知函数，则下列结论正确的是( )A. 的图象关于点对称B. 在区间上单调递增C. 在区间内有7个零点D. 的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中含有常数项，则正整数的一个取值为_.14. 大气压强，它的单位是“帕斯卡”(Pa，)

5、，已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为_米.(答案保留整数，参考数据)15. 设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是_16. 已知函数的两个零点为，函数的两个零点为，则_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前项和.18. 设函数.(1)若在点处的切线为，求a，b的值；(2)求的单调区间. 19. 为贯彻落实健康中国行动(20192030年)关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见

6、等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.(1)求这200名学生体重的平均数和方差(同一组数据用该区间的中点值作代表).(2)由频率分布直方图可知，该校学生的体重服从正态分布，其中近似为平均数，近似为方差.利用该正态分布，求；若从该校随机抽取50名学生，记表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利用的结果，求.参考数据：.若，则，.20. 已知正项数列的前n项和为，且 ， (1)求；(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前

7、100项和.21. 甲、乙两人进行下象棋比赛(没有平局)采用“五局三胜”制已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，(1)设甲以3：1获胜的概率为，求的最大值；(2)记(1)中，取得最大值时值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局数，求的分布列和数学期望22. 已知函数.(1)当时，证明：(2)若函数在上单调递减，求的取值范围.深圳市高级中学(集团)2022-2023学年第二学期期中测试高二数学命题人：(满分150分.考试时间120分钟.)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

8、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，若，则实数的取值集合为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据，求实数的可能取值，由此可得结果.【详解】集合，又，所以，故实数a的取值集合为，故选：C.2. 函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义以及切线斜率的变化可得出结论.【详解】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时

9、，即，又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小，故.故选：A.3. 某种品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为( )A. 0.9B. 0.7C. 0.3D. 0.1【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】由题得：，故，因为，所以根据对称性得：.故选：D.4. 已知等差数列中，是数列的前项和，则最大值时的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据解得：然后求得：，当时取最大值，且；【详解】因为所以因为，所以所以当时取最大值

10、，且；故选：B5. 已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为( )A. B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由是函数的极小值点，可得，进而可得的解析式，即可得函数单调递区间及极大值点为，代入求解即可.【详解】因为所以，又因为是函数的极小值点，所以，解得，所以，令，得，所以当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以在处取极大值，在处取极小值，所以的极大值为.故选：D.6. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为( )A. 12B. 14C. 36D. 72【答案】B【解析】【分析】根

11、据题意，分厂只接受1个女生和厂接受2个女生两类情况，结合厂的分派方案，利用分类、分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，可分为两种情况：若厂只接受1个女生，有种分派方案，则厂分派人数可以为或，则有种分派方案，由分步计数原理可得，共有种不同的分派方案；若厂接受2个女生，只有1种分派方案，则厂分派人数为，则有种分派方案，此时共有种不同分派方案，综上，由分类计数原理可得，共有种不同的分派方案.故选：B.7. 若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象

12、与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得.要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，即函数图象与直线在R上有3个交点，设，则，令，令或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，且极小值、极大值分别为，如图，由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，即过点的切线有3条.所以实数a的取值范围为.故选：B.8. 已知随机变量的分布列为：xyPyx则下列说法正确的是( )A. 存在x，B. 对任意x，C. 对任意x，D. 存在x，【答案】C【解析】【分析】对A、B：根据期望的计算公

13、式结合二次函数分析运算；对C：先求，利用作差法比较大小；对D：换元令，结合二次函数求的取值范围.【详解】由题意可得：，且，即，对A、B：由题意可得：，开口向下，对称轴，则，故，即，不存在x，A错误；例如，则，即存在x，B错误；对C：，则，故对任意x，则，C正确；对D：令，则开口向下，对称轴，且，故，即，不存在x，D错误；故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).分数不低于

14、X即为优秀，已知优秀学生有80人，则( )A. B. C. 70分以下的人数约为6人D. 本次考试的平均分约为93.6【答案】AD【解析】【分析】根据频率分布图的求解频率、频数、平均数即可求解.【详解】对于A，A正确；对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，所以，B错误；对于C，70分以下的人数为人，C错误；对于D，平均成绩，D正确，故选:AD.10. 已知数列an的前n项和为， ，若，则k可能为( )A. 4B. 8C. 9D. 12【答案】AC【解析】【分析】根据已知条件列方程，从而求得的值.【详解】，当时，由，解得或(舍去)，所以A选项正确.，所以B选项错误.，所以C选项正确.，所

15、以，所以D选项错误.故选：AC11. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则( )A. 事件，为互斥事件B. 事件B，C为独立事件C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，事件不发生，则两球一

16、白一红，不独立，B错；，C正确；事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确故选：ACD12. 已知函数，则下列结论正确的是( )A. 的图象关于点对称B. 在区间上单调递增C. 在区间内有7个零点D. 的最大值为【答案】BD【解析】【分析】根据函数对称性的性质、二倍角公式，结合导数的性质、函数零点的定义、换元法逐一判断即可.【详解】，所以函数的图象不关于点对称，故错误.因为，所以当时，故B正确.由，则在内共有6个零点，故C错误.由题意可得，令，则，从而，当，或，故在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.因为，所以的最大值为，故D正确.故选：BD【点睛

17、】关键点睛：根据二倍角公式，利用换元法、导数的性质是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中含有常数项，则正整数的一个取值为_.【答案】3(只要是3正整数倍即可)【解析】【分析】根据二项式通项公式即可求出结果.【详解】的展开式的通项为，的展开式中含有常数项需要满足，即，所以只要是3正整数倍即可.故答案为：3(只要是3正整数倍即可).14. 大气压强，它的单位是“帕斯卡”(Pa，)，已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为_米.(答案保留整数，参考数据)【答案】【解析】【分析】

18、根据题意解方程即可得解.【详解】由题意可知：，解得，所以.故答案为：.15. 设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据已知条件得恒成立，运用分离参数求最值即可.【详解】解：定义域为，在上是单调减函数，恒成立；，当且仅当时取等号.，即：k的取值范围是故答案为：.16. 已知函数的两个零点为，函数的两个零点为，则_【答案】2【解析】【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得.【详解】因为函数的两个零点为，则，即，又，则，即，所以.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构函数可得，可得，结合条件即得.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出

19、文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前项和.【答案】(1)； (2).【解析】【分析】(1)根据等比数列基本量的运算可得，即可得数列的通项公式；(2)由题可得，然后利用错位相减法求解即可.【小问1详解】设数列的公比为，则，解得，所以，即通项公式为；【小问2详解】由题可知，则，两式相减得：，.18. 设函数.(1)若在点处切线为，求a，b的值；(2)求的单调区间. 【答案】(1)，； (2)答案见解析.【解析】【分析】(1)已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处导数值为切线斜率.(2)第一步定义域

20、，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.【小问1详解】的定义域为，因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.即a，b的值为：，.【小问2详解】由(1)知：.当时，在上恒成立，所以在单调递减；当时，令，解得：，列表得：x-0+单调递减极小值单调递增所以，时，的递减区间为，单增区间为.综上所述：当时，在单调递减；当时，的递减区间为，单增区间为.【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.19. 为贯彻落实健康中国行动(20192030年)关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见等文件精神

21、，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.(1)求这200名学生体重的平均数和方差(同一组数据用该区间的中点值作代表).(2)由频率分布直方图可知，该校学生的体重服从正态分布，其中近似为平均数，近似为方差.利用该正态分布，求；若从该校随机抽取50名学生，记表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利用的结果，求.参考数据：.若，则，.【答案】(1)， (2)；【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图平均数的求法即可求出，利用方差公式计算即可求解；(2

22、)由(1)可知，结合题意给的参照数据即可求出，进而得，利用二项分布求数学期望公式计算即可求解.【小问1详解】由题意得，；.所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；【小问2详解】由(1)可知，则；由可知1名学生的体重位于的概率为0.6826.则，所以.20. 已知正项数列的前n项和为，且 ， (1)求；(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.【答案】(1)， (2)186【解析】【分析】(1)根据的关系，即可求解，(2)根据的形成规律，分组即可求解.【小问1详解】因为，当时， 因为，所以，故当时，适合上式，所以，.【小问2详解】(方法1)因，所以当时，所以所

23、以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，设，则，因为，所以. 所以的前100项是由14个1与86个2组成所以. (方法2)设，则，因为，所以. 根据数列的定义，知.21. 甲、乙两人进行下象棋比赛(没有平局)采用“五局三胜”制已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，(1)设甲以3：1获胜的概率为，求的最大值；(2)记(1)中，取得最大值时的值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局数，求的分布列和数学期望【答案】(1) (2)分布列见解析，【解析】【分析】(1)根据题意列出的解析式，通过求导即可得到的最大值.(2)由(1)得到的值，再根据的可能取值为3,4,5，分别求出其所对应概率即可得出分

24、布列，再由公式求得期望即可.【小问1详解】甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜，所以，令，得；令，得；令，得所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为【小问2详解】由(1)知，由题意，知X的所有可能取值为3、4、5，相应的概率为，所以X的分布列为X345PX的数学期望22. 已知函数.(1)当时，证明：(2)若函数在上单调递减，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)利用导数求函数的最大值，由此证明，再证明；(2)由条件可得在上恒成立，化简可得在上恒成立，利用导数求的最小值可得的取值范围.【小问1详解】当时，要证，即证，设，令，解得，当时，当时，所以在上递增，在上递减，则，所以，即成立，所以成立.【小问2详解】由已知可得，所以因为对任意的在上单调递减，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则，所以在上为增函数，又因为，所以，使得，即，当时，可得，所以在上单调递减；当时，可得，所以在上单调递增，所以，由，可得，又由，所以在上单调递增，所以，可得，所以，即，所以，即得.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理