2024高考数学专项复习专题03 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练) (含解析）.docx

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1、2024高考数学专项复习专题03 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）2题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型3题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型4三、专项训练5一、必备秘籍一、含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的

2、正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）借助导函数有效部分的图象辅助解题：令，确定其零点，并在轴上标出观察的单调性，根据画出草图2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有效部分的图象辅助解题：对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点观察的开口方向，根据画出草图3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型对，求分类讨论对于，利用求根公式求的两根，判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负画出草图二、含参问题讨论单调性的原则1、最高项系数含参，从0开始讨论2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论3、考虑

3、根是否在定义域内二、典型题型题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 1（2024全国高三专题练习）已知函数，讨论的单调性. 2（2023全国高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.3（2023上四川成都高三成都外国语学校校考开学考试）已知函数，(1)当时，求的最值；(2)求的单调区间4（2022上湖南邵阳高二统考期末）设函数(1)若曲线在点处的切线方程为，求；(2)求函数的单调区间题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型1（2024全国高三专题练习）已知函数，讨论的单调区间. 2（2023全国高三专题练习）已知函数，讨论的单调性3（2023全国高三专题练习）讨论的

4、单调性4（2023全国模拟预测）已知.(1)讨论函数的单调性.5（2023全国模拟预测）已知函数(1)讨论的单调性；题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型1（2023上陕西西安高三校联考阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；2（2023下黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考期末）已知函数，其中.(1)令，讨论的单调性；3（2023上安徽淮南高三校考阶段练习）已知函数，其中(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；3（2023上广东高三校联考阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；三、专项训练1（2024上四川绵阳高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，其中a是正数

5、(1)讨论的单调性；2（2023上河北张家口高三校联考阶段练习）已知，其中是自然对数的底数.(1)若在处取得极值，求的值；(2)讨论的单调区间；3（2023上江苏连云港高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间.4（2023上江苏扬州高三仪征市第二中学校考期中）已知函数，其中(1)若是函数的极值点，求a的值；(2)若，讨论函数的单调性5（2023上黑龙江牡丹江高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)讨论的单调性.6（2023上湖北高三校联考阶

6、段练习）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调区间；7（2023上河南高三西平县高级中学校联考阶段练习）设函数，(1)讨论的单调性；8（2023上福建福州高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数，为的导函数(1)当时，讨论函数的单调性9（2023上山西吕梁高三统考阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间；10（2023下河北石家庄高三校联考期中）已知函数(1)求函数的单调区间；专题03 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）2题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分

7、解型4题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型7三、专项训练10一、必备秘籍一、含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）借助导函数有效部分的图象辅助解题：令，确定其零点，并在轴上标出观察的单调性，根据画出草图2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有

8、效部分的图象辅助解题：对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点观察的开口方向，根据画出草图3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型对，求分类讨论对于，利用求根公式求的两根，判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负画出草图二、含参问题讨论单调性的原则1、最高项系数含参，从0开始讨论2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论3、考虑根是否在定义域内二、典型题型题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 1（2024全国高三专题练习）已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析.【详解】由函数，可得，设，可得，当时，恒成立，所以在单调递增；当时，令，解得，此时单调递

9、增，令，解得，此时单调递减，综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增.2（2023全国高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.【答案】答案见解析；【详解】由题可知的定义域为，当时，函数在上单调递减；当时，令得，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.3（2023上四川成都高三成都外国语学校校考开学考试）已知函数，(1)当时，求的最值；(2)求的单调区间【答案】(1)，无最大值(2)答案见解析【详解】（1）当时定义域为，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，即，无最大值（2）定义

10、域为，且，当时恒成立，所以在上单调递减，当时，令解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上可得：当时在上单调递堿；当时在上单调递减，在上单调递增4（2022上湖南邵阳高二统考期末）设函数(1)若曲线在点处的切线方程为，求；(2)求函数的单调区间【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）由于切点在切线上，所以，函数通过点又，根据导数几何意义，；（2）由可知当时，则；当时，则；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 当时，单调递增区间为，单调递减区间为.题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型1（2024全国高三专题练习）已知函数，讨论的单调区间. 【答案】答案见

11、解析【详解】的定义域为，若，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.若，则恒成立，在上单调递增.综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间.2（2023全国高三专题练习）已知函数，讨论的单调性【答案】答案见解析【详解】由题设且，当时在上递减；当时，令，当时在区间上递减；当时在上递增所以当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为.3（2023全国高三专题练习）讨论的单调性【答案】答案见解析【详解】函数的定义域为：，（1）当时，若，则；若，则；在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，若或，则；若，则，在上单调递减，在上单调递增；（3）当

12、时，若或，则；若，则，在上单调递增，在上单调递减；（4）当时，在上单调递增；（5）当时，若或，则；若，则，在上单调递增，在上单调递减综上所述：（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，在上单调递增，在上单调递减；（4）当时，在上单调递增；（5）当时，在上单调递增，在上单调递减4（2023全国模拟预测）已知.(1)讨论函数的单调性.【答案】(1)答案见解析(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，且当时，因为，所以，所以.所以当时，单调递减；当时，单调递增.当时，由，解得；由0，解得或.所以在上单调递减，在，上单调递增.当时

13、，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增.当时，由，解得；由，解得或.所以在上单调递减，在，上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.5（2023全国模拟预测）已知函数(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）解：因为，所以，设，则，设，可得，可得在上单调递增，且，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，若，则，所以，在上单调递增；若，则当时，单调递减，当时，单调递增综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式

14、分解型1（2023上陕西西安高三校联考阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)见解析；【详解】（1）因为函数，所以定义域为：.，当时，则在区间上单调递增；当时，即，所以方程有两个实数根，.当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；综上所述：当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；2（2023下黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考期末）已知函数，其中.(1)令，讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）,定义域为,方程的判别式，当时，恒成立，所以，在单调递增；

15、当时，方程有两个不等实根，当或时，；当时，在单调递增；在单调递减.3（2023上安徽淮南高三校考阶段练习）已知函数，其中(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【答案】(1).(2)详解见解析.【详解】（1）当时，定义域为，则，所以切线的斜率为，又，所以该切线方程为：，即；（2）函数的定义域为，令，则.当或即时，恒成立，所以函数在上单调递增；当即时，令或，令，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.3（2023上广东高三校联考阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）令，

16、当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，一元二次方程的判别式为，当时，方程有一个正根，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，方程有两个正根，分别为，当，或时，当时，所以在，上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立，所以在上单调递减；三、专项训练1（2024上四川绵阳高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，其中a是正数(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）因为，所以当时，在上严格递增；当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；2（2023上河北张家口高三校联考阶段练习

17、）已知，其中是自然对数的底数.(1)若在处取得极值，求的值；(2)讨论的单调区间；【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）由题意可知.由已知得，解得，此时.易知在区间上，；在区间上，即函数在处取得极小值，因此.（2）由可知，所以可得.若，即时，在上单调递减，在上单调递增；若，即，则在上单调递减；.综上所述，当时，的减区间是，当时，的减区间是，增区间是3（2023上江苏连云港高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，函数在点处的切线方程

18、为，即.（2）当时，函数在上单调递增；当时，由得，时，单调递减；时，单调递增.综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.4（2023上江苏扬州高三仪征市第二中学校考期中）已知函数，其中(1)若是函数的极值点，求a的值；(2)若，讨论函数的单调性【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1） ，因为是函数的极值点，所以，解得，当时，若，则，若，则或.即函数在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点.故（2），当时，令，解得或，当，即时， 当时，当或时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，当时，当或时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当

19、，即时，所以在上单调递减.综上，当时，在上递减，在上递增，在上递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减5（2023上黑龙江牡丹江高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，此时，定义域为， 所以易知，所以切线方程为：，整理得.（2）由题意得，当时，则在上单调递增；当时，当时，则在上单调递增，当时，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.6（2023上湖北高三校联考阶段练习）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调区间；【答案】

20、(1)答案见解析【详解】（1）函数定义域为，求导得令，得.当时，当或时，当时，则在上单调递增，在上单调递减；当时，所以在上单调递增；当时，当或时，当时，则在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.7（2023上河南高三西平县高级中学校联考阶段练习）设函数，(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见详解【详解】（1）依题意可得的定义域为，由，则，当时，则在上单调递增；当时，若，此时单调递减；若，此时单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增8（2023上福建福州高三福建省福州第一中学校考期中）

21、已知函数，为的导函数(1)当时，讨论函数的单调性【答案】(1)见解析【详解】（1）当时，当时，在区间上恒大于0，此时函数的单调递增区间是；当时，设，其中，当，函数单调递增，当，函数单调递减，当时，当时，此时恒成立，函数的单调递增区间是，当时，当且，所以在区间上恒大于0，即函数的单调递增区间是，综上可知，时，函数的单调递增区间是，当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递减区间是；9（2023上山西吕梁高三统考阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）因为，所以当时，恒成立，在单调递增，时，由韦达定理可得， 所以有一正一负两个实数根，解得或（舍去）所以在单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在单调递增，时在 单调递增，在 单调递减10（2023下河北石家庄高三校联考期中）已知函数(1)求函数的单调区间；【答案】(1)答案见解析【详解】（1），令，则当，即时，即恒成立，则在上单调递增；当时，、在上均单调递增，所以在上单调递增；当时，由得，则在和上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间是，无递减区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是