2024高考数学专项一题打天下之椭圆与方程(39问).pdf

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1、一题打天下之椭圆(共39问)一题打天下之椭圆(共39问)题干题干：已知如图，长为2 3，宽为12的矩形ABCD，以A、B 为焦点的椭圆M：x2a2+y2b2=1恰好过CD两点设圆(x+3)2+y2=16的圆心为S，直线l过点T(3,0)，且与x轴不重合，直线 l交圆 S 于CD 两点，过点 T 作SC 的平行线交SD于M,判断点M 的轨迹是否椭圆考点1：求椭圆的标准方程（1）在两个条件中任选一个条件，求椭圆M 的标准方程(涉及定义法，点和焦点求椭圆)（2）过点(2,3)且与椭圆M 有相同的离心率的椭圆的标准方程(涉及离心率与点求轨迹)考点2：点与椭圆的位置关系(1)若点P(1,m)在椭圆M 的

2、内部，求m的取值范围(2)若点P 是椭圆M 在第一象限内上的点，F1,F2分别是椭圆M 的左右焦点，若PF1 PF2=-54，求点P的坐标；(3)若P 为椭圆M 上的点，F1,F2分别是椭圆M 的左右焦点，若F1PF2=60，求F1PF2的周长与面积12024高考数学专项一题打天下之椭圆与方程(39问)PDF版(4)记A1,A2分别是椭圆M 左、右顶点，若P 是椭圆M 上的动点，判断kA1PkA2P是否为定值，并说明理由。(5)若点 P(x0,y0)为椭圆 M 上异于顶点的动点，求证：直线x0 x4+y0y1=1 与椭圆只有一个公共点，并写出以(1,32)为切点的椭圆的切线方程(6)不与坐标轴

3、平行的直线l与椭圆相切点P，求直线OP与直线l的斜率之积考点3：直线被椭圆截得的弦长(1)求直线y=x+1被椭圆M 截得的弦长，(2)若直线y=x+m被椭圆M 截得的弦长等于短轴长，求m的值(3)若一直线被椭圆M 截得的弦恰以点(1,12)为中点，求该直线的直线方程2(4)求直线y=x+1被椭圆M 截得的弦的中点坐标(多种方法)，(5)一直线与椭圆M 交于PQ两点，若PQ的中点为M,求证：kPQkOM为定值（涉及椭圆中的垂径定理）考点4：椭圆中的最值问题(1)若点P是椭圆M 上的点，F1,F2分别是椭圆M 的左右焦点，求 PF1的最值(2)若点P是椭圆M 上的点，F1,F2分别是椭圆M 的左右

4、焦点，求OP PF2 的最值(3)若点P 为椭圆上的动点，求点P 到直线x-y-4=0距离的最小值，并求此时的P 点的坐标(4)若P(x,y)是椭圆上的动点，求x+y的最值(5)若P(x,y)是椭圆上的动点，求y-2x的最值3考点5：与椭圆有关的轨迹方程(1)若点 P 是椭圆 M 上的点，F1,F2分别是椭圆 M 的左右焦点，延长 F1P 到 Q 使得 PQ=PF2，求动点Q的轨迹方程(2)若O为坐标原点，P 为椭圆M 上的任一点，点S 满足OS=2OP，当点P 在椭圆M 上运动时，求S点的轨迹方程(3)P 为椭圆 M 上的任一点，PH x 轴于 H 点，点 Q 满足 PQ=PH，当 P 在椭

5、圆上运动时，点Q的轨迹恰好为圆时，求的值考点6：设而不求法处理直线与椭圆的静态，动中有静，动态问题(1)若直线y=kx+2与椭圆M 相交于P、Q两点，则是否存在k,使得以PQ为直径的圆恰好经过原点，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由(2)若一条直线l与椭圆M 交于PQ两点，若以PQ为直径的圆过点A2(2，0)，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标。(涉及斜率之积与定点)4(3)设直线l不经过T(0,1)且与椭圆相交于P、Q两点，若直线TP 与TQ直线的斜率的和为-1，证明：直线l过定点(涉及斜率之和与定点)(4)过左焦点 F1的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，交 y 轴的正半轴于点

6、M设 MP=1PF，MQ=2QF，求证：1+2为定值(涉及定值)(5)过点T(0，1)作两条互相垂直的直线分别交椭圆于P，Q两点求证：直线PQ恒过定点(0,-35)(涉及定点)(6)若直线l：y=kx+2与椭圆相交于P、Q两点，求SPOQ的最值(涉及面积)5(7)已知M 是直线x=-1上的动点且直线l与椭圆相交于PQ两点恰以M 为中点，过M点作直线l的垂线,求证垂线恒过定点(涉及定点)(8)过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆的交于 PQ 两点，S 是椭圆的右顶点，直线 SP,SQ分别与y轴交于点M,N，问以MN 为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标，若不

7、恒过x轴上的定点，请说明理由(涉及定点)(9)椭圆的右顶点为P，上顶点为Q已知四边形PQMN 内接于椭圆，PQMN记直线PM，QN 的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？证明你的结论(涉及定值与斜率之积)(10)直线 l：y=kx+m(k，m R)与椭圆交于 P，Q 两点，且 kOP kOQ=-14求证：OPQ的面积为定值(涉及定值)6(11)若直线l：y=kx+2与椭圆相交于P、Q两点，若原点在以PQ为直径的圆的内部，求k的取值范围(12)若圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为T，求|OT|的最大值(13)记B1,B2分别是椭圆M 与y轴相交的下上顶

8、点，若一直线l交椭圆M 于PQ两点，问是否存在直线 l使得B 为PQB2的垂心。若存在请求出直线 l的方程，若不存在请说明理由(14)过椭圆的下顶点且互相垂直的两直线l1，l2与直线y=x分别相交于E，F 两点，已知OE=OF，求直线l1的斜率7(15)过左焦点 F1且互相垂直的两条直线分别交椭圆于 P、Q、M、N 四点，若四边形PMQN 的面积为43，求直线PQ的方程；(16)若AB 是椭圆M 的左右顶点，过点(1,0)的动直线l交椭圆M 与CD 两点，试探究直线 AC 与 BD 的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由(涉及非对称问题 答案 直线x=4)(17)过

9、椭圆 M 右焦点 F 作与坐标轴都不垂直的直线 l交椭圆 PQ 两点，在 x 轴上是否存在点S，使得SF 恰为PSQ的平分线？(涉及找一点促定值和角平分线问题)(18)过椭圆 M 右焦点 F 作与坐标轴都不垂直的直线 l交椭圆 PQ 两点，在 x 轴上是否存在点S，使得SPSQ 为定值(涉及找一点促定值)8一题打天下之圆的方程及性质一题打天下之圆的方程及性质(共共3535问问)题干题干：在平面直角坐标xoy中曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C 上考点1：求圆的方程(1)求圆C 的方程(多种方法)考点2：直线与圆相切(1)若直线y=kx-4与圆C 相切，求k的值(2)求过点P(-2,1

10、)的切线方程，并求其切线长(3)若过点P(-1,-2)作圆C 的切线，切点A、B，求直线AB 方程和APB 的正切值(多种方法)(4)已知 N 点是直线 x+y+4=0 上的一动点，若过 N 点作圆 C 的切线，使得切线长最短，求此时的切线长(5)若P(x0,y0)是圆C 上的一点，求证(x0-3)(x-3)+(y0-1)(y-1)=91是圆C 的一条切线考点3：直线与圆相交(1)若直线y=kx-4与圆C 的下半圆有两个不同的交点，求k的取值范围(2)求直线x-y+1=0被圆C 截得的弦长(3)若直线kx-y+2-k=0被圆C 截得的弦为3 2，求k的值(4)求证：对任意xR，直线kx-y+2

11、-k=0与圆C 总有两个不同的交点(5)若直线kx-y+2-k=0被圆C 截得的弦恰以Q(1，2)为中点，求k的值2(6)若直线kx-y+2-k=0被圆C 截得的弦长最短，求k的值(7)若圆C 上恰有三个点到直线x-y+a=0的距离等于32，求a的值(8)若圆C 与直线x-y+a=0交于A、B 两点，且OAOB，求a的值(9)若直线kx-y+2-k=0与圆C 有两个不同的交点A、B，且ACB=90，求k的值(锐角，钝角呢)考点4：与圆有关的轨迹问题(1)若点M 是圆C 上的一动点，求OM 的中点T 的轨迹方程(2)若点M 是圆C 上的一动点，若动点T 满足MT=2OM，求动点T 的轨迹方程3(

12、3)若直线kx-y+2-k=0与圆C 交于A、B 两点，求A,B 的中点的轨迹方程(4)从圆C 外一点P(x,y)向圆引一条切线，切点为M，且 MP=OP，求P的轨迹方程(5)设点A(3，0)，在圆C 上是否存在点M 使 MA=2 MO，若有请求出M 点的坐标，若没有请说明理由。考点5：圆与圆的位置关系(1)求圆C 与圆x2+y2=4的公共弦所在的直线方程，及公共弦长(2)当圆(x+1)2+(y+2)2=m2与圆C 有2条公切线，求m的取值范围考点6：与圆有关的最值问题(1)若M 是圆C 上的动点，求点M 到原点距离的最值4(2)若M 是圆C 上的动点，求点M 到直线x+y+4=0的距离的最值

13、(3)已知点A(-4,0),B(0，-4)，点M 是圆C 上的动点，求ABC 面积的最大值(4)若M(x,y)是圆C 上的一动点，求2x-y的取值范围(多法)(5)若M(x,y)是圆C 上的一动点，求OC OM 取值范围(6)若M(x,y)是圆C 上的一动点，求y+2x+1的取值范围(7)若点M(x,y)是圆C 上的一点，求x2+2x+y2+4y的最值(8)已知点A(-4,0),B(0，-4)，点M 是圆C 上的动点，求 MA2+MB2的最大值5(9)若点M(x,y)是圆C 上的一点，求2x-(y-1)2的最值(10)若点M 为圆C 上的动点，且点N 的坐标为(t,-t-4),求线段 MN的最

14、小值(11)若点P 是直线x+y+4=0上的动点，PA,PB 是圆C 的两条切线，切点 A、B，求四边形PACB 的最小值(12)若直线kx-y+2-k=0与圆C 相交于A、B 两点，求三角形 ACB 的面积的最大值(换元或不等式)(13)若 M、N、T 分别是圆 C，(x-2)2+(y+3)2=1，y 轴上的动点，求 TM+TN的最小值6考点：一题打天下之直线的方程(20问)题干：题干：已知直线l：kx-y+1+2k=0(kR)，P(3,-1),Q(-3，3)考点1：直线的定(交)点问题（1）证明：直线l过定点T；答案(-2，1)(2)若直线l与直线x-y+1=0,2x+3y-8=0三线共点

15、，求k的值考点2：两直线的位置关系(1)若直线l与直线x+2y-3=0垂直，求k的值答案2(2)若直线l与直线x+2y-3=0平行，求k的值答案12(3)若 直 线 l 与 直 线(k+2)x ky+10=0 平 行，求 k 的 值答案k=-1(或k=2舍去)考点3：斜率的范围问题(1)直线不过第四象限，求k的范围(2)若P、Q两点分布在直线l的两侧，求k的取值范围(两种方法)(,2)(25,+)(3)若直线 l 与线段 PQ 恒有公共点，求 k 的取值范围(两种方法)(,2 25,+)考点4：距离问题(1)若P、Q两点到直线l的距离相等，求此时直线l的直线方程(2)当k为何值时，原点到直线l

16、的距离最大(3)当k=1时，求直线l上的动点M 到原点距离的最小值，并求此时M 点的坐标考点5：对称问题(1)当k为1时，求直线l关于点P的对称直线l,并求直线l与l间的距离(2)当k为1时，求直线m：3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程；(3)若直线l被直线x-y+6=0和x轴截得的线段恰好被定点T 平分，求k的值(4)当k=-1时，求直线l上的动点M 到P，Q两点的距离之和的最小值(5)一条光线经定点T 射入，先后被x轴、x+y=0反射回T 点，求光线在这个过程中走过的路程考点6：截距问题(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程(2)若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求此时直线l的方程(3)直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l的方程(4)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AOB 的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.