2024高考数学专项八个视角处理双变量导数压轴题含答案.pdf

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1、八个视角处理双变量导数压轴题八个视角处理双变量导数压轴题在高中数学中，导数算是难度天梯里排 No.1的存在，在高考出题人的心中，导数算是一个超赞的存在，天生的守门员。但其实，现在同学们接触的只是导数世界的“皮毛”，真正的精髓还是要到大学中才会学习。导数大题是近年来高考的重点和热点问题，也是高考必考的板块之一，不管是简答题还是选择、填空都有涉及，也是拉分项。我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分地夸大。像导数、函数这样的大板块，同学们必须会解题。遇到一个问题应该认真分析题型与问题条件，反复思考结论，每步做到“言必有据，步步合理”不用题海战术，每个板块都能攻克了！今天给大家整理总结了高考导数大

2、题的常见类型及求解策略方法，大家通做一遍，复习提分效果更佳！热热 点点 题题 型型1 构造偏导数1 构造偏导数2 整体规划统一变量2 整体规划统一变量3 比(差)值换元3 比(差)值换元4 同构性双变量4 同构性双变量5 切线估计与剪刀差模型5 切线估计与剪刀差模型6 不等式放缩6 不等式放缩7 主元法7 主元法8 多项式拟合8 多项式拟合经典例题经典例题1.构造偏函数1.构造偏函数注：1.1.构造偏差函数的基本应用.函数 f x的极值点为x0；.函数 f x1=f x2，然后证明：x1+x22x0或x1+x20(1)讨论 f x的极值点个数；(2)若 f x有两个极值点x1,x2，且x1x2

3、，当eae22时，证明：f x1+2f x23e22.2.整体划归，统一变量法整体划归，统一变量法例例2.2.(2023届泉州一诊)已知函数 f x=exx2-a+2x+a+3(1)讨论 f x的单调性；(2)若 f x在 0,2有两个极值点x1,x2，求证：f x1f x24e2例例3.3.(2023届温州二模)已知函数 f x=a2x2-x-xlnx aR(1)若a=2，求方程 f x=0的解；(2)若 f x有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为x1,x2，求a的取值范围并证明 f x1+f x212e3.3.比比(差差)值代换消元值代换消元例例4.4.(2023届武汉二月调考)已知关

4、于x的方程ax-lnx=0有两个不相等的正实根x1,x2，且x11，f(x)0，求实数a的取值范围；(2)设x1,x2是函数 f(x)的两个极值点，证明：f(x1)-f(x2)1-4a2a4.4.同构型双变量同构型双变量例例6.6.已知函数 f(x)=axex和g(x)=lnxax有相同的最大值.(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.5.5.切线估计与切线估计与“剪刀差模型剪刀差模型”注注4.4.“剪刀模型剪刀模型”基本原理基本原理1.函数凸凹性：若函数 f(x)在区间I上有定义，若 f(x)

5、0，则称 f(x)为区间I上的凸函数.反之，称 f(x)为区间I上的凹函数.2.切线不等式：f(x)在I上为凸函数，x0I，有 f(x)f(x0)(xx0)+f(x0).反之，若 f(x)为区间I上的凹函数，则x0I，有 f(x)f(x0)(xx0)+f(x0).注：切线不等式是剪刀模型的理论依据.3.剪刀模型已知函数 f(x)为定义域上的凸函数，且图象与 y=m交于A,B两点，其横坐标为 x1,x2，这样如下图所示，我们可以利用凸函数的切线与y=m的交点将x1,x2的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理.如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出零点的一个上下界，而切割

6、线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计.例例7.7.(2023届皖南八校联考)已知函数 f x=3x-ex+1，其中e=2.71828是自然对数的底数.(1)设曲线y=f x与x轴正半轴相交于点P x0,0，曲线在点P处的切线为l，求证：曲线y=f x上的点都不在直线l的上方；(2)若关于x的方程 f x=m(m为正实数)有两个不等实根x1,x2x1x2，求证：x2-x12-34m.6.6.不等式放缩不等式放缩例例8.8.(2023届湖北七市州联考T22)已知函数 f x=alnx-x-1x+1(1)当a=1时，求函数 f x的单调区间；(2)若g x=a x2-1

7、lnx-x-12a0有3个零点x1，x2，x3，其中x1x2x3()求实数a的取值范围；()求证：3a-1x1+x3+22注5.一些重要的不等式放缩2 x-1x+13 x2-1x2+4x+1lnx，x 1,+lnx3 x2-1x2+4x+12 x-1x+1 f(s)+f(t)8.8.多项式拟合多项式拟合例例10.10.(2021新高考1卷)已知函数 f x=x 1-lnx.(1)讨论 f x的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：21a+1be.针对性训练针对性训练1.1.已知函数 f x=aex-x-3有两个零点(1)求实数a的取值范围(2)函数g x

8、=f x+x-ln x+1，证明：函数g x有唯一的极小值点2.2.已知 f(x)=ex-a2x2-x.(1)若 f x在x=0处取得极小值，求实数a的取值范围；(2)若 f x有两个不同的极值点x1,x2(x1x2)，求证：fx1+x220(fx为 f x的二阶导数).3.3.已知函数 f x=2ae2xx，a0.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)若lnx-xf xlna恒成立，求实数a的取值范围.4.4.已知函数 f x=ex+x,g x=ax2+2x+1.(1)当a=12时，讨论函数F x=f x-g x的单调性；(2)当a0时，求曲线y=f x与y=g x的公切线方程.5.5.已知

9、 f x=a2x2-a+2x+2lnx.(1)讨论 f x的单调性；(2)确定方程 f x=a2x2的实根个数.6.6.已知函数 f x=a-3lnx-3ax-1xaR，ln31.1.(1)当a f x1-f x2+3ln4成立，求实数m的取值范围.7.7.已知函数 f x=lnx-2ax.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 f(x)0恒成立，求a的取值范围.8.8.已知m0，e是自然对数的底数，函数 f x=ex+m-mln mx-m(1)若m=2，求函数F x=ex+x22-4x+2-f x的极值；(2)是否存在实数m，x1，都有 f x0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明

10、理由9.9.已知函数 f x=-lnx,g x=e-x-ex.(1)若x 0,1,g x f a成立，求实数a的取值范围；(2)证明：h x=f x+cosx2e有且只有一个零点x0，且1-e2eg cosx02e1-ee.10.10.已知函数 f x=extanx-1-1，f x的导函数为 fx.记函数 f x在区间 n-32,n-2内的零点为xn，nN N.(1)求函数 f x的单调区间；(2)证明：xn+1-xn.11.11.已知函数 f x=mlnx+x+m+1x(1)求函数 f x的单调区间；(2)当m=1时，证明：x2f x2x0或x1+x20(1)讨论 f x的极值点个数；(2)

11、若 f x有两个极值点x1,x2，且x1x2，当eae22时，证明：f x1+2f x2e时，函数 f x有两个极值点(2)由(1)中知 f(x)=ex-ax，则x1,x2是方程ex-ax=0的两根，不妨令F x=exx，则Fx=exx-1x2，令Fx=0解得x=1，所以F x在 0,1单调递减，在 1,+单调递增，大致图像如图所示，由图像可知当a e,e22时，0 x11，1x22(*)由ex1=ax1ex2=ax2，两边取对数得x1=lna+lnx1x2=lna+lnx2，作差得x1-x2=lnx1-lnx2，(*)等价于证明lnx1-lnx2x1-x2=12x1+x2lnx1x22 x1

12、-x2x1+x2=2x1x2-1x1x2+1，令x1x2=t(t(0,1),(t)=lnt-2(t-1)t+1,t(0,1)，(t)=1t-4(t+1)2=(t+1)2-4tt(t+1)2=(t-1)2t(t+1)20，故 t在 0,1上单调递增，从而(t)2，所以 f x1+2f x2=ex1-ax212+2ex2-ax22=ex1-x1ex12+2ex2-x2ex2=1-x12ex1+2-x2ex2，再证明 2-x2ex2x1e2-x1，令S(x)=(2-x)ex,x(1,2),S(x)=(1-x)ex0，故S(x)在 1,2上单调递减，则S x2S 2-x1，所以 f x1+2f x20

13、，则M(x)在 0,1上单调递增，故M xM(1)=e2+e=3e2，即证得 f x1+2f x23e22.2.整体划归，统一变量法整体划归，统一变量法例例2.2.(2023届泉州一诊)已知函数 f x=exx2-a+2x+a+3(1)讨论 f x的单调性；(2)若 f x在 0,2有两个极值点x1,x2，求证：f x1f x24e2解析：(1)综上所述，当-2a2时，f x在R上单调递增；当a2时，f x在a-a2-42,a+a2-42上单调递减，f x在-,a-a2-42和a+a2-42,+上单调递增.(2)f x在 0,2上由两个极值点x1,x2，a2，且x1,x2为方程x2-ax+1=

14、0的两个根，即x1+x2=a，x1x2=1，x1,x2 0,2，x1+x2=a0，即a2，f x1f x2=ex1x12-a+2x1+a+3ex2x22-a+2x2+a+3=ex1+x2x12-ax1+1-2x1+a+2x22-ax2+1-2x2+a+2=ex1+x2-2x1+a+2-2x2+a+2=ex1+x24x1x2-2 a+2x1+x2+a+22将x1+x2=a，x1x2=1代入上式，可得：=ea4-2a a+2+a+22=ea4-2a2-4a+a2+4a+4=ea-a2+8，由题意，需证 f x1f x2=ea8-a22，求导得ga=ea8-a2-2a=-eaa-2a+4，当a2时，

15、ga0，则g a在 2,+上单调递减，即g ag 2=4e2，故 f x1f x20)，设 f(x)的两个极值点为x1,x2，下面我们来计算 f(x1)f(x2)的表达式.f(x)=ax2+(2a+b)x+b+cex，则x1,x2是方程ax2+(2a+b)x+b+c=0的两个根(不妨设x1x2).由ax21+(2a+b)x1+b+c=0，得ax21+bx1+c=2ax1b，同理ax22+bx2+c=2ax2b，由求根公式得：x1,2=(2a+b)2a，x2x1=a，则2ax1b=2a，2ax2b=2a+.于是f(x1)f(x2)=(ax21+bx1+c)ex1(ax22+bx2+c)ex2=(

16、2ax1b)ex1(2ax2b)ex2=(2a)(2a+)ex1+x2=(2a)e 2+ba本题中，f(x)=ex(x2 ax+1)f(x1)f(x2)=ea(a2+8)，最后考虑两个极值点的范围，即 a 2,52，可得证 f(x1)f(x2)=ea(a2+8)4e2.例例3.3.(2023届温州二模)已知函数 f x=a2x2-x-xlnx aR(1)若a=2，求方程 f x=0的解；(2)若 f x有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为x1,x2，求a的取值范围并证明 f x1+f x212e解析：(1)方程 f x=0的解为x=1.(2)令 f x=0，得a2=1+lnxx，设h x=

17、1+lnxx,hx=-lnxx2，故h x在 0,1单调递增，在1,+单调递减，h 1=1，当x 0,1时h x(-,1)，当x 1,+时h x(0,1)，若 f x有两个零点，则a2 0,1，故a 0,2，fx=ax-2-lnx，令 fx=0，得a=2+lnxx，设H x=2+lnxx，则Hx=-1-lnxx2，故H x在 0,1e单调递增，在1e,+单调递减，H1e=e，当x 0,1e时H x(-,e)，当x1e,+时H x(0,e)，若 f x有两个极值点，则a(0,e)，综上，a 0,2.不妨令x1x2，因为a 0,2且H 1=2，由y=H x与y=a图象得0 x11e1x2，由x1,

18、x2为 fx=0的两根得ax1-2-lnx1=0,ax2-2-lnx2=0，两式分别乘x1,x2并整理得a2x12-x1=12x1lnx1,a2x22-x2=12x2lnx2，所以a2(x12+x22)-(x1+x2)=12x1lnx1+x2lnx2，要证 f x1+f x212e，即证a2(x12+x22)-(x1+x2)-(x1lnx1+x2lnx2)12e，即证：-12x1lnx1+x2lnx21，所以x2lnx20，只需证-12x1lnx1-1e，0 x11e，令 x=xlnx，0 x1e，当0 x1e时x=1+lnx1e=-1e，故x1lnx1-1e，得证.3.3.比比(差差)值代换

19、消元值代换消元例例4.4.(2023届武汉二月调考)已知关于x的方程ax-lnx=0有两个不相等的正实根x1,x2，且x1x2.(1)求实数a的取值范围；(2)设k为常数，当a变化时，若xk1x2有最小值ee，求常数k的值.解析：(2)因为F 1=0，由(1)得1x1e1，则t=lnt+lnx1lnx1，即lnx1=lntt-1,lnx2=tlntt-1，由xk1x2有最小值ee，即klnx1+lnx2=k+tlntt-1有最小值e.设g(t)=(k+t)lntt1(t1)，那么g(t)=(k+1)lnt+tkt+k1(t1)2.记G t=-k+1lnt+t-kt+k-1,Gt=-k+1t+1

20、+kt2=t-1t-kt2，由于t1，若k1，则Gt0，可得G t单调递增，此时G tG 1=0，即gt0,g t单调递增，此时g t在(1,+)没有最小值，不符合题意.若k1，t 1,k时，Gt0，则G t在 k,+单调递增.又G 1=0，G kG 1=0，且t趋向于+时G t趋向+，故t0(k,+)且唯一，使得G t0=0.此时1tt0时，G t0，即gtt0时，G t0，即g t0，g t在 t0,+上单调递增.所以k1时，g t有最小值g t0，而g t0=0，即-k+1lnt0+t0-kt0+k-1=0，整理得k=lmt0+t01lnt0+1t01，故g(t0)=(lnt0)2lnt

21、0+1t01.由题意知g t0=e.设h x=x2x+e-x-1x0,h x=xx+2e-x+x-2x+e-x-12设H x=x+2e-x+x-2,H x=-x+1e-x+1.设u x=H x,u x=xe-x0，故H x递增，H xH 0=0.此时H x递增，有H xH 0=0，令y=x+e-x-1且x0，则y=1-e-x0，即y在(0,+)上递增，故yy|x=0=0，此时hx0，故h x在(0,+)递增，而h 1=e知，h x=e的唯一解是x=1.故g t0=e的唯一解是lnt0=1，即t0=e.综上所述，k=e2-2e.例例5.5.(2023届南通二模)已知函数 f(x)=ax-lnx-

22、ax(1)若x1，f(x)0，求实数a的取值范围；(2)设x1,x2是函数 f(x)的两个极值点，证明：f(x1)-f(x2)1-4a2a解析：(1)实数a的取值范围是12,+.(2)由(1)知，当0a12时，f(x)在 0,x1上单调递增，在 x1,x2上单调递减，在 x2,+上单调递增，所以x1是 f(x)的极大值点，x2是 f(x)的极小值点.由(1)知，x1x2=1，x1+x2=1a，则x2-x1=(x1+x2)2-4x1x2=1-4a2a.综上，要证 f x1-f x21-4a2a，只需证 f x1-f x21，g(t)=2 t-1t+1+t-1t-lnt.所以g(t)=4t+12+

23、12 t+12t t-1t=4t+12+t-122t t0，所以g t在 1,+上单调递增，所以g tg 1=0.所以x2-x1-f x1+f x20，即得 f x1-f x20时，f(x)0，x1时，g(x)0，因此只有0b1e才可能满足题意，记h x=xex-b，且0b0,h 0=-b0，所以存在x1 0,1，使得h x1=0，设(x)=ex-x2，则(x)=ex-2x，设m(x)=(x)，则m(x)=ex-2，0 xln2时，m(x)ln2时，m(x)0，m(x)递增，所以m(x)min=m(ln2)=2-2ln20，所以(x)(ln2)0，(x)是增函数，x0时，(x)(0)=10，1

24、b=e1b-1b20，1be1bb又h1b=1be1b-b0，所以存在x0 1,1b，使得h x0=0，即此时y=b与y=f x有两个交点，其中一个交点在 0,1内，另一个交点在 1,+内，同理y=b与y=f lnx=g x也有两个交点，其中一个交点在 0,e内，另一个交点在 e,+内，若y=b与y=f x和y=g x共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线y=f x和y=g x的公共点，记其横坐标为x2，令 f x2=g x2=f lnx2，则x21,e,lnx2 0,1，记y=b与y=f x,y=g x的三个交点的横坐标从左到右依次为x3,x2,x4，且满足x31x2ex4,f x3=

25、f x2=g x2=g x4，且x2ex2=lnx2x2，即x22=ex2lnx2，又 f x3=f lnx2,f x2=f lnx4，且x3,lnx2 0,1,x2,lnx4 1,e，且 f x在 0,1和 1,e上分别单调，所以x3=lnx2,x2=lnx4，即x4=ex2，所以x22=x3x4,x2为x3,x4的等比中项，所以从左到右的三个交点的横坐标x3,x2,x4成等比数列.注注3.3.多变量同构型零点的基本规律多变量同构型零点的基本规律1.f(x)=exx,g(x)=xlnx，图象如下，左端为 f(x)，右端为g(x).性质：(1)fmin(x)=gmin(x)=1；(2)同构特性

26、：f(xln)=g(x)(3)若方程 f(x)=g(x)=b存在三个实数根，分别记为x1,x2，x3，则2x2=x1+x3有(4)若方程 f(x)=g(x)=b存在四个实根，记为 x1,x2，x3，x4，且有x1x2x3x4，则有：x1+x4=x2+x32.f(x)=xex，g(x)=lnxx，图象如下：，左端为 f(x)，右端为g(x).性质：性质：(1)fmax(x)=gmax(x)=1e；(2)同构特性：f(xln)=g(x)(3)若方程 f(x)=g(x)=b存在三个实数根，分别记为x1x2x，则有x22=x1x3(4)若方程 f(x)=g(x)=b存在四个实根，记为x1,x2，x3，

27、x4，且有x1x2x3x4，则有：x1x4=x2x35.5.切线估计与切线估计与“剪刀差模型剪刀差模型”注注4.4.“剪刀模型剪刀模型”基本原理基本原理1.函数凸凹性：若函数 f(x)在区间I上有定义，若 f(x)0，则称 f(x)为区间I上的凸函数.反之，称 f(x)为区间I上的凹函数.2.切线不等式：f(x)在I上为凸函数，x0I，有 f(x)f(x0)(xx0)+f(x0).反之，若 f(x)为区间I上的凹函数，则x0I，有 f(x)f(x0)(xx0)+f(x0).注：切线不等式是剪刀模型的理论依据.3.剪刀模型已知函数 f(x)为定义域上的凸函数，且图象与 y=m交于A,B两点，其横

28、坐标为 x1,x2，这样如下图所示，我们可以利用凸函数的切线与y=m的交点将x1,x2的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理.如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出零点的一个上下界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计.例例7.7.(2023届皖南八校联考)已知函数 f x=3x-ex+1，其中e=2.71828是自然对数的底数.(1)设曲线y=f x与x轴正半轴相交于点P x0,0，曲线在点P处的切线为l，求证：曲线y=f x上的点都不在直线l的上方；(2)若关于x的方程 f x=m(m为正实数)有两个不等实根x1,x2x1x2，

29、求证：x2-x12-34m.解析：(1)证明：由题意可得：3x0-ex0+1=0,ex0=3x0+1，fx=3-ex,fx0=3-ex0=3-3x0-1=2-3x0，可得曲线在点P处的切线为l:y=2-3x0 x-x0.令g x=2-3x0 x-x0-3x-ex+1,g x0=0，gx=2-3x0-3+ex=-1-3x0+ex,gx0=-3x0+ex0-1=0，当xx0时，g(x)x0时，g(x)0函数g x在-,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增，g xg x0=0,曲线y=f x上的点都不在直线l的上方.(2)证明：由(1)可得 fx=3-ex=0，解得x=ln3，当x0，当xln3时

30、，f(x)0，所以 f(x)在(-,ln3)上递增，在 ln3,+上递减，所以 f(x)的最大值为 f ln3=3ln3-3+1=3ln3-2，0m3ln3-2，曲线在点P处的切线为l:y=2-3x0 x-x0，由(1)得ex0=3x0+1，令g(x0)=ex0-3x0-1，g(1)=e-3-10，由零点的存在性定理知x0 1,2，同理可得曲线y=f x在点 0,0处的切线为y=2x，设y=m与y=2x,y=2-3x0 x-x0的交点的横坐标分别为x3,x4，则x3=m2,x4=x0+m2-3x0，x2-x1x4-x3=x0+m2-3x0-m2.下面证明：x0+m2-3x0-m20,3x0-2

31、1，且12x0-8+3m4+3m0，2-m4-x0-m2-3x00 x0+m2-3x0-m22-3m4,x2-x12-34m.6.6.不等式放缩不等式放缩例例8.8.(2023届湖北七市州联考T22)已知函数 f x=alnx-x-1x+1(1)当a=1时，求函数 f x的单调区间；(2)若g x=a x2-1lnx-x-12a0有3个零点x1，x2，x3，其中x1x2x3()求实数a的取值范围；()求证：3a-1x1+x3+20在0,+恒成立，所以 f x在 0,+单调递增，故 f x的单调递增区间为 0,+，无单调递减区间(2)()g x=a x2-1lnx-x-12=x2-1alnx-x

32、-1x+1=x2-1f x，g 1=0，f 1=0，则 f x除1外还有两个零点，fx=ax-2x+12=ax2+2a-2x+ax x+12，令h x=ax2+2a-2x+a x0，当a0时，h x0在 0,+恒成立，则 fx0时，f x除1外还有两个零点，则 f x不单调，所以h x存在两个零点，所以=2a-22-4a20，解得0a12，当0a12时，设h x的两个零点为m,n m0，mn=1，所以0m10，fx0，则 f x单调递增；当x m,n时，h x0，fx0，fx0，则 f x单调递增；又 f 1=0，所以 f m0，f n0，而 f e-1a=-1-e-1a-1e-1a+1=-2

33、e-1ae-1a+10，且e-1a0，且e1a1，所以存在x1 e-1a,m，x3 n,e1a，使得 f x1=f x3=0，即g x=a x2-1lnx-x-12a0有3个零点x1，x2=1，x3综上，实数a的取值范围为 0,12证明：因为 f1x=-alnx-1x-11x+1=-alnx-1-x1+x=-alnx+x-1x+1=-f x，所以若 f x=0，则f1x=0，所以x1=1x3欲证(3a1)x3+1x3+223a1时，lnx3 x2-1x2+4x+1，构造函数 x=lnx-3 x2-1x2+4x+1证明.(区别于标准答案的直接构造，那谁想得到，消掉参数是解题方向)当x1时，先证明

34、不等式lnx3 x2-1x2+4x+1恒成立，设 x=lnx-3 x2-1x2+4x+1，则x=1x-12 x2+x+1x2+4x+12=x-14x x2+4x+10，所以函数 x在 1,+上单调递增，于是 x 1=0，即当x1时，不等式lnx3 x2-1x2+4x+1恒成立由 f x3=0，可得x3-1x3+1=alnx33a x23-1x23+4x3+1，因为x31，所以1x3+13a x3+1x23+4x3+1，即x23+4x3+13a x3+12，两边同除以x3，得x3+4+1x33a x3+2+1x3，即x1+x3+43a x1+x3+2，所以 3a-1x1+x3+22注5.一些重要

35、的不等式放缩2 x-1x+13 x2-1x2+4x+1lnx，x 1,+lnx3 x2-1x2+4x+12 x-1x+1 f(s)+f(t)解析：(1)y=x(2)由(1)有：g(x)=f(x)=exln(x+1)+1x+1，g(x)=exln(x+1)+2x+1-1(x+1)2，令h(x)=ln(x+1)+2x+1-1(x+1)2，令x+1=k(k1)，设 m(k)=lnk+2k-1k2，m(k)=(k-1)2+1k3 0 恒成立，故 h(x)在 0，+)单调递增，又因为h(0)=1，故h(x)0在0，+)恒成立，故g(x)0，故g(x)在0，+)单调递增；(3)设h s=f(s+t)-f(

36、s)-f(t),其中s，t(0,+)，hs=f(s+t)-f(s)由(2)有g(x)=f(x)在0,+)单调递增，又因为t0,所以在 fs+t fs，即hs=f(s+t)-f(s)0，所以h s=f(s+t)-f(s)-f(t)在0，+)单调递增，因为s0，则h sh 0,而h 0=f 0=0，故 f(s+t)f(s)+f(t)，得证.8.8.多项式拟合多项式拟合例例10.10.(2021新高考1卷)已知函数 f x=x 1-lnx.(1)讨论 f x的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：21a+1be.解析：如图，考虑用二次函数拟合上述曲线，只需保证

37、二次函数 g(x)=a x-12+b在顶点 1,1处的邻域内拟合 f x=x 1-lnx即可.可将 f x在 1,1处二阶泰勒展开，故只需满足方程组f 1=g(1)f1=g(1)，求得：a=-12，b=1.即，g(x)=-12x-12+1.这样的话，g(x)=m的根为x3，x4，且x3x1，x42.针对性训练针对性训练1.1.已知函数 f x=aex-x-3有两个零点(1)求实数a的取值范围(2)函数g x=f x+x-ln x+1，证明：函数g x有唯一的极小值点【答案】(1)(0,e2)(2)证明过程见解析【分析】(1)对函数 f x求导，求出函数 f x的单调区间，再利用函数图像，从而得

38、出 f x的最小值小于零，进而求出结果.(2)通过函数的极值点的定义，将问题转化成导函数的零点问题，通过对函数g(x)求导，得出导函数g(x)严格单调，进而再利用零点存在性原求出g(x)=0的零点，从而得到证明.【详解】(1)因为 f x=aex-x-3，所以 fx=aex-1，当a0时，fx0时，由 fx=0，得到x=ln1a，当x 0,ln1a时，fx0，即 f x在区间 0,ln1a上单调递增，所以 f x的最小值为 f ln1a=aeln1a-ln1a-3=1+lna-3=lna-2因为当x-时，f x+，当x+时，f x+，又函数 f x=aex-x-3有两个零点，所以 f ln1a

39、=lna-20，得到0a-1，gx=aex-1x+1，令h x=aex-1x+1，则hx=aex+1(x+1)20在区间(-1,+)上恒成立，即gx=aex-1x+1在区间(-1,+)上单调递增，又当x-1+时，aexae-1，-1x+1-，则gx-，当x+时，aex+，-1x+10，则gx+，所以存在唯一实数t(-1,+)，使得gt=0，即gt=0存在唯一零点t，且x(0,t)时，gx0，所以x=t是函数g x唯一的极小值点，故函数g x有唯一的极小值点.2.2.已知 f(x)=ex-a2x2-x.(1)若 f x在x=0处取得极小值，求实数a的取值范围；(2)若 f x有两个不同的极值点x

40、1,x2(x1x2)，求证：fx1+x220(fx为 f x的二阶导数).【答案】(1)-,1(2)证明见解析【分析】(1)求出函数导数，讨论a0，0a1四种情况，根据导数情况讨论函数的单调性即可得出；(2)根据题意可得 fx1+x22=ex1x2-x1ex2-x12+1-ex2-x1x2-x1，构造函数g(t)=2tet+1-e2t(t0)，利用导数即可证明.【详解】(1)由题意得 f(x)=ex-ax-1，f0=0，fx=ex-a，当a0时，fx在-,+上单调递增，所以当x0时，fx0时，fx f0=0，f x在 0,+单调递减；所以 f x在x=0处取得极小值，符合题意当a0时，由 fx

41、0可得xlna，由 fx0可得xlna，当0a1时，lna0，fx在 lna,+单调递增，在 lna,0单调递减，所以当x lna,0时，fx f0=0，f x在 0,+单调递增；所以 f x在x=0处取得极小值，符合题意当a=1时，知 fx在区间-,lna单调递减，fx在区间 lna,+单调递增，所以 fx在x=lna处取得最小值，即 fx flna=f0=0，所以函数 f x在R R上单调递增，所以 f x在x=0处无极值，不符合题意当a1时，lna0，由知 fx的减区间为-,lna，所以当x-,0时，fx f0=0，f x在-,0单调递增；当x 0,lna时，fx0)，由知，当a=1时，

42、f(x)=ex-ax-1 f0=0，即exx+1.则g(t)=2et+2tet-2e2t=2et1+t-et0，所以g t在 0,+单调递减，故g tg 0=0故 fx1+x220，a0时，由 fx0，得x12，由 fx0，得x12，且x0，故 f x的单调递增区间为12,+，单调递减区间为-,0，0,12；当a0，得x12，且x0，由 fx12，故 f x的单调递增区间为-,0，0,12，单调递减区间为12,+.综上，当a0时，f x的单调递增区间为12,+，单调递减区间为-,0，0,12；当a0，a0.由lnx-xf xlna，可得2ae2xlnx-lna=lnxa，所以2xe2xxaln

43、xa恒成立，即2xe2xelnxalnxa恒成立.设u x=xex，x0，则ux=x+1ex0，所以u x在 0,+上单调递增.当x0时，u x0，所以2xe2xelnxalnxa恒成立等价于2xlnxa恒成立，即axe2x对x 0,+恒成立.设v x=xe2x，x0，vx=1-2xe2x.当x 0,12时，vx0；当x12,+时，vx0.所以v x在 0,12上单调递增，在12,+上单调递减，所以v xmax=v12=12e，所以a12e，即a的取值范围是12e,+.【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于将lnx-xf xlna整理成2xe2xelnxalnxa的形式，构造函数u x=xe

44、x，由其单调性以及u 2xu lnxa得出axe2x，最后求出v x=xe2x的最大值，得出a的取值范围.4.4.已知函数 f x=ex+x,g x=ax2+2x+1.(1)当a=12时，讨论函数F x=f x-g x的单调性；(2)当a0时，求曲线y=f x与y=g x的公切线方程.【答案】(1)在R上单调递增.(2)y=2x+1【分析】(1)先求函数F x的导函数Fx，再利用导数证明Fx0，由此判断函数F x的单调性；(2)设曲线y=f x在点 x1,f x1与曲线y=g x在 x2,g x2的切线相同，由导数的几何意义可得e2x1-4ax1ex1+4a-2ex1-4a+1=0，利用导数研

45、究方程的解可求x1，由此求公切线方程.【详解】(1)当a=12时，F x=f x-g x=ex-12x2-x-1 xRFx=ex-x-1令h x=Fx，有hx=ex-1，当x-,0时，hx0，函数h x在 0,+上单调递增，故h xh 0=0，即Fx0，所以F x=f x-g x在R上单调递增.(2)因为 f x=ex+x,g x=ax2+2x+1，所以 fx=ex+1,g x=2ax+2，设曲线y=f x在点 x1,f x1与曲线y=g x在 x2,g x2的切线相同，则切线方程为y-f x1=fx1x-x1，即y-ex1-x1=ex1+1x-x1，整理得y=ex1+1x-ex1x1+ex1

46、.又切线方程也可表示为y-g x2=gx2x-x2，即y-ax22-2x2-1=2ax2+2x-x2，整理得y=2ax2+2x-ax22+1，所以ex1+1=2ax2+2-ex1x1+ex1=-ax22+1，消x2整理得e2x1-4ax1ex1+4a-2ex1-4a+1=0.令m x=e2x-4axex+4a-2ex-4a+1，mx=2e2x-4aex-4axex+4a-2ex=2exex-2ax-1令 x=ex-2ax-1，因为a0，所以函数y=-2ax-1在在R单调递增，又函数y=ex在在R单调递增，所以 x在R单调递增，又 0=0，当x-,0,x0，又ex0得，所以x-,0,mx0，所以

47、m x在-,0单调递减，在 0,+单调递增，所以m xm 0=0，因此函数y=m x只有一个零点，即e2x1-4ax1ex1+4a-2ex1-4a+1=0只有一个解x1=0，此时切线方程为y=2x+1，所以曲线y=f x与y=g x的公切线方程为y=2x+1.【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用导数的几何意义确定切点的坐标满足的关系，再通过利用导数研究方程的解，确定切点坐标，由此求出切线方程.5.5.已知 f x=a2x2-a+2x+2lnx.(1)讨论 f x的单调性；(2)确定方程 f x=a2x2的实根个数.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】(1)对 f x求

48、导，讨论a0，0a2时，fx的正负，即可得出 f x的单调性；(2)将方程 f x=a2x2的实根个数转化为直线y=a2+1与g x=lnxx的图象交点个数，对g x求导，结合g x的单调性和值域即可求出答案.【详解】(1)因为 f x=a2x2-a+2x+2lnx，所以 fx=ax-a+2+2x=ax2-a+2x+2x=x-1ax-2xx0，当a0时，x 0,1时，fx0，f x是增函数，x 1,+时，fx0，f x是减函数.当0a0，f x是增函数，x 1,2a时，fx2时，x 0,2a或x 1,+时，fx0，f x是增函数，x2a,1时，fx0，f x是减函数.综上可得:当a0时，f x

49、在 0,1上是增函数，在 1,+上是减函数；0a2时，f x在 0,2a，1,+上是增函数，在2a,1上是减函数.(2)方程 f x=a2x2的实根个数即-a+2x+2lnx=0的实根个数.即直线y=a2+1与g x=lnxx的图象交点个数.因为gx=1-lnxx2，所以x 0,e时，gx0，g x是增函数，x e,+时，gx1e，即a2e-2时，方程 f x=a2x2没有实根，当a2+1=1e或a2+10，即a=2e-2或a-2时，方程 f x=a2x2有1个实根；当0a2+11e，即-2a2e-2时，方程 f x=a2x2有2个实根.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函

50、数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数 f(x)的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照 f(x)=0是否有根，根的大小进行分类求解的6.6.已知函数 f x=a-3lnx-3ax-1xaR，ln31.1.(1)当a f x1-f x2+3ln4成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)1(3)-,-374【分析】(1)求得并化简 fx=1-3xax+1x2，分a=-3、a-3,0和a-,-3，三种情况讨论，即可求解函数的单调区间；(2)根据题意得到a0，结合导数得到函数的单调性，求得 f xmax=-a-3ln3-a-30，进而求得答案；(