2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题三试题含答案.pdf

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1、2024 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（三）数 学本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必

2、须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的1.设集合lg0Mxx，2eeexNxZ，则MNUA 2B1,2C12xxD1x x 2.在复平面内，复数25i12iz 对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.已知等差数列 na的前n项和为nS，若88S，则36aaA1B2C4D64.设,是两个不同平面，,a b是两条不同直线，则的一个充分条件是A，ababB，ababC，ab

3、abD，aba与b相交5.已知双曲线22221xyab（0,0ab）的左、右焦点分别为1F，2F，且2F与抛物线22ypx（0p）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于A点，若126FF A，则双曲线的离心率为A13B3C3D2136.已知(0,)2，(0,)2，且1tantancos，则A22B22C22D227.已知半径为6的球O的球心到正四面体ABCD各个顶点的距离都相等，若正四面体ABCD与球O的球面有公共点，则正四面体ABCD的棱长的取值范围为A2,4 3B2 3,6 3C4,4 3D4,128.在ABC中，角、ABC的对边分别为abc、，若3,2,cbBAC的平分线AD的

4、长为4 65，则BC边上的中线AH的长等于A217B4 23C417D4 33二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全全部选对的得部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得部分部分分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知变量x和变量y的一组成对样本数据),2,1)(,(niyxii的散点落在一条直线附近，niixnx11，niiyny11，相关系数为r，线性回归方程为axby，则A当r越大时，成对样本数据的线性相关程度越强B当0r时，0bC当yy

5、xxnn11,时，成对样本数据)1,2,1)(,(nniyxii，的相关系数r满足rr D当yyxxnn11,时，成对样本数据)1,2,1)(,(nniyxii，的线性回归方程cxdy满足bd参考公式：niiniiniiiyyxxyyxxr12121)()()(，niiniiixxyyxxb121)()(.10.设函数2ln()f xxx，则（）A函数()f x的单调递增区间为0,eB函数()f x有极小值且极小值为1eC若方程()f xm有两个不等实根，则实数 m 的取值范围为10,2eD经过坐标原点的曲线()yf x的切线方程为3e0 xy11.已知抛物线2:2C xy的焦点为F，准线为l

6、，点A,B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以AB为直径的圆过焦点F，0QBBF ，则A若3，则34BF B若38AQF，则22AF CAFB的面积最小值为14DAQB的面积大于32 2三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12.若1121101211(12)xaa xa xa x，则2311aaa=13.选手甲和乙进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，采用五局三胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为14.已知a0，若关于x的不等式1e1xaxax有整数解，则a的取值范围为.四、解答题：本题

7、共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（13分）已知数列 na的前n项和为nS，数列nSn是公差为12的等差数列，且12a（1）求数列 na的通项公式；（2）若存在*nN，使得12231111nna aa aa a1na成立，求实数的取值范围16.（15分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/CDAB，90ABC，2ABCD，三棱锥BPCD的体积为2 23，平面PAD与平面PBC的交线为l.（1）求四棱锥PABCD的体积，并在答卷上画出交线l（注意保留作图痕迹）.（2）若24ABBC，

8、PAPD,且平面PAD 平面ABCD，在l上是否存在点N，使平面PDC与平面DCN所成角的余弦值为63？若存在，求PN的长度；若不存在，请说明理由17.（15分）在第二十五届中国国际高新技术成果交易会上，中国科学院的科研团队带来了可以在零下 70 摄氏度到零上 80 摄氏度范围内正常使用的宽温域锂电池，为新能源汽车在冬季等极端温度下的使用提供了技术支撑中国新能源汽车也在科研团队的努力下，在世界舞台上扮演着越来越重要的角色已知某锂电池生产商对一批锂电池最低正常使用零下温度进行了检测，得到如下频率分布直方图（1）求最低正常使用零下温度的第 60 百分位数；（2）以抽样检测的频率作为实际情况的概率：

9、若随机抽取 3 块电池，设抽到锂电池最低正常使用零下温度在20,50的数量为X，求X的分布列；若锂电池最低正常使用零下温度在30,50之间，则为A类锂电池 若以抽样检测的频率作为实际情况的概率，从这批锂电池中随机抽取 10 块，抽到k块为“A类锂电池”的可能性最大，试求k的值18.（17分）将222xy上各点的纵坐标变为原来的22倍（横坐标不变），所得曲线为 E 记2,0P，1,0Q，过点P的直线与 E 交于不同的两点 A，B，直线 QA，QB 与 E 分别交于点 C，D（1）求 E 的方程；（2）设直线 AB，CD 的倾斜角分别为，(,0)，求tantan的值19.（17分）已知函数()es

10、inxf xx（1）若()f x21ax对于任意0,)x恒成立，求 a 的取值范围；（2）若函数()f x的零点按照从大到小的顺序构成数列 nx，*Nn，证明：2212niixnn；（3）对于任意正实数12,x x，证明：21212121e1 esinsincosxxxxxxxx2024 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（三三）参考答案参考答案1.答案：D【详解】因为1Mx x，1,2N，所以1MNx x2、答案：B【详解】因为复数25i1 2i12iz ，所以z对应的点为12,1，位于第二象限3.答案：B【详解】因为 na为等差数列，18818()884()

11、2aaSaa，所以182aa，所以362aa.4.【答案】C【详解】选项 A：当满足,abab时，,可能相交，如图：用四边形ABCD代表平面，用四边形AEFD代表平面，故 A 错误；选项 B：当满足,abab时，,可能相交，如图：用四边形ABCD代表平面，用四边形AEFD代表平面，故B错误；选项C：因为,aabb，又b，所以，故,abab是的一个充分条件，故 C 正确；当满足,aba与b相交时，,可能相交，如图：用四边形ABCD代表平面，用四边形AEFD代表平面，故 D 错误；5.【答案】D【详解】由题意知，抛物线的准线方程为2px ，又因为126FF A，则点3,23pAp，又因为点A在双曲

12、线的渐近线byxa上，所以2 33ba，所以双曲线的离心率224211133bea6.【答案】C【详解】由1tantancos，得sinsin1coscoscos，于是sin coscos sincos，即sin()sin()2，由(0,)2，(0,)2，得20,02，则2或2，即22或2（不符合题意，舍去），所以22.故选：C7.【答案】D【详解】设正四面体ABCD的棱长为a，则其内切球、棱切球、外接球的半径分别为aaa4642126、由题意知，球O的球心落在正四面体的几何中心，即内切球、棱切球、外接球公共的球心，又球O的半径为定值6。当球O是正四面体ABCD的外接球时，棱长a最小，此时64

13、6a，得4a 当球O是正四面体ABCD的内切球时，a最大，此时6126a，得12a故正四面体ABCD的棱长的取值范围为4,12故选：D.8.【答案】A【详解】由题意知，设BADCAD，则2BAC，如图所示，由ABCABDACDSSS可得114 614 63 2sin23sin2sin22525 ，整理得3sin22 6sin，即sin(3cos6)0，又因为sin0，所以6cos3，所以21cos22cos13，所以22 2sin21cos 23，在ABC中，由余弦定理得222322 3 2cos21349a ，所以3a，由中线长公式，中线长4174942924222222BCACABAH，2

14、17AH9 答案：BCD10.答案：ACD【详解】对 A：由题意可知 f x的定义域为0,，24412 ln()(12ln)xxxxxxxxxf，令()0fx，解得12=x e，当0,xe时，()0fx，当,xe时，()0fx，故 A 正确；对 B：当=xe时，f x取得极大值为12efe，故 B 错误；对 C：由上分析可作出 f x的图象，要使方程 f xm有两个不等实根，只需要ym与 f x有两个交点，由图可知，10,2em，所以实数m的取值范围为10,2e，故 C 正确.对 D：设曲线 yf x在00,xy处的切线经过坐标原点，则切线斜率0203000ln1 2lnxxxxkx，解得01

15、ln3x，130ex，所以切线斜率13ek，所以切线方程为13eyx，故 D 正确.11.答案：ABD【详解】对于 A，设点B在准线l上的投影为D，准线l与y轴交于点E，又3QBBF，BDBF，则314QBBDBFQFEF，所以34BF，故 A 正确；对于 B，设点A在准线l上的投影为点M，易证AQFAQMVV，又38AQF，8FAQMAQ，即4MAF，AFy，1AF221cos212p，故 B 正确；对于 C，分两种情况：当点,A B都在第一象限，设AFy，0,2，由焦半径公式可得11cosAF，111 sin1 cos2BF，12 1 cos1 sinABFS，令 1 sin1 cos1

16、sincossincosf，设sincos2sin1,14t，且21sin2t，221114112 12ABFSttt，当且仅当2时取得最小值.当点B在第二象限时，设AFO，0,2，则11 cosAF，11 sinBF，所以12 1 cos1 sinABFS，同理令sincos2sin1,24t，且21 sin2t，22 1cos1sin132 2t，所以1132 2432 2ABFSV，当且仅当4时取得最小值，综上，AFB面积的最小值为32 2，故 C 错误；对于 D，当点,A B都在第一象限，1sinQF，11sinBF，则1sin1 sinQB，所以11sinQBBF，即QBBF，14A

17、QBAFBSSVV，当点B在第二象限时，同理可得11sinQBBF，即QBBF，32 2AQBAFBSSVV，综上，AQB的面积大于32 2，故 D 正确.故选：ABD.12.【答案】20【详解】由1121101211(12)xaa xa xa x，令0 x 可得01a，1111C(2)22a ，0121aa 在1121101211(12)xaa xa xa x中，令1x，可得0123111aaaaa，231120aaa13.【答案】2579【详解】根据题意，设甲获胜为事件A，比赛进行三局为事件B，412252323332332335555552779()C()C()()5555P A，333

18、27555()125P AB，故527()(|)(2512527 79795)P ABP B AP A14.【答案】01a【详解】不等式1e1xaxax，即11exxa x，设 1exxh xx，2e21eexxxxxh x，设 e2xt xx，e10 xtx，所以 t x单调递增，且 01t，1e20t，所以存在00,1x，使00t x，即00h x，当0,xx 时，0h x，h x单调递减，当0,xx时，0h x，h x单调递增，所以 00000e1exxxxh xh x，因为e1xx，所以 00002000000011e110eeexxxxxxxxxxh xh x，当0 x 时，01h

19、xh，当1x时，11h xh，不等式1e1xaxax有整数解，即11exxa x有整数解，若1a 时，即11a，因为函数 h x在,0上单调递减，在1,上单调递增，所以Zx时，1min0,11h xhha，所以 1h xa无整数解，不符合题意，当01a时，因为 1011hha，显然0,1是 1a h x的两个整数解，符合题意，综上可知，01a.15.【详解】（1）解：由题意知：数列nSn是公差为12的等差数列，当1n 时，1121Sa，所以132122nSnnn，整理得：(3)2nn nS，.2 分又当2n 时，1(3)(1)(2)122nnnn nnnaSSn，.3 分因为12a 满足上式，

20、.4 分所以1nan，故数列 na的通项公式为1nan.5 分（2）解：由（1）知1nan，可得111111212nna annnn，.6 分故1223111111111123341222nnna aa aa annn；.8 分解法 1：由112231111nnnaa aa aa a，可得222nnn，.9 分即222nn，则2max22nn，.10 分又由2114162224nnnn，.12 分当且仅当2n 时取等号，故实数的取值范围为1,16.13 分解法 2：由1223111111222nnna aa aa an，.9 分可得22111112224162nnn，.10 分当24n，即2n

21、 时，2max11122162nn，.12 分则116，故实数的取值范围为1,16.13 分16.12 233B PCDP BCDBCDVVh S.1 分13P ABCDABCDVh S 四边形，2ABCD，2ADBBCDSS，.2 分ABCD3BCDSS四边形，32 2P ABCDP BCDVV.3 分延长 BC，AD，设 BC 的延长线和 AD 的延长线交点为 M，连接 PM，则平面 PAD 和平面 PBC 的交线 l 为直线 PM.5 分证明：取 AD 的中点 E，连接 PE，PAPD，E 是 AD 的中点，PEAD，平面PAD 平面 ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE 平面 P

22、AD，PEAD，PE平面 ABCD，.6 分12 233B PCDP BCDBCDVVPE S,122BCDSBC CD,即2PE.7 分以点 B 为坐标原点，以直线 BA、BM 分别为,x y轴，以过点 B 作平面 ABCD 的的垂线为z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示.8 分则(3,1,2)P，(0,2,0)C，(2,2,0)D，(0,4,0)M，(2,0,0)CD，(1,1,2)PD ，(3,3,2)PM ，.9 分设(3,3,2)PNPM ，则(1 3,31,2(1)DNPNPD，.10 分设平面 PCD 的法向量为111(,)mx y z，则00m CDm PD ，即1111

23、2020 xxyz，令11z，得(0,2,1)m，.11 分设平面 CDN 的法向量为222(,)nxyz，则00n CDn DN，即222220(1 3)(31)2(1)0 xxyz令22y，可得(0,2 1,1 3)n（），.12 分PDCDCN平面与平面夹角的余弦值为63cosm，222 11 36|332(1)(1 3)m nnm n （），.13 分解得：13或3，.14 分即在直线 l 上存在点 N，PDCDCN平面与平面的夹角的余弦值为63，此时253PN或6 5PN.15 分17、【详解】（1）设最低正常使用零下温度的第 60 百分位数为a，由直方图可知最低正常使用零下温度在0

24、,20的频率为 0.4，在0,30的频率为 0.65，因此最低正常使用零下温度的第 60 百分位数a一定在20,30内，.1 分则有0.01 100.03 100.025200.6a，解得28a，所以最低正常使用零下温度的第 60 百分位数为 28.3 分（2）由题意可知X的可能值是 0,1,2,3，3,0.6XB，.5 分00330C 0.60.40.064P X；.6 分11231C 0.60.40.288P X；.7 分22132C 0.60.40.432P X；.8 分33033C 0.60.40.216P X，所以X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216.9

25、分由题意可知，设抽到A类锂电池的数量为Y，则10,0.35YB，.10 分若抽到k块的可能性最大，则1010C 0.35(1 0.35),0,1,10kkkP Ykk，11P YkP YkP YkP Yk，.12 分即1011111010101191010C 0.35 0.65C0.350.65,C 0.35 0.65C0.350.65,kkkkkkkkkkkk.13 分即7 1113,1317 10,kkkk解得2.853.85k，.14 分由于*k N，故3k.15 分18、【详解】（1）解：设所求轨迹?上的任意点为?，与?对应的点为?，根据题意，可得?，即?，代入方程?，可得?，整理得?

26、，所以曲线?的轨迹方程为?.-5 分（2）方法一：解：设?h?h?，设直线?h 的方程为?6 分，联立方程组?，整理得?t，8 分则y?t?y?t?9 分，又因为?x?y?,点?在椭圆?上；所以y?t?y?=?y?（x?）?=y?；11 分x?=y?x?y?y?+1=?，12 分h?，同理可得 h?，13 分又因为?三点共线，可得?，14 分即?，15 分所以?hh?，16 分所以tan?tan?hh?.17 分方法二：解：设直线?h 的方程为?，?h?h?，联立方程组?，整理得?t，则?t，且?，可得?，所以?，可得?，所以 h?，下同方法一。19、【详解】（1）根据题意可知，不等式2esi

27、n1xxax在0,)上恒成立，设 2=esin1,0 xF xxaxx，则 00F，=ecos2xFxxax，设 =ecos2xg xFxxax，则 00g，esin2xgxxa，则 01 2ga，若 00g，存在区间0,t，使 g x在区间0,t上单调递减；则 00g xg，则 F x在区间0,t上单调递减，则 00F xF，不满足题意，故 01 20ga，即12a.下证明：当12a 时，不等式成立，因为20,0 xx，221=esin1esin12xxF xxaxxx，设 21=esin12xm xxx，则=ecose1xxm xxxx，设=e1xn xx，则=e10 xn x，所以=e1

28、xn xx 在0,)上单调递增，则 00n xn，则=ecose10 xxm xxxx 成立，故 21=esin12xm xxx在0,)上单调递增，则 00m xm，所以 0F x 恒成立，得证，综上知，12a.5 分（2）当2,(21)xnn 时，ecosxfxx，设 ecosxr xfxx，则 esin0 xrxx，则函数 r x单调递增，00r xr，fx 单调递增，2 2 e10nfn 41()241e02nnf01 4(2,)2nnxn，0()0nfx，()f x在0(2,)nnx上单调递减，0(,(21)nxn上单调递增，又2 2 e0nfn，1 421 4()e102nnf，(1

29、 2)(21)e0nfn21 4(2,)2nnxn，2()0nf x，211 4(,(21)2nnxn，21()0nf x.22(41)(41)222(41)esin(41)esinnnnxnxnnnfnxnxx由于，21 4(2,)2nnxn，22(41)nnnxx，22(41)eennnxx221(41)()0nnfnxf x，由于()f x在1 4(,(21)2nn上单调递增，221(41)nnnxx212(41)nnxxn.累加得21234212(2)nnxxxxxxnn.11 分（3）要证21212121(e1)esin()sincosxxxxxxxx即证121212121esin(

30、)esin(ecos)xxxxxxxxx.即证12121()()()f xxf xx fx.()ecosxfxx，设()ecosxt xfxx esinxtxx，0 x 时()0t x，()t x在(0,)上单调递增，即()ecosxfxx在(0,)上单调递增，设111()()()(),(0)h xf xxf xxfxx，11()()()h xfxxfx，由于()fx在(0,)上单调递增，11xxx11()()fxxfx，()0h x，()h x在(0,)单调递增.又(0)0h，0 x 时()0h x 111()()()0f xxf xxfx111()()()f xxf xxfx因此12121()()()f xxf xx fx恒成立，原不等式恒成立，得证.17 分