2024年高考数学模拟题---42道概率解答题专题.pdf

《2024年高考数学模拟题---42道概率解答题专题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学模拟题---42道概率解答题专题.pdf（55页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1/502 20 02 24 4 年年高高考考数数学学模模拟拟题题-4 42 2 道道概概率率解解答答题题专专题题一一、解解答答题题1（2024凉山模拟）常言道：文史不分家，其实数学与物理也不分家“近代物理学之父”牛顿大约在 1671 年，完成了流数法和无穷级数这部书，标志着微积分的正式创立某学校课题小组针对“高中学生物理学习成绩与数学学习成绩的关系”进行了一系列的研究，得到了高中学生两学科的成绩具有线性相关的结论现从该校随机抽取 6 名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表（单位：分）物理成绩 x636874768590数学成绩 y9095110110125130（1）经过计算，得到学生物理

2、学习成绩 x 与数学学习成绩 y 满足回归方程?=1.5+若某位学生的物理成绩为 95 分，请预测他的数学成绩；（2）若要从抽取的这 6 名学生中随机选出 3 名学生参加一项问卷调查，记数学成绩不低于 100 分的学生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望【答案】（1）解：依题意，?=63+68+74+76+85+906=76，?=90+95+110+110+125+1306=110，于是 110=1.5 76+，解得=4，因此?=1.5 4，当=95 时，=1.5 95 4=138.5，所以物理成绩为 95 分，预测他的数学成绩为 138.5.（2）解：依题意，数学学习成绩低于 100 分的

3、有 2 人，数学学习成绩不低于 100 分的有 4 人，因此 X 的可能值为 1，2，3，(=1)=224163=15,(=2)=214263=35，(=3)=204363=15，所以 X 的分布列为123153515数学期望()=1 15+2 35+3 15=2.【知识点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布【解析】【分析】（1）根据题干数据，求物理和数学的平均成立，代入回归方程求出的值，并预测数2/50学成绩即可；（2）由题意，求出 X 的可能值以及对应的概率，列出分布列并求数学期望即可.2（2024 高三下贵州模拟）一枚质地均匀的小正方体，其中两

4、个面标有数字 1，两个面标有数字 2，两个面标有数字 3.现将此正方体任意抛掷次，下落后均水平放置于桌面，记次上底面的数字之和为.（1）当=2 时，求2的分布列与期望；（2）设表示能被 4 整除的概率，探索1(2)与的关系并求.【答案】（1）解：依题意，正方体上底面出现数字 1、2、3 的概率均为13，所以2的可能取值为 2、3、4、5、6，所以(2=2)=1313=19，(2=3)=1313+1313=29，(2=4)=1313+1313+1313=13，(2=5)=1313+1313=29，(2=6)=1313=19，所以2的分布列为：2234561929132919所以(2)=2 19+

5、3 29+4 13+5 29+6 19=4.（2）解：依题意可得1=0，当 2 时，1 次上底面的数字之和能被 4 整除的概率为1，所以=13(1 1)，即=13(1 1)(2)，则14=13(114)，又114=14，所以14是以14为首项，13为公比的等比数列，所以14=14(13)1，则=1414(13)1，显然当=1 时=1414(13)1也成立，所以=1414(13)1.【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）2的可能取值为 2、3、4、5、6，分别求出对应的概率，列表即可得分布列.代3/50入数学期望公式即可.(2)当

6、 2 时，1 次上底面的数字之和能被 4 整除的概率为1得=13(1 1)，转化为14=13(114)，得14是以14为首项，13为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求解.3（2024 高三下浙江模拟）今年的春节联欢晚会上，魔术师刘谦表演的魔术守岁共此时精彩纷呈节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜如果我们将 4 张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列（1）将余下 4 个半张随机扔掉 2 个留下 2 个，然后从桌上 4 个半张随机翻开 2 张

7、，求翻开的两个半张的数字与留下的 2 个半张上的数字恰好有 1 个相同的概率；（2）将余下来的 4 个半张随机放在桌上 4 个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望【答案】（1）解：设翻开的两个半张的数字与留下的 2 个半张上的数字恰好有 1 个相同的事件设为，则()=41424242=23答：翻开的两个半张的数字与留下的 2 个半张上的数字恰好有 1 个相同的概率为23（2）解：由已知随机变量的可能取值有 0,1,2,3,4，(=0)=3344=38，(=1)=4244=13，(=2)=4244=14，(=4)=144=124，所以的分布列0124

8、381314124故()=0 38+1 13+2 14+4 124=1【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）先确定随机变量的可能取值，再求各值的概率，由此可得其分布列，再利用期望公式求期望即可.4（2024徐汇模拟）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班(45人)和高三二班(30 人)进入决赛.决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有 4 个选择题和 2 个填4/50空题，乙箱中有 3 个选择题和 3 个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每

9、位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱，并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次（1）环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取 20 名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为 1，方差为 1；二班抽取同学答对题目的平均数为 1.5，方差为 0.25，求这 20 人答对题目的均值与方差；（2）环节二，王刚先从甲箱中依次抽出两道题目，答题结束后将所答题目放入乙箱，然后李明在乙箱中再依次抽

10、取两道题目，求李明抽取的两题均为选择题的概率【答案】（1）一班抽取4575 20=12 人，二班抽取3075 20=8 人，一班样本平均数为 1，样本方差为 1，二班样本的平均数为 1.5，样本方差为 0.25，总样本的平均数为121+81.512+8=1.2，记总样本的样本方差为121+(11.2)2+80.25+(1.51.2)220=0.76，所以，这 20 人答对题目的样本均值为 1.2，样本方差为 0.76（2）设事件为“李明同学从乙箱中抽出的第 1 个题是选择题”，事件1为“王刚同学从甲箱中取出 2 个题都是选择题”，事件2为“王刚同学从甲箱中取出 1 个选择题 1 个填空题“，事

11、件3为“王刚同学从甲箱中取出 2 个题都是填空题”，则1、2、3，彼此互斥，且12 3=，(1)=4262=25，(2)=412162=815，(3)=2262=115，(|1)=58，(|2)=815，(|3)=38，()=(1)(|1)+(2)(|2)+(3)(|3)=2558+51812+11538=1324，所求概率即是发生的条件下1发生的概率：(1|)=(1)()=(1)(|1)()=25581324=613【知识点】极差、方差与标准差；全概率公式【解析】【分析】(1)首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数和方差公式，代入求值；5/50(2)

12、根据全概率公式和条件概率公式，即可求解.5（2024 高三下安庆模拟）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求学校所有 3000 名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值 12.2 时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对 A，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试若第一次测试不合格，

13、则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布(9，2.56)参考数值：(+)=0.6827，(2 +2)=0.9545，(3 10.828所以有 99.9%的把握认为有意愿去哈尔滨旅游与性别有关（2）解：按照分层抽样，男性抽取 2 人，记为，女性抽取 4 人，记为，记“4 人组中男女人数相等”为事件，则事件等价于“两个单人组都为女性游客”两个单人组成员的所有情况有，共 15 种7/50事件包含，这 6 种所以()=615=25【知识点】分层抽样方法；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公

14、式【解析】【分析】（1）根据列联表中的数据，计算方差，对照附表求解即可；（2）根据分层抽样原理和古典概型的概率公式求解即可.7（2024漳州模拟）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为12，乙每天选择“共享单车”的概率为23，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为34，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为14，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为13，如此往复

15、（1）若 3 月 1 日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；（2）记甲、乙、丙三人中 3 月 1 日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望；（3）求丙在 3 月份第(=1，2，31)天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在 3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数【答案】（1）解：记甲、乙、丙三人 3 月 1 日选择“共享单车”出行分别为事件，记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件，则()=(?)+(?)+(?)=122314+121334+122334=1124，()=(?)+(?)=122334+121334=38，所以(|)=()()=3

16、81124=911，即若 3 月 1 日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共熟单华”的概率为911（2）解：由题意可知，的所有可能取值为 0，1，2，3，则(=0)=(?)=121314=124，(=1)=(?)+(?)+(?)=121314+122314+121334=14，(=2)=()=1124，(=3)=()=122334=14，8/50所以的分布列为012312414112414故()=0 124+1 14+2 1124+3 14=2312，即的数学期望为2312（3）解：由题意得1=34，则=141+23(1 1)=5121+23(=2，3，31)，所以817=512(1817)

17、，所以8171817=512(=2，3，31)又因为1817=1968 0，所以数列817是以1968为首项，512为公比的等比数列，所以=817+1968(512)1(=1，2，31)由题意知，3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足 1 ，即12，则817+1968(512)112，即(512)1219(=1，2，31)，当为偶数时，(512)1219显然不成立，当为奇数时，不等式可变为(512)1219，当=1 时，1 219成立；当=3 时，(512)2=2514424144=212219成立；当=5 时，(512)4(612)4=116219不成立又因为函数=(512

18、)1单调递减，9/50所以当 5 时，(512)1219不成立，所以只有在第 1 天和第 3 天时，12，所以丙在 3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有 2 天【知识点】函数单调性的性质；等比数列的通项公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)利用相互独立事件概率公式、条件概率公式，代入计算即可.(2)先求出的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，根据分布列结合数学期望计算公式即可求解.(3)先求得，1关系，转化为817=512(1817)，得数列817是以1968为首项，512为公比的等比数列，根

19、据等比数列通项公式求出，再利用12结合函数单调性讨论 n 取值，求出n 即可.8（2024 高三上贵州模拟）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布(250，2)，且(320，求的最小值.【答案】（1）解：由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布(250，2)，且(248)=0.1，所以(248)=1 0.1=0.9，则这 3 包中恰有 2 包质量不小于 248g 的概率为32 0.92 0.1=0.243.（2）解：因为(248)=0.1，所以(248 320，所以 0.16 320，2000，又为正整数，所以的最小值为 2001.【知识点】二

20、项分布；正态分布定义【解析】【分析】(1)P(M 248)=1-0.1=0.9，由此即可得；(2)根据正态函数的对称性，再根据二项分布的特点即可得.9（2024深圳模拟）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节。每次信号只发送 0 和 110/50中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号 0 时，接收为0和1的概率分别为(0 1)，1 ；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为(0 1)，1 假设每次黒的传输相互独立（1）当连续三次发送信号均为 0 时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为()，求()的最小值；（2）当连续四次发送信号均为 1 时

21、，设其相应四次接收到的信号数字依次为1，2，3，4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（1，2，3，4中任意相邻的数字均不相同时，令=1），若=23，求的分布列和数学期望【答案】（1）解：由题可知()=3+(1 )3=32 3+1=3(12)2+14，因为 0 1，所以当=12时，()的最小值为14（2）解：由题设知，的可能取值为 1，2，3，4当=1 时，相应四次接收到的信号数字依次为 0101 或 1010因此，(=1)=23132313+13231323=881，当=2 时，相应四次接收到的信号数字依次为 0010，或 0100，或 1101，或 1011，或 1001，或0

22、110，或 1100，或 0011因此，(=2)=(23)21323 2+(13)22313 2+(13)2(23)2 4=3681=49，当=3 时，相应四次接收到的信号数字依次为 1110，或 0111，或 0001，或 1000 因此，(=3)=(13)323 2+13(23)3 2=2081，当=4 时，相应四次接收到的信号数字依次为 0000，或 1111因此，(=4)=(13)4+(23)4=1781所以的分布列为12348814920811781因此，的数学期望()=1 881+2 38+3 2081+4 1781=20881【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及

23、其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)根据题意求得()=3(12)2+14，结合二次函数分析求解；11/50(2)由题设知，的可能取值为 1，2，3，4，根据题意结合独立事件概率乘法公式求分布列和数学期望.10（2024 高三下南山模拟）某 6 人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为 2，3，4的人数分别为 1，3，2，现从这 6 人中随机选出 2 人作为该组的代表参加表彰会（1）求选出的 2 人参加志愿者活动次数相同的概率；（2）记选出的 2 人参加志愿者活动次数之和为，求的分布列和期望【答案】（1）由题意可得，选出的 2 人参加志愿者活动次数相同的概率=3

24、2+2262=415（2）由题意可得，的所有可能取值为 5，6，7，8，(=5)=113162=15，(=6)=32+112162=13，(=7)=312162=25，(=8)=2262=115，故的分布列为：5678151325115故()=5 15+6 13+7 25+8 115=193【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式求解即可.（2）先列出的所有可能取值，再求出对应概率，列表即可得的分布列，最后利用数学期望公式计算即可.11（2024 高三下贵阳模拟）猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代

25、就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为23，乙同学猜对每个灯谜的概率为12.假设甲乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：（1）甲乙任选 1 个独立竞猜，求甲乙恰有一人猜对的概率；（2）活动规定：若某人任选 2 个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是23；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是14，求甲同学抽中新春大礼包的概率；（3）甲乙各任选 2 个独立竞猜，设甲乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）解

26、：设=“甲猜对一个灯谜”，=“乙消对一个灯谜”，12/50则()=23，()=12.因为甲乙恰有一人猜对的事件为?+?，所以(?+?)=(?)+(?)=()(?)+(?)()=2312+1312=12.所以，甲乙恰有一人猜对的概率为12.（2）解：设=“甲猜对两道题”，=“甲中奖”，则()=()()+(?)(?)=(23)223+1 (23)2 14=827+536=47108所以，甲同学抽中新春大礼包的概率47108.（3）解：由（1）知()=23，()=12.易知甲乙猜对灯谜的个数之和的可能取值为 0，1，2，3，4.则(=0)=(13)2(12)2=136，(=1)=212313(12)

27、2+211212(13)2=19+118=16，(=2)=(23)2(12)2+(13)2(12)2+212313 211212=1336，(=3)=212313(12)2+211212(23)2=13，(=4)=(23)2(12)2=19.所以的分布列为012341361613361319因此，的数学期望()=0 136+1 16+2 1336+3 13+4 19=8436=73.【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件、独立事件和互斥事件求概率公式，进而得出甲乙13/5

28、0恰有一人猜对的概率；（2）利用已知条件结合条件概型求概率公式和对立事件和互斥事件求概率公式，进而得出甲同学抽中新春大礼包的概率；（3）由（1）知事件 A 和事件 B 的概率，再利用已知条件得出甲乙猜对灯谜的个数之和的可能取值，再利用独立事件求概率公式得出随机变量 X 的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量 X 的数学期望.12（2024 高三上永州模拟）在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答 3道题，若回答正确的次数不低于 2 次，该局得 3 分，否则得 1 分，每次回答的结果相互独立已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为12（1）

29、若甲参加了 3 局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量 X，求 X 的分布列与期望；（2）若甲参加了 2()局禁毒知识挑战赛，乙参加了 2+2()局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于4的概率为1，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于4+4的概率为2，证明：1 4，则 ，则1=()，因为()=()，则1=1(=)2=12(12)22，同理可得2=12+2+1(12)2+22，则12=2+2+1(12)2+3 2(12)2+1=(12)2+1(142+2+1 2)，14/50=(12)2+1(2+2)!4(+1)!(+1)!(2)!)，=(12)2+1(2)!(2+2)(2+1)4(

30、+1)24(+1)!(+1)!，=(12)2+1(2)!(22)4(+1)!(+1)!0，故1，由此求出1,2的表达式，利用作差法，即可证明结论.13（2024 高三上邵阳模拟）甲乙丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到 90 分以上（含 90 分）获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲乙丙三人在学校的以往知识竞赛成绩，整理得到如下数据（单位：分）：甲：86，87，89，92，91，89，89，95，88，94.乙：88，89，95，94，94，88.丙：96，93，90，89.假设用频率估计概率，且甲乙丙的知识竞赛成绩相互独立.（1）估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率

31、；（2）设表示甲乙丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计的数学期望.【答案】（1）解：甲在以往参加的 10 次知识竞赛中有 4 次成绩获得优秀等级.记事件为“甲在本次知识竞赛中获得优秀等级”，则()=410=25.所以甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率为 1 ()=35（2）解：的所有可能取值为 0，1，2，3.记事件为“乙在本次知识竞赛中获得优胜等级”，事件为“丙在本次知识竞赛中获得优胜等级”，则()=36=12，()=34，由（1）知()=25.则(=0)=(?)(?)(?)15/50=(1 25)(1 12)(1 34)=340(=1)=()(?)(?)+(?)()(?)+(

32、?)(?)()=251214+351214+351234=1440.(=2)=()()(?)+()(?)()+(?)()()=251214+251234+351234=1740.(=3)=()()()=251234=640.=0 340+1 1440+2 1740+3 640=3320.【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而估计出甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率。（2）利用已知条件得出随机变量 X 的取值，再结合古典概型求概率公式得出事件 B，C 的概率，再由事件 A 的概率和对立事件

33、、独立事件、互斥事件求概率公式，进而得出随机变量 X 的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量 X 的数学期望。14（2024南充模拟）2023 年秋季，支原体肺炎在全国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在 70 岁以上的老年人中随机抽查了 200人的情况，并将调查结果整理如下：有慢性疾病没有慢性疾病合计未感染支原体肺炎6080140感染支原体肺炎402060合计100100200附表：(2)0.150.100.050.0250.0100.0050.00116/50k2.0722.7063.8415.0246.

34、6357.87910.828参考公式：2=()2(+)(+)(+)(+)（其中=+）（1）是否有 99.5%的把握认为 70 岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？（2）现从感染支原体肺炎的 60 位老人中按分层抽样的方式抽出 6 人，再从 6 人中随机抽出 4 人作为医学研究对象并免费治疗按以往的经验，有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为 2 万元，没有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为 1 万元，记抽出的这 4 人产生的研究治疗总费用为（单位：万元），求的分布列及数学期望【答案】（1）解：由题意得 2=()2(+)(+)(+)(+)=200(60208040)21001001406

35、0=20021 9.524 7.879故有 99.5%的把握认为 70 岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.（2）解：现从感染支原体肺炎的 60 位老人中按分层抽样的方式抽出 6 人，则 6 人中有慢性疾病 4人，无有慢性疾病 2 人再从 6 人中随机抽出 4 人，则抽出的 4 人中可能有以下 3 种组合有慢性疾病 4 人；此时=8 万元有慢性疾病 3 人，无有慢性疾病 1 人；此时=7 万元有慢性疾病 2 人，无有慢性疾病 2 人；此时=6 万元所以 的可能取值为 8，7，6故(=8)=4464=115；(=7)=432164=815；(=6)=422264=615故 的分布列为：

36、876P11581525则 的数学期望()=8 115+7 815+6 25=203(万元)【知识点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】(1)根据表中数据，求出 K2的观测值，再与临界值表比较即可得出结论；(2)由分层抽样可得出慢性疾病有 4 人，没有慢性疾病有 2 人，列出从 6 人中任取 2 人的所有基本事件，利用古典概型的概率计算公式求结果即可.15（2024 高三上绵阳模拟）绵阳市 37 家 A 级旅游景区，在 2023 年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长 绵阳某旅行社随机调查了市区 100 位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：17/50喜欢旅游不喜

37、欢旅游总计男性203050女性302050总计5050100附：2=()2(+)(+)(+)(+)(2)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（1）能否有 95%的把握认为喜欢旅游与性别有关？（2）在以上所调查的喜欢旅游的市民中，按性别进行分层抽样随机抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人进行访谈，求这两人是不同性别的概率【答案】（1）解：2=()2(+)(+)(+)(+)=100(20203030)260405050=4 3.841故有 95%的把握认为喜欢旅游与性别有关；（2）解：(2)按分层抽样喜欢旅游的男性为 2 人，记为 1，2，女性为 3 人，记为

38、 1，2，3，随机抽取 2 人的事件有：(1，2)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(2，3)，不同性别的事件为：$(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)$故两人是不同性别的概率 =610=35【知识点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】(1)首先计算 K2与 3.841 比较大小，即可作出判断；(2)首先确定男女各 2 人和 3 人，再利用古典概型概率公式，即可求解.16（2024 高三上攀枝花模拟）情怀激荡，火热出游2023 年中秋国庆“双节”联动，旅游景区人头攒动，文化和旅游

39、市场恢复势头强劲，行业信心持续有力提振假期 8 天中，某景区一纪念品超市随机调查了 200 名游客到该超市购买纪念品的情况，整理数据，得到下表：18/50消费金额（元）0，30)30，60)60，90)90，120)120，150)150，180)人数203040504020参考公式：2=()2(+)(+)(+)(+)，其中=+临界值表：(2 0)0.010.0050.00106.6357.87910.828（1）估计假期 8 天中游客到该超市购买纪念品金额的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）完成下面的 2 2 列联表，并判断能否有 99.5%的把握认为购买纪念品的金额与

40、年龄有关不少于 120 元少于 120 元总计年龄不小于 50 岁80年龄小于 50 岁36总计（3）从上述“到该超市购买纪念品不少于 120 元”的顾客样本中，随机抽取 2 人进行购物原因调查，设其中“年龄不小于 50 岁”的顾客人数为 X，求 X 的分布列和期望【答案】（1）解：估计 8 月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值为1520+4530+7540+10550+13540+16520200=18600200=93（2）解：填写 2 2 列联表，如下：不少于 120 元少于 120 元总计年龄不小于 50 岁2480104年龄小于 50 岁366096总计60140200则2=200

41、(24608036)26014010496=45091 4.945 7.879，因此，没有 99.5%的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关（3）解：X 的可能取值为 0，1，2(=0)=362602=2159，(=1)=241361602=144295，(=2)=242602=46295，19/50所以 X 的分布列为X012P215914429546295()=0 2159+1 144295+2 46295=236295=45=0.8【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图平均数的求法即可求解.(2)由题意和表格中的数据完成列联表，根据卡

42、方的计算公式，结合独立性检验的思想即可下结论；(3)根据超几何分布求出随机变量 X 对应的概率，列出其分布列，即可求解数学期望.17（2024 高三上广州模拟）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神.甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒 19 元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个 30 元.（1）甲若以方式一购买吉

43、祥物，每次购买一个盲盒并打开.当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用 X 表示甲购买的次数，求 X 的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过 3 个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒?【答案】（1）解：由题意可知所有可能取值为 2，3，4，(=2)=332=13，(=3)=322133=49，(=4)=3333=29.（其他解法：(=2)=31(13)2=13，(=3)=3121(13)223=49，(=4)=1 (=2)(=3)=29.)则的分布列如下：234134929（2）设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐三款

44、吉祥物需要的总费用为.依题意，可取 0，1，2，3.方案 1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用1=3 30=90 元.20/50方案 2：购买 1 个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用2=19+2 30=79 元.方案 3：购买 2 个盲盒时，当 2 个盲盒打开后款式不同，则只需要直接购买剩下一款吉祥物，总费用3=2 19+30=68，(3=68)=3232=23；(或(3=68)=311323=23)当 2 个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用3=2 19+2 30=98，(3=98)=311313=13.所以(3)=68 23+98 13=78

45、(元)方案 4：购买 3 个盲盒时，当 3 个盲盒打开后款式各不相同，则总费用4=3 19=57，(4=57)=33(13)3=29；当 3 个盲盒打开后恰有 2 款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，总费用4=3 19+30=87，(4=87)=321313=23；当 3 个吉祥物盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用4=3 19+60=117，(4=117)=31(13)3=19.所以(4)=57 29+87 23+117 19=2513(元)（别解：(4)=30 23+2 30 19+3 19=2513(元)）显然(3)(2)(4)1.综上，应该一次性购买 2 个吉

46、祥物盲盒.【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用【解析】【分析】（1）由题意可知随机变量所有可能取值，再利用排列数公式和组合数公式以及和古典概型求概率公式，进而得出随机变量 X 的分布列。（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合随机变量 X 的分布列和随机变量的分布列求数学期望公式，进而对 4 种方案的数学期望进行比较，从而找出合适的方案。18（2024 高三上嘉兴模拟）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第 1 天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如21/50果他第 1 天选择了

47、米饭套餐，那么第 2 天选择米饭套餐的概率为13；如果他第 1 天选择了面食套餐，那么第 2 天选择米饭套餐的概率为23.已知他开学第 1 天中午选择米饭套餐的概率为23.（1）求该同学开学第 2 天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第()天选择米饭套餐的概率为，（i）证明：12为等比数列；（ii）证明：当 2 时，59.【答案】（1）解：设=“第天选择米饭套餐”(=1，2)，则?=“第天选择面食套餐”，根据题意(1)=23，(1?)=13，(2|1)=13，(2|1?)=23，由全概率公式，得(2)=(1)(2|1)+(1?)(2|1?)=2313+1323=49（2）证明：（i）设=“

48、第天选择米饭套餐”(=1，2，)，则=()，(?)=1 ，(+1|)=13，(+1|?)=23，由全概率公式，得(+1)=()(+1|)+(?)(+1|?)=13+23，即+1=13+23，+112=13(12)，112=16，12是以16为首项，13为公比的等比数列；（ii）由（i）可得=12+16(13)1()，当为大于 1 的奇数时，=12+16(13)112+16(13)2=142759；当为正偶数时，=1216(13)112 乙2，23/50所以在平均数一样的条件下，乙的水平更为稳定，但考虑甲乙水平均不靠前，再加上中国乒乓球运动员的世界领先水平，我认为不应派成绩稳定的乙去参赛，应该派

49、甲去，有可能超常发挥取得更好成绩（2）解：设比赛局数为随机变量 X，由题意知 X 的可能取值必须为偶数：2、4、620则(=2)=1212+1212=12，当=4 时，说明前两局二人各胜一局，然后第三局和第四局均为甲胜或均为乙胜，且前两局二人各胜一局的概率为 2 1212=12故(=4)=12(1212+1212)=14发现，当 4 18 时，双方前两局，前四局，到前 2 局甲乙胜负局数均相同，且第 1局，第 X 局均为甲胜或乙胜，于是设=2(，2 9)(=2)=2 (2 1212)1(1212)=12(12)1=(12)显然=1 时，也满足上式而=20 时，说明双方前两局，前四局，到前 18

50、 局甲乙胜负局数均相同，(=20)=(2 1212)9=(12)9故 X 的分布列为X24681820P12(12)2(12)3(12)4(12)9(12)9故 X 的数学期望()=2 12+4 122+6 123+8 124+18 129+20 129设=2 12+4 122+6 123+8 124+18 129则12=2 122+4 123+6 124+8 125+18 1210得12=2 12+2 122+2 123+2 124+8 125+2 129 18 1210=2(12+122+123+124+125+129)18 1210=2 12(1129)112 18 1210=2 112