2024届南京师范大学附属中学高三下学期5月模拟数学试题含答案.pdf

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1、试卷第 1 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 江苏省南京师范大学附属中学江苏省南京师范大学附属中学 20242024 届高三下学期届高三下学期 5 5 月模拟数学试题月模拟数学试题 注意事项：注意事项：1本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。2答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非

2、选择题请用直径对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的 1已知复数112iz=，22iza=+（其中i为虚数单位，Ra）.若12zz是纯虚数，则=a（）A4 B1 C1 D4 2设实

3、数a，b，c满足，221abc+则abc+的最小值为（）A212 B12 C22 D1 3已知等差数列 na的前n项和为nS，且55a=，11146aS+=，则310aa是 na中的（）A第 28 项 B第 29 项 C第 30 项 D第 32 项 4若()()()231021001210111xxxaa xa xa x+=+，则2a等于（）A49 B55 C120 D165 5为了得到函数sin 23yx=+的图象，只要把函数sin2yx=图象上所有的点（）A向左平移6个单位 B向左平移3个单位 C向右平移6个单位 D向右平移3个单位 6已知定义在区间(,)(0)m m m上，值域为R的函数

4、()f x满足：当0 xm；对于定义域内任意的实数 a、b 均满足：()()()1()()f af bf abf a f b+=则（）A(0)1f=B()()121212,x xmxxm f xf x的离心率为32，则抛物线2yax=的焦点坐标为（）A1,016 B10,8 C1,08 D10,16 8如图，ABCD是边长为 2 的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式EMEBEB=+以点B为坐标原点建立坐标系，若曲线T是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形1111DCBA的1

5、11111,AB BC C D分别与曲线T切于点 P、Q、R，且11,A D在 x轴上则梯形1111DCBA的面积最小值为（）A6 B2 2 C2 10 D3 11 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9甲盒中有 3 个红球和 2 个白球，乙盒中有 2 个红球和 3 个白球先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件

6、F表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（）A事件F与G是互斥事件 B事件E与事件G不相互独立 C()1330P G=D()1|2P G E=10ABC的内角 A，B、C 的对边分别为 a，b，c，若2,2AB ACa=，则（）Acos2bcAa=B228bc+=C角 A 的最大值为3 DABC面积的最大值为3 11如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E为1AA的中点，点F满足()11101AFAB=，则（）试卷第 3 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 A当0=时，1AC 平面BDF B任

7、意0,1，三棱锥FBDE的体积是定值 C存在0,1，使得AC与平面BDF所成的角为3 D当23=时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为5619 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知集合(,)|2Ax yxy=+=，22(,)|(1)1Bx yxy=+=，则AB中元素的个数为 13已知()4e4xafxx=有两个极值点，则实数a的取值范围为 14如图，在矩形ABCD中，24ABAD=，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将AEH，BEF，CFG，DGH分别沿EH，EF，FG，GH把

8、这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，Q为MN的中点，则多面体MNEFGH的体积为 ；若点P是该多面体表面上的动点，满足PQON时，点P的轨迹长度为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，小题，第第 1515 小题小题 1313 分，第分，第 1616、1717 小题小题 1515 分，第分，第 1818、1919 小题小题 1717 分，分，共共 77 分解分解试卷第 4 页，共 6 页 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 四、解答题四、解答题 15记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知

9、sinsinsinsinabCBcAB+=(1)求角A；(2)若6a=，点M为ABC的重心，且2 3AM=，求ABC的面积 16为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取 3 人做问卷调查.已知某单位有 N 名员工，其中25是男性，35是女性.(1)当20N=时，求出 3 人中男性员工人数 X的分布列和数学期望；(2)我们知道，当总量 N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从 N 名员工（男女比例不变）中随机抽取 3 人，在超几何分布中男性员工恰有 2 人的概率记作1P；有二项分布中（即男性员工的人数235XB,）男性员工恰有

10、 2 人的概率记作2P.那么当 N 至少为多少时，我们可以在误差不超过 0.001（即120.001PP）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：57824.04）试卷第 5 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 17在三棱柱111ABCABC中，11AB是1AC和11BC的公垂线段，1AB与平面ABC成60角，2 2AB=，12 3A AAC=(1)求证：AB平面1ABC；(2)求1A到平面ABC的距离；(3)求二面角1AACB的大小 18已知函数2()ln(R)f xxaxaa=+，()ln(R)mg xxmx=+(1)当1m=时，求函数()yg x=的最小值；(2)是否存

11、在1230 xxx时，函数()f x有两个零点12,x x，是否存在1221xxaa+的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系 试卷第 6 页，共 6 页 19点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列过曲线3:C yx=上的点()111,P x y作曲线C的切线1l与曲线C交于()222,P xy，过点2P作曲线C的切线2l与曲线C交于点()333,P xy，依此类推，可得到点列：()111,P x y，()222,P xy，()333,P xy，(),nnnPxy，已知11x=(1)求数列 nx、ny的通项公式；(2)记点nP到直线1nl+（即直线12nnP P+）的距离为nd，（

12、I）求证：1211149nddd+；（II）求证：1211181192nnddd+，若n值()*0,Nnn与（I）相同，则求此时12111nddd+的最小值 答案第 1 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案：参考答案：1A【分析】求出12zz的代数形式，再根据实部为零，虚部不为零列式计算.【详解】()()()121 2i2i422izzaaa+=+,因为12zz是纯虚数，所以40220aa+=，解得4a=.故选：A.2B【分析】根据题意进行转化2222111()()222abcababab+=+，利用完全平方式的性质即可得解.【详解】由221abc+可得：22221111()

13、()2222abcababab+=+，当12ab=时取等号，所以abc+的最小值为12.故选：B 3C【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差，再求出310aa，进而根据通项公式可得项数.【详解】设等差数列 na的公差为d，则511111145115546aadaSaad=+=+=+=，解得1132ad=，所以()()()31011299545aaadad=+=，令()()11132145naandn=+=，得30n=，即310aa是 na中的第 30 项.故选：C.4D 答案第 2 页，共 16 页【分析】依题意可得22222222223456892710CCCCCCC

14、CCa=+，再根据组合数的性质计算可得.【详解】因为二项式()1nx+展开式的通项为1CrrrnTx+=（0rn且Nr），又()()()231021001210111xxxaa xa xa x+=+，所以22222222223456892710CCCCCCCCCa=+3222222223345678910CCCCCCCCC=+32222222445678910CCCCCCCC=+32310101111 10 9CCC1653 2 1=+=.故选：D 5A【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.【详解】sin 2sin 236yxx=+=+，则把函数sin2yx=图象上所有的点向左平移6个单

15、位即可，故选：A.6D【分析】赋值：令0ab代入可得(0)0f=，令,=ax bx代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在(,)m m的单调性.【详解】对 A，令0ab，则22(0)(0)1(0)fff=，3(0)(0)2(0)fff=，即2(0)(0)10ff+=，故(0)0f=，所以 A 不正确；对 B，取,=ax bx代入：()()()()(0)1()()1()()f af bf xfxff a f bf x fx+=，即()()f xfx=，即()f x在(,)m m上为奇函数，设1212,0 x xxxm，且21()0,()0f xf x，故：21212121()()

16、()()()1()()f xf xf xfxf xxf xf x=+=+2121()1()()0f xxf xf x=+即：21()()f xf x，故 B 错误；对 C，由 B 知函数在()0,m上单调递增，故 C 错误；对 D，由 C 结合函数为奇函数且(0)0f=，所以()f x在(,)m m上单调递增，故 D 正确.故选：D.7D【分析】由椭圆离心率为32列式求得参数a，进一步将抛物线方程化为标准方程即可得焦点坐标.【详解】因为椭圆221(1)xyaa+=的离心率为32，所以1312a=，解得4a=，则抛物线2yax=的标准方程为214xy=，它的焦点坐标为10,16.故选：D.8B【

17、分析】设出 M 的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点 M 的轨迹方程；利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰11AB的方程，分别令0y=和1y=求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形1111DCBA面积，利用基本不等式求出其最小值【详解】建立如图所示坐标系，设()()()0,2,0,M x yB xEb，显然直线 l的斜率存在，故不妨设直线 l的方程为ykxb=+，由题意得 B与B关于直线 l对称，所以00212BBxkkxk=，又BB的中点0,12x在直线 l上，故2

18、014xb=+，由于EMEBEB=+，得()()()00,0,22xxx ybbxbyb=+=，答案第 4 页，共 16 页 将02xxyb=代入得214xy=+，由每次翻折后点B都落在边AD上，所以002x，即02x，所以点 M的轨迹方程214xy=+，（02x），所以曲线T的方程为214xy=+，()22x，设梯形1111DCBA的面积为 S，点 P 的坐标为()2,1024ttt+，根据等腰梯形和抛物线的对称性得，点 Q的坐标为()0,1，直线11BC的方程为1y=对于214xy=+，则2xy=，所以2x tty=，所以直线11AB的方程为()2142ttyxt+=，即：21124tyx

19、t=+，令0y=，得242txt+=，所以214,02tAt+，令1y=，得2tx=，所以1,12tB，所以214222 22 22ttSttt+=+=+，当且仅当2tt=，即2t=时，取等号且(20,2，所以2t=时，梯形1111DCBA的面积最小值为2 2，故选：B 【点睛】关键点点睛：把梯形1111DCBA的面积表示为关于 t的函数，利用基本不等式求函数的最值 9BCD 答案第 5 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司【分析】对于 A：根据互斥事件的概念判断；对于 B：求出()()(),P EGP E P G，判断()()(),P EGP E P G是否相等即可；对于 C：分从甲

20、盒中取出的是红球和从甲盒中取出的是白球两种情况来求概率；对于 D：根据条件概率的公式求解.【详解】对于 A，事件F与G不是互斥事件，A 错误；对于 C，()1111331566221115CCCCCCCC1330P G=+=，故 C 正确；对于 D，()()()3316|3255P EGP G EP E=，故 D 正确；对于 B，因为()3335610P EG=，()()3131353050P E P G=，则()()()P EGP E P G，所以事件 E 与事件 G不相互独立，故 B 正确 故选：BCD.10BCD【分析】首先将向量的数量积转化为cos2bcA=，再根据余弦定理和基本不等式

21、，三角形的面积公式，即可求解.【详解】coscos224AB ACAB ACAbcAa=，故 A 错误；根据余弦定理2222cosabcbcA=+，则2222cos448bcabcA+=+=+=，故 B 正确；由 A 知，22241cos2Abcbc=+，()0,A，则03A，故 C 正确；112sinsintan22cosSbcAAAA=，03A，当3A=时，ABC面积的最大值为3，故 D 正确.故选：BCD 11ACD【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于 A，0=时，F与1A重合，故只需验证1AC 面1BDA是否成立即可，对于 B，由11AB不与平面BDE平行，即点F到面BDE的距离不为

22、定值，由此即可推翻 B，对于 C，考虑两种极端情况的线面角，由于F是连续变化的，故AC与平面BDF所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于 D，求出平面BDF的法向量，而显然球心坐标为()1,1,1O，求出球心到平面BDF的距离，然后结合球的半径、勾股定理可 答案第 6 页，共 16 页 得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积.【详解】如图所示建系，()()()()()110,0,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,2DBAAC，所以()()()112,2,0,2,0,2,2,2,2DBDAAC=，从而111440,440ACDBACDA=+=+=，所以111,ACDB ACDA

23、，又11,DBDAD DB DA=面1BDA，所以1AC 面1BDA，0=时，F与1A重合，平面BDF为平面1BDA，因为1AC 面1BDA，1AC平面BDF，A 对.11AB不与平面BDE平行，F到面BDE的距离不为定值，三棱锥FBDE的体积不为定值，B 错.设面1BDA的法向量为()1111,nx y z=，则1111111220220n DBxyn DAxz=+=+=，令11x=，解得111,1=yz，即可取()11,1,1n=，而()2,2,0AC=，所以AC与平面BDF所成角的正弦值为11146cos,32 23AC nAC nACn=，又()()12,2,0,0,0,2BDBB=，

24、答案第 7 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 所以1440,0AC BDAC BB=，所以1,ACBD ACBB，又11,BDBBB BD BB=面1DBB，所以AC 面1DBB，当F在1A时，AC与平面BDF所成角的正弦值为6332，所以存在0,1使AC与平面BDF所成角为3，C 正确.()()()0,0,0,2,2,0,2,2,2DBF，设平面BDF的法向量为()0220,22200n DBxynx y zxyzn DF=+=+=，不妨设1x=，则()()1,1,1,1,1,2,2,0yznAC=.23=，则42,23F，平面BDF的法向量11,1,3n=，显然球心()1,1,

25、1O，O到面BDF的距离1191919OD ndn=，外接球半径44432R+=，截面圆半径的平方为2225619rRd=，所以25619Sr=，D 对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：判断 D 选项的关键是利用向量法求出球心到截面BDF的距离，由此即可顺利得解.122【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系的判定，即可求解.【详解】由圆22(1)1xy+=，可得圆心()1,0M，半径为1r=，答案第 8 页，共 16 页 则圆心()1,0M到直线2xy+=的距离1 22122d=，可得直线与圆相交于两个公共点，所以AB的元素的个数为 2.故答案为：2.133e(,)27+【分析】经求导转化

26、可知，函数()4e4xaf xx=有两个极值点，等价于函数ya=与3(e)xg xx=的图象有两个交点.，故只需研究函数3(e)xg xx=的图象即可求得参数范围.【详解】由()4e4xaf xx=求导，3()exfxax=，由()0fx=可得：3exax=，因0 x=不满足此式，故可得：3exax=，则函数()4e4xaf xx=有两个极值点，即函数ya=与3(e)xg xx=的图象有两个交点.由3(e)xg xx=求导，()()43 exxgxx=，则当0 x 时，()0g x，当03x时，()0g x时()0g x，则函数3(e)xg xx=在(,0)和(0,3)上是减函数，在(3,)+

27、上是增函数，故3x=时，()g x取得极小值3e27.且当x 时，()0g x，当x从 0 的左边趋近于 0 时，()g x ，当x从 0 的右边趋近于 0 时，()g x +，当x +时，()g x +.故可作出函数3(e)xg xx=的图象如图.由图可知：函数ya=与3(e)xg xx=的图象有两个交点等价于3e27a.故答案为：3e(,)27+.14 2 2 22 2+【分析】根据给定的几何体，证明EG 平面MNFH，求出四棱锥EMNFH的体积即可；答案第 9 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 证明点P所在平面平行于平面MEG，作出过点Q与平面MEG平行的几何体的截面，求出其

28、周长作答.【详解】连接,EG ON，有EGFH，而2NGNE=，O为EG中点，则有ONEG，ONFHO=，则EG 平面OFN，同理EG 平面OHM，又平面OFN与平面OHM有公共点O，于是点,M N F H共面，而2228NGNEGE=+=，即有NGNE，122ONEGNFHM=，因为NFNG，NFNE，,NGNEN NG NE=平面NEG，则NF 平面NEG，又ON 平面NEG，即有NFON，则45NOFNFO=，同理45OHM=，即NOFOHM=，从而/ONHM，即四边形ONMH为平行四边形，/MNHF，2MNOH=，等腰梯形MNFH中，高sin451OQNF=，其面积()(24)1322

29、MNFHMNFHOQS+=，显然EG 平面MNFH，所以多面体MNEFGH的体积11222322 233E MNFHMNFHVVOES=；因为NF 平面NEG，同理可得HM 平面MEG，又/ONHM，则ON 平面MEG，依题意，动点P所在平面与ON垂直，则该平面与平面MEG平行，而此平面过点Q，令这个平面与几何体棱的交点依次为1,P Q T S R，则11/,/,/,/PQEM QTMG TSNFPR RSEG,又Q为MN的中点，则点1,P T S R为所在棱的中点，即点P的轨迹为五边形1QPRST，长度为：111()2QPPRRSSTTQMENFEGNFMG+=+1(222 222)22 2

30、2=+=+.故答案为：2 2；22 2+【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借 答案第 10 页，共 16 页 助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.15(1)3A=(2)9 3 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解;（2）根据重心的性质可得3 3AD=，进而根据余弦定理可得36bc=，由面积公式即可求解.【详解】（1）因为sinsinsinsinabCBcAB+=，由正弦定理可得abcbcab+=，整理得222bcabc+=，由余弦定理可得2221cos22bcaAbc+=又因为(

31、)0,A，所以3A=（2）设AM的延长线交BC于点D，因为点M为ABC的重心，所以点D为BC中点，又因为2 3AM=，所以3 3AD=在ABC中，由222bcabc+=和6a=，可得2236bcbc=+在ABD和ACD中，有coscosADBADC=，由余弦定理可得()()22222233 333 32 3 3 32 3 3 3cb+=故2272bc+=，所以2236723636bcbc=+=，所以ABC的面积为11sin36 sin9 3223bcA=16(1)分布列见解析，数学期望为65(2)N至少为 145 时，我们可以在误差不超过 0.001（即120.001PP）的前提下认为超几何分

32、布近似为二项分布 答案第 11 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.【详解】（1）当20N=时，男性员工有 8 人，女性员工有 12 人.X服从超几何分布，0,1,2,3X=，()312320C220110C114057P X=，()12812320C C528441C114095P X=，()21812320C C336282C114095P X=，()38320C56143C1140285P X=，X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1157 4495

33、 2895 14285 数学期望为()11442814601235795952855E X=+=.（2）()()()()212355131232CC111855551C2512126NNNNNNNNPNNN NN=，22232336C0.28855125P=，由于120.001PP，则()()211850.2880.0012512NNNN，即()()211828950.28925121000NNNN=，即()()2128925289512100018720NNNN=，由题意易知()()120NN，从而()()27201289125NNNN，化简得21475780NN+，又0N，于是578147

34、NN+.答案第 12 页，共 16 页 由于函数578yxx=+在57824.04x=处有极小值，从而578yNN=+当25N 时单调递增，又578142146.07147142+.因此当143N 时，符合题意，而又考虑到25N和35N都是整数，则N一定是 5 的整数倍，于是145N=.即 N 至少为 145，我们可以在误差不超过 0.001（即120.001PP）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.17(1)证明见解析；(2)3；(3)3 2arctan2 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得；（2）由已知，作1AOBC于O，则可得1AO即为1A到平面ABC的距离，计算可得；（3）过O作

35、OHAC，则1AHO为二面角1AACB平面角，由三角函数定义可得二面角的大小【详解】（1）三棱柱111ABCABC中11AB是1AC与11BC的公垂线段，ABBC，1ABAC又111ACABA=，AB平面1ABC（2）AB 平面ABC，AB平面1ABC 平面ABC平面1ABC，作1AOBC垂足为O，则1AO 平面ABC，答案第 13 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 1ABC为1AB与平面ABC所成角，即160ABC=，在1RtA AB中，11282AB=，2BC=，12AC=，O为BC中点13AO=，即1A到平面ABC的距离为3（3）过O作OHAC，垂足为H，连接1AH，由三垂线

36、定理可得1ACAH，1AHO为二面角1AACB平面角，在ABC中解得63OH=，在1OAH中解得113 2tan2AOAHOOH=，二面角1AACB大小为3 2arctan2 18(1)1(2)答案见解析，证明见解析(3)存在，证明见解析 【分析】（1）代入1m=，再对()f x求导，并研究其单调性，可得答案；（2）利用等差中项建立等式，结合等比中项以及对数运算律化简等式，根据分类讨论思想，可得答案；（3）先分析()f x的单调性，结合零点存在定理得到1201xx，再构造函数2(1)()ln1xF xxx=+，利用导数研究其单调性，建立关于12,x x a的不等式，整理可即可得解.【详解】（1

37、）当1m=时，1()lng xxx=+，()21xgxx=，当01x时，()0gx时，()0gx，则()g x在()1,+上单调递增，所以min()(1)1g xg=（2）要证()1g x，()2g x，()3g x依次成等差数列，只需证132132lnln2 lnmmmxxxxxx+=+，整理可得1322132112ln0 x xmxxxx+=，由123,x xx依次成等比数列，则2132x xx=，答案第 14 页，共 16 页 所以1321120mxxx+=当0m=时，上式显然成立；当0m 时，则1321120 xxx+=，整理可得()132132x xxxx=+，由123,x xx依次

38、成等比数列可得()222132xxxx=+，则2132xxx=+，代入2213xx x=得：()2130 xx=与题意1230 xxx，1a，所以11()=axfxaxx，当10 xa，()f x单调递增，当1xa时，()0fx时，22(1)ln111024faaa=+=恒成立，当x趋于 0 时，()f x趋于无穷小；当x趋于无穷大时，()f x趋于无穷小；所以()f x在()()0,1,1,+上各有一个零点，不妨设1201xx，则211lnxaxa=，222lnxaxa=设函数2(1)()ln1xF xxx=+，则(1)0F=，22214(1)()0(1)(1)xF xxxx x=+，所以(

39、)F x在()0,+上单调递增，故当(0,1)x时，()0F x，即2(1)ln1xxx，即2(1)ln1xxx+，所以()1211211xaxax+，所以()()()()()()221112221210121axaxxaxaxx+，答案第 15 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 整理可得：()()()222121220a xxaaxx+，所以1221xxaa+【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归

40、思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x=分离变量得出()ag x=，将问题等价转化为直线ya=与函数()yg x=的图象的交点问题.19(1)1(2)nnx=，()18nny=；(2)（I）证明见解析；（II）证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线方程求出切点的坐标，进而可得出数列 nx、ny的通项公式；（2）（I）求出直线1nl+的方程，利用点到直线距离公式求出nd，再利用等比数列秀n和公式求解即得；（II）根据（I）再结合指数函数的性质即可得解

41、.【详解】（1）曲线C上点(),nnnPxy处的切线nl的斜率为23nnx xnkyx=，故得到的方程为()23nnnyyxxx=，联立方程()3233nnnnnyxyyxxxyx=，消去 y得：323320nnxxxx+=，化简得：()()220nnxxxx+=，所以：nxx=或2nxx=，由nxx=得到点nP的坐标(),nnxy，由2nxx=就得到点1nP+的坐标()()32,2nnxx，所以：12nnxx+=，答案第 16 页，共 16 页 故数列 nx为首项为 1，公比为2的等比数列，所以：1(2)nnx=，()18nny=；（2）（I）由（1）知：()1(2),(8)nnnP+，()

42、112(2),(8)nnnP+，所以直线nl的方程为：()11(8)(8)(8)(2)(2)(2)nnnnnnyx+=，化简得：3 42(8)0nnxy =，()111132223 4(2)(8)2(8)27 827 89.23 29 413 4(1)nnnnnnnnnnnd =，1214 1211118181411199292912nnnddd+=；（II）2131211111119222nnddd+2111221811199212nn=，与（I）中相同，当1n=时，此时最小值为49【点睛】思路点睛：利用导数求函数()yf x=在其上一点()00,xy处的切线方程的基本步骤如下：（1）对函数求导得()fx；（2）计算切线的斜率()0kfx=；（3）利用点斜式写出切线方程.