湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷含答案.pdf
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1、武昌区武昌区 2024 届高三年级届高三年级 5 月质量检测月质量检测数学数学本试题共本试题共 19 题,满分题,满分 150 分,考试用时分,考试用时 120 分钟分钟一一、选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若复数z满足1 iiz,则z的虚部为()A.i2B.i2C.12D.122.已知二项式2nxx展开式的二项式系数的和为 64,则()A.5n B.8n C.2nxx展开式的常数项为20D.2nxx的展开式中各项系数的和为 13.已知xR
2、,向量,2,2,1axb,且ab,则ab在a上的投影向量为()A.5B.5C.1,2D.2,14.已知等差数列 na的前n项和为nS,若399,81SS,则12S()A.288B.144C.96D.255.已知函数 f xx x,则关于x的不等式21fxfx的解集为()A.1,3B.1,3C.1,13D.11,36.灯笼起源于中国的西汉时期,两千多年来,每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼,营造一种喜庆的氛围.如图 1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面的一部分(除去两个球缺).如图 2,“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分,截得的圆面叫做球
3、缺的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为233VRh h,其中R是球的半径,h是球缺的高.已知该灯笼的高为 40cm,圆柱的高为 4 cm,圆柱的底面圆直径为 24 cm,则该灯笼的体积为(取3)()A.32000cm3B.33664 cm3C.33792 cm3D.35456 cm37.已知抛物线2:20C ypx p的焦点为F,过F作直线交抛物线C于,A B两点,过,A B分别作准线l的垂线,垂足分别为,M N,若AFM和BFN的面积分别为 8 和 4,则MFN的面积为()A.32B.16C.8 2D.88.设1120241012112 e1,e1,sinta
4、n20242024abc,则()A.bacB.cbaC.abcD.bca二二、选择题选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,有多项符合有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分分.9.下列说法正确的是()A.将一组数据的每一个数减去同一个数后,新数据的方差与原数据方差相同B.线性回归直线ybxa$一定过样本点中心,x yC.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中,残差分布的水平带状区域的宽度
5、越窄,其模型的拟合效果越好10.下列说法正确的是()A.若22acbc,则abB.baab的最小值为 2C.,0,bbmab maam D.221sin1sin1xx 的最小值为 211.已知无穷数列 na中,12,ma aa是以 10 为首项,以2为公差的等差数列,122,mmmaaa是以12为首项,以12为公式的等比数列*3,Nmm,对一切正整数n,都有2nmnaa+=.设数列 na的前n项和为nS,则()A.当3m 时,1218aB.当232a 时,8m C.当20244a时,10m D.不存在m,使得2024331396mS成立三、填空题:本题共三、填空题:本题共 3 小题,每小题小题
6、,每小题 5 分,共分,共 15 分分.12.已知函数21fx的定义域为1,1,则函数1fx的定义域为_.13.函数 2sin 21f xx的部分图象如图所示,则_.14.已知动点,P x y的轨迹方程为2222440 xyxym,其中1,4m,则258164xy的最小值为_.四、解答题:本题共四、解答题:本题共 5 小题,共小题,共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC中,角,A B C的对边分别为,a b c,已知2coscos0acBbC.(1)求B;(2)已知3b,求122ac的最大值.16.如图,在四棱锥PABCD中
7、,平面PAC 平面ABCD,/AD BC,2ABADCD,4BC.(1)证明:ABPC;(2)若PAPCAC,求平面BPC与平面PCD的夹角的余弦值.17.已知函数2()(2)lnf xaxaxx.(1)讨论 f x的单调性;(2)若 f x有两个零点,求a的取值范围.18.已知点P是圆22:116Exy上的动点,1,0F,M是线段EP上一点,且PMMF,设点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设不过原点的直线l与C交于,A B两点,且直线,OA OB的斜率的乘积为34.平面上一点D满足OAAD,连接BD交C于点N(点N在线段BD上且不与端点重合).试问NAB的面积是否为定值?若是,求出
8、定值;若不是定值,说明理由.19.利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数,例如将0.31化为分数是这样计算的:设0.31x,则31.31100 x,即31100 xx,解得310.3199.这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法,这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,每局比赛的结果互不影响.规定:净胜m局指的是一方比另一方多胜m局.(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好 4 局结束比赛的概率;(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜3,2,1,0,1,2,3i
9、i 局.设甲在净胜i局时,继续比赛甲获胜的概率为iP,比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为iX,期望为iE X.求甲获胜的概率0P;求0E X.武昌区武昌区 2024 届高三年级届高三年级 5 月质量检测月质量检测数学数学本试题共本试题共 19 题,满分题,满分 150 分,考试用时分,考试用时 120 分钟分钟一一、选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若复数z满足1 iiz,则z的虚部为()A.i2B.i2C.12D.12【答案
10、】D【解析】【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.【详解】i 1 ii1 i11i1 i1 i 1 i222z ,则11i22z ,则其虚部为12,故选:D.2.已知二项式2nxx展开式的二项式系数的和为 64,则()A.5n B.8n C.2nxx展开式的常数项为20D.2nxx的展开式中各项系数的和为 1【答案】D【解析】【分析】根据二项式系数和可得 n,化简通项公式,由 x 的指数为 0 求出 k,然后可得常数项,再令1x 即可判断 D.【详解】由题可知,264n,则6n.则 AB 错误;62xx展开式中的第1k 项为66 21662C(1)2 CkkkkkkkkTxxx.
11、令620k,得3k,则3336 64612C160Tx ,故 C 错误;令1x 得62111,则62xx的展开式中各项系数的和为 1,故选:D.3.已知xR,向量,2,2,1axb,且ab,则ab在a上的投影向量为()A.5B.5C.1,2D.2,1【答案】C【解析】【分析】借助向量垂直可得1x,结合投影向量定义计算即可得解.【详解】由ab,则有220 a bx,即1x,则3,1ab,故2222321,21212abaaaaaa.故选:C.4.已知等差数列 na的前n项和为nS,若399,81SS,则12S()A.288B.144C.96D.25【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前n项和
12、列方程组求出1,a d,进而即可求解12S.【详解】由题意31913 23929 89812SadSad,即11349adad,解得112ad.于是1212 1112 121442S.故选:B.5.已知函数 f xx x,则关于x的不等式21fxfx的解集为()A.1,3B.1,3C.1,13D.11,3【答案】A【解析】【分析】消去绝对值可得函数的单调性,利用函数单调性解不等式即可得.【详解】由 22,0,0 xxf xx xxx,故 f x在R上单调递增,由21fxfx,有21xx,即13x.故选:A.6.灯笼起源于中国的西汉时期,两千多年来,每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼,
13、营造一种喜庆的氛围.如图 1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面的一部分(除去两个球缺).如图 2,“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分,截得的圆面叫做球缺的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为233VRh h,其中R是球的半径,h是球缺的高.已知该灯笼的高为 40cm,圆柱的高为 4 cm,圆柱的底面圆直径为 24 cm,则该灯笼的体积为(取3)()A.32000cm3B.33664 cm3C.33792 cm3D.35456 cm3【答案】B【解析】【分析】由勾股定理求出R,则可得h,分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间
14、完整的球的体积与球缺的体积即可得.【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为40 832 cm,则32162Rhcm,由圆柱的底面圆直径为 24 cm,则有22212RhR,即2221612R,可得20R,则4h,23242+22 4 12202604433VVVV 圆柱球球缺345632000 179233664.故选:B.7.已知抛物线2:20C ypx p的焦点为F,过F作直线交抛物线C于,A B两点,过,A B分别作准线l的垂线,垂足分别为,M N,若AFM和BFN的面积分别为 8 和 4,则MFN的面积为()A.32B.16C.8 2D.8【答案】C【解析】【分析】设直线:2pAB xmy代入
15、抛物线方程,利用韦达定理,计算,AFMAFNSS,相乘化简可得241281mp,由三角形面积公式可得2218 2M FNSpm.【详解】设直线:2pAB xmy,代入抛物线方程,消元可得2220ypmyp,设221212,22yyAyBypp,则21212,2y ypyypm,211111822 22AFMypSAMyyp,222211422 22BFNypSBNyyp,22122212122114444AFMBFNy ypSSyyy yp422222211424 444pppmppp4214pm,于是4218 4324AFMBFNpSSm,即241281mp,2222121212412841
16、8 222MFNppSyyyyy ypmpp.故选:C.8.设1120241012112 e1,e1,sintan20242024abc,则()A.bacB.cbaC.abcD.bca【答案】A【解析】【分析】本题利用作差法构造出两个式子相减类型的函数,然后求导求得其在(0,)上的单调性,从而求得该函数是大于 0 还是小于 0,从而可判断 a、b 的大小关系;用同样的方法进一步构造函数并求导来比较a、c 的大小关系,最终确定 a、b、c 的大小关系.【详解】令 2e12 e1xxh x ,易求 00h,当x0时,22e2e0 xxh x,所以 h x在(0,)单调递增,所以 00h xh,所以
17、102024h,即1202410121e1 2 e102024h,所以ba.令 2 e1sintan,0,6xf xxx x,则21()2ecos,(0,)cos6xfxxxx,令 ,0,6g xfxx,则32sin()2esincosxxg xxx,因为(0,)6x,则,132e2,0sin,cos22xxx1,可得33122sin82cos3 332xx2,则11()2222g x0,所以()g x在(0,)6内单调递增,则()(0)0g xg,即()0fx在(0,)6内恒成立,则()f x在(0,)6内单调递增,可得1()(0)02024ff,即12024112 e1sintan2024
18、2024,所以ac,综上所述:bac故选:A.【点睛】关键点点睛:本题的关键是合理构造函数,利用导数研究其单调性,然后再代入比较相关大小关系.二二、选择题选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,有多项符合有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分分.9.下列说法正确的是()A.将一组数据的每一个数减去同一个数后,新数据的方差与原数据方差相同B.线性回归直线ybxa$一定过样本点中心,x yC.线性相关系数r越大,两个
19、变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,其模型的拟合效果越好【答案】ABD【解析】【分析】借助方差的性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得.【详解】对 A:由方差的性质可知,将一组数据的每一个数减去同一个数后,新数据的方差与原数据方差相同,故 A 正确;对 B:由aybx$,故线性回归直线ybxa$一定过样本点中心,x y,故 B 正确;对 C:线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强,故 C 错误;对 D:在残差的散点图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,其模型的拟合效果越好,故 D 正确.故选:ABD.10.下列说法正
20、确的是()A.若22acbc,则abB.baab的最小值为 2C.,0,bbmab maam D.221sin1sin1xx 的最小值为 2【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性质及基本不等式,以此判断选项即可.【详解】对于 A,若22acbc,则ab,A 正确;对于 B,2baab或2baab,因为ba不知道和0的大小关系,B 错误;对于 C,若,0ab m,则b ama bmm babbmaama ama am,而0m ba,但是a am与0的大小不能确定,故 C 错误;对于 D,221sin12sin1xx,当且仅当221sin1sin1xx,即sin0 x 取等号,D 正确.故选:
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