山东省德州市2024届高三下学期三模数学试题含答案.docx

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1、 山东省德州市2024届高三下学期三模数学试题高三数学试题2024.5本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第I卷13页，第卷34页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第I卷选择题（共58分）一选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.设集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知两个非零向量满足，则（ ）A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A.35 B.21 C.

2、14 D.74.某学习小组共有9名学生，其中有5名女生，现随机从这9名学生中抽取2名任小组组长，表示“抽到的2名学生都是女生”，表示“抽到的2名学生性别相同”，则（ ）A. B. C. D.5.已知复数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知点为圆上一动点，点满足，记点的轨迹为.直线上有一动点，直线与相切于点，则的最小值为（ ）A.2 B. C. D.7.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）A. B. C. D.8.双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点

3、.若双曲线的左右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.二多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：星期一二三四五六日时长（分钟）6015030601090120则（ ）A.运动时长的众数为60 B.运动时长的平均数为60C.运动时长的分位数为60 D.运动时长的极差为14010.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，则（ ）A.当时，点到平面的距离为B.当时，二面角的余弦值为C.若四

4、棱锥的各顶点均在同一个球面上，则此球体积的最小值为D.若四棱锥为正四棱锥且，则该四棱锥内切球的半径为11.曲线上存在两个不同点，若在这两点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列曲线中存在“自公切线”的为（ ）A. B.C. D.第II卷非选择题（共92分）三填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小2，则_.13.设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为_.14.数列中，设是函数且的极值点，则的整数部分为_.四解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知函数

5、.（1）当时，求曲线在点处切线的方程；（2）若时，函数存在极值点，且恒成立，求实数的取值范围.16.（本小题满分15分）如图，在多面体中，平面，且为的中点，连接，点满足.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）如图，四边形中，.（1）若，求的长度；（2）若，求面积的取值范围.18.（本小题满分17分）某学校为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康的生活和学习，组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，现将该学校1500名学生一周的体育运动锻炼时间（单位：小时）统计如下表所示，其中每周的锻炼时间在6小时以上（包含6小时）的有975人.每周锻炼时间（单位

6、：小时）频率0.20.30.1（1）为了了解学生参与活动的情况，从每周锻炼时间在三组内的学生中，采取分层抽样的方法抽取了14人，现从这14人中随机抽取3人，记每周锻炼时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；（2）以样本的频率估计概率，从每周锻炼时间在内的学生中随机抽取20人，这20人中每周锻炼时间在内的学生最可能有多少人？19.（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，左顶点为，且为坐标原点.（1）若直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，过点作斜率为的直线，直线与椭圆的另一个交点为，与直线的交点为，过点作直线的垂线，求证：直线恒过定点；（2）过点分别作直线，直线与椭圆相切

7、于第三象限内的点，直线交椭圆于两点.若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由.高三数学试题参考答案一选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.D 8.B二多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.ACD 10.AC 11.ABD三填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 13. 14.四解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）15.解：（1

8、）当时，所以且所以切线斜率.所以切线方程为，即故曲线在点处切线的方程为（2）因为函数存在极值点所以，解得或当时，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减，因此在上单调递减，在上单调递增，因为，所以恒成立所以的最小值为故16.（1）证明：过作，交于点，过作，交于点，则，又，得，所以是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：由题意可知，在中，即，以中点为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，设平面的法向量为，则，不妨取，则，即，设直线与平面所成的角为，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.解：（1）在中，由余弦定理可得所以，所以，解得或（舍去），所以；（2）

9、-可得，在中，由正弦定理可得，可得，因为，所以，因为，所以所以因为，所以.18.解：（1）由每周锻炼时间在6小时以上（含6小时）的有975人得：，由题中统计表可知，每周锻时间在三组的频率之比为，所以14人中每周锻炼时间在6小时以上（含6小时）在）内的学生人数为，在内的学生人数为，在内的学生人数为，则的取值可能为，所以，所以的分布列为：0123所以数学期望.（或者由题可知，所以）（2）用样本频率估计概率，该校学生每周锻炼时间在内随机抽取20人，每周锻炼时间在内的概率，设每周锻炼时间在内的人数为，解得，所以当时，当时，所以当时，最大，即这20人中每周锻炼时间在内的学生最可能有7人.（注：由联立，相应得分）19.解：（1）由题意可知，解得.所以椭圆的方程为.联立可求得，设.设，则由得.则，又，所以由可得则即所以直线恒过定点.（2）直线与直线平行.证明如下：显然直线斜率存在，设直线方程为.由得.因为直线与椭圆相切，令解得或.因为直线与椭圆相切于第三象限内的点，所以舍去.所以，所以，所以，所以，直线斜率为直线的斜率不存在时，所以，不成立.设直线的方程为，由，得.直线交椭圆于两点.所以或.所以.，同理所以所以，解得或；因为或，所以.所以直线与直线平行.学科网（北京）股份有限公司