2024届长郡中学高三下学期模拟（三）数学试卷含答案.pdf

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1、试卷第 1 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 湖南省长沙市长郡中学湖南省长沙市长郡中学 20242024 届高三下学期模拟（三）数学试卷届高三下学期模拟（三）数学试卷 注意事项：注意事项：1本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。2答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径

2、对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的 1已知集合22150Axxx=N，cosBy yx=，则AB=（）A11xx B0,1 C1,0,1 D 1 2在ABC中，角,A B C的

3、对边分别是a，b，c，则“222sinsincos1ABC+”是“ABC是锐角三角形”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3若实数a，b，c满足2sin12a=，37b=，310c=，则（）Aabc Bbca Cacb Dbac在0,2上有且仅有 4 个零点，直线6x=为函数()yf x=图象的一条对称轴，则3f=（）A32 B12 C12 D32 5 如图，圆 O 内接一个圆心角为 60的扇形ABC，在圆 O内任取一点，该点落在扇形ABC内的概率为（）试卷第 2 页，共 6 页 A14 B34 C12 D32 6已知三棱锥VABC的外接球的体积为40

4、 3027，VA 平面ABC，22ABAC=，23BAC=，则三棱锥VABC的体积为（）A33 B63 C216 D306 7 过双曲线22:14xCy=的左焦点1F作倾斜角为的直线l交C于,M N两点 若113MFFN=，则cos=（）A1010 B3 1010 C2 55 D55 8数列 na的前n项和为()*1,nnnnSS ana+=N，则5622111iiiiaa=可以是（）A18 B12 C9 D6 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部

5、选对的得选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9若正实数,a b满足12abab+=，则（）A12b B有序数对()()*,a ba bN有 6 个 Cab+的最小值是124 3+D222241210abab+10“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战 2024 年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中 7 位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（）A平均数为 9.6 B众数为 10 C第 80 百分位数为 9.8 D方差为37350 11 已知平面/平面，

6、且均与球O相交，得截面圆1O与截面圆2,O O为线段12OO的中点，且122 3OO=，线段AB与CD分别为圆1O与圆2O的直径，则（）A若ABC为等边三角形，则球的体积为18 B若P为圆1O上AB的中点，ABAC，且ABAC=，则OP与AC所成角的余弦值为22 C若ABCD，且2 6AB=，则ACBD D若ABCD，且AC与BD所成的角为60，则球O的表面积为20或84 试卷第 3 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12在ABC中，2AMMB=，P是MC的中点，延长AP交BC于点D设A

7、B a =，ACb=，则AP 可用a，b表示为 ，若6AD=，3cos5BAC=,则ABC面积的最大值为 13已知12,F F是椭圆222:1xCya+=的左、右焦点，P是C上一点过点1F作直线1PF的垂线1l，过点2F作直线2PF的垂线2l 若12,l l的交点Q在C上（,P Q均在x轴上方)，且8 55PQ=，则C的离心率为 14已知函数()f x的定义域为R，且()()()()f xyf xyf x fy+=，()11f=，则()2024f=四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，小题，第第 1515 小题小题 1313 分，第分，第 1616、1717 小题小题 1515 分，

8、第分，第 1818、1919 小题小题 1717 分，分，共共 77 分解分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且()()cos12cosbCcB+=.(1)证明：2abc+=.(2)若6a=，9cos16C=，求ABC的面积.试卷第 4 页，共 6 页 16刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在40100分之间），并从参与者中随机抽取200人.根据调查结果

9、绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)据此估计这200人满意度的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有8个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球5个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额的20%；若摸到2个红球，返消费金额的10%，除此之外不返现金 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有16的概率享受8折优惠，有

10、13的概率享受9折优惠，有12的概率享受95折优惠.现小张在该超市购买了总价为1000元的商品 求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到0.1）试卷第 5 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 17已知数列 na的前 n 项和为nS，且()112nSn n=+.(1)求 na的通项公式；(2)若数列 nb满足21,2,nnnnana abn+=为奇数为偶数，求 nb的前2n项和2nT.18如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，对角线,AC BD交于点O，4OA=，3OB=，4,OPOP=底面AB

11、CD，,E F分别为侧棱,PB PD的中点，点M在CP上且2CMMP=(1)求证：,A E M F四点共面；(2)求直线PA与平面BDM所成角的正弦值 试卷第 6 页，共 6 页 19已知抛物线()220 xpy p=上的动点到其焦点的距离的最小值为14(1)求抛物线的方程；(2)过抛物线上一点()()001,0Ayy 作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足能1AEEC=；点G在线段BC上，满足2BGGC=，且121+=，线段CD与EG交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程(3)将向左平移13个单位，得到，已知()0,Rm，()()0,

12、0Qmm，过点R作直线l交于,M N设MRRN=，求QR QMQR QN 的值 答案第 1 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案：参考答案：1B【分析】根据题意，将集合,A B化简，然后结合交集的运算即可得到结果.【详解】25215030,1,2,32Axxxxx=NN，而11Byy=，故0,1AB=，故选：B 2B【分析】利用正弦定理和余弦定理可得cos0C，但,A B不一定为锐角；若ABC是锐角三角形可知满足222sinsincos1ABC+，即可得出结论.【详解】由ABC是锐角三角形，得02C，故2220abc+，即222sinsinsin0ABC+，即()222sin

13、sin1 cos0ABC+，可得222sinsincos1ABC+，即必要性成立；反之，若“222sinsincos1ABC+”可得222sinsincos10ABC+，即222sinsinsin0ABC+，可得2220abc+，可知cos0C，但角,A B可能为钝角，所以充分性不成立；故选：B 3A【分析】首先判断1a，12bc，即可判断.【详解】因为2sin2sin1126a=，又37b=，则37b=，且331782=，即12b=，所以cba.故选：A 4C【分析】以6x+为整体，根据题意结合零点可得23291212，且0,2x，则,2666x+，答案第 2 页，共 15 页 由题意可得：

14、4256+，解得23291212；对于 B，设*1an=N并证明n整除12，再验证12的全部因子即可；对于 C，直接证明124 3ab+即可否定；对于 D，给出12 3a=+，122 3b=+作为反例即可否定.【详解】对于 A，由已知正实数,a b满足12abab+=，有121ababbabbb+=，121212abababaaa+=，故 A 正确；对于 B，由于*aN，1a，故1a是正整数，设*1an=N，则()()()()12121211212abababn b=+=，所以1212bn=+.而*bN，故n整除12，得1,2,3,4,6,12n.验证知1,2,3,4,6,12n时，()12,

15、1,12a bnn=+都满足条件，所以符合条件的有序数对()()*,a ba bN有 6 个，故 B 正确；对于 C，由于()()()121212112ababab=+=，且1a，12b，从而()()()()13112132112132 12134 3124 3ababab+=+=+=+，答案第 5 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 当12 3a=+，122 3b=+时，等号成立，故 C 错误；对于 D，当12 3a=+，122 3b=+时，有()()1122 3 2 312ab=，故()()()12112120ababab+=，从而12abab+=.但此时()()22222241

16、211122412 12240ababab+=+=+=，故 D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是 C 选项中对基本不等式的适当运用.10ABD【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解.【详解】对于 A，平均数()19.1 9.39.49.69.8 10 109.67=+=，故 A 正确；对于 B，出现次数最多的数为 10，故 B 正确；对于 C，70.8=5.6，第 80 百分位数为第 6 位，即 10，故 C 错误；对于 D，方差为()()()()()()2222221379.1 9.69.39.69.49.69.69.69.89.62 109.67350+=，

17、故 D正确.故选：ABD.11BCD【分析】由ABC为等边三角形求出外接圆半径，再得到球的半径即可求出体积判断 A，利用中位线可得出OP与AC所成角为1OOP，解直角三角形即可判断 B，建立空间直角坐标系利用向量法证明垂直即可判断C，利用向量法由异面直线所成角求出圆半径r，再得出球半径即可判断 D.【详解】由球心O为线段12OO的中点，可知圆1O、圆2O的半径相同设球O的半径为R，圆1O与圆2O的半径为r.对于 A，由题意，222222222221114223,212,4RrACAOCOAOO OCOrABr=+=+=+=+=.因为ABAC=，所以222124rr+=，解得6r=（负值已舍去）

18、.所以2239Rr=+=，解得3R=（负值已舍去），所以34363VR=球，故 A 错误.对于 B，因为ABACA=，所以,A B C三点在同一平面内.因为点1,O O分别为线段,AB BC的中点，所以1OO为ABC的中位线，所以1ACOO，答案第 6 页，共 15 页 所以1OOP为OP与AC所成的角.因为ABAC=，所以111122OOACABPO=.又11POOO，所以145OOP=，所以12cos2OOP=，故 B 正确.对于 C，因为ABCD，所以以1O为原点，分别以AB，12OO所在直线为y轴、z轴，以圆1O中垂直于AB的直径所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图，则()()(

19、)()0,6,0,0,6,0,6,0,2 3,6,0,2 3ABCD，所以()()6,6,2 3,6,6,2 3ACBD=，所以()()66662 32 30AC BD=+=，所以ACBD，故 C 正确.对于 D，以1O为原点，以AB，12OO所在直线分别为y轴、z轴，以圆1O中垂直于AB的直径所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如上图，则()()()()0,0,0,0,0,2 3,0,2 3ArBrC rDr，所以()(),2 3,2 3ACr rBDrr=，所以222212212,212AC BDrrrACBDr=+=+=+，所以2222121cos,2212212AC BDrAC BD

20、ACBDrr+=+，解得2r=（负值已舍去）或3 2r=（负值已舍去）.当2r=时，球O的半径为()2235Rr=+=，所以球O的表面积2420SR=；当3 2r=时，球O的半径为()22321Rr=+=，所以球O的表面积2484SR=，故 D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：由于球的半径未知，直径AB与CD间的位置关系未知，本题解题关键在于借助空间向量可以化繁为简，充分体现了空间向量的工具作用.答案第 7 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 12 1132APab=+，258【分析】根据几何关系，表示向量AP；设APAD=，再利用平面向量基本定理表示BP，即可求解，再根据6

21、AD=，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解.【详解】由点P是MC的中点，则()1121122 332APAMACABACab=+=+=+；设APAD=，BDBC=，则()1111222323BPBCBMACABABba=+=，()BPAPABADABBDBAAB=，()()BCABABACABABAB =+=+，()()11ACABba=+=+，所以12213=，得56=,35=,所以56APAD=，即623555ADAPab=+，因为6AD=，所以222222349124936552525252525125ababa baba b+=+=+，63696225125125a ba ba

22、b+=，即966125a b，即12516a b，当2355ab=时，即35 3028ab=时等号成立，所以ABC面积的最大值为11251125425sin21621658BAC=.故答案为：1132APab=+；258.1332/132 答案第 8 页，共 15 页【分析】设(),P m n，可得12,l l的方程，联立方程求得22,mcQmn，结合对称性可知2165m=，进而列式求22,a c，即可得离心率.【详解】设(),P m n，()()12,0,0FcFc，由题意可知：,0mc n，则直线1PF的斜率1PFnkmc=+，可知1l的方程为()mcyxcn+=+，同理可得：2l的方程为

23、()mcyxcn=，联立方程()()mcyxcnmcyxcn+=+=，解得22xmmcyn=，即22,mcQmn，因为Q在C上，可知,P Q关于 x轴对称，且8 55PQ=，则8 525m=，可得2165m=，又因为22mcnn=，即22165cn=，由题意可得：22222216516511cnnaca=+=，整理得42516160aa=，解得24a=或245a=（舍去），则2213ca=，所以C的离心率为2232cceaa=.故答案为：32.【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c的等量关系或不等 答案第 9 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限

24、公司 关系，然后把 b 用 a，c 代换，求 e的值 141【分析】令1,0 xy=求()0f，令1xy=求()2f，令1y=得()()()11f xf xf x=+，通过迭代求周期，然后可解.【详解】令1,0 xy=，则()()()()()112110fffff+=，因为()11f=，所以()02f=，令1xy=，则()()()()2011ffff+=，得()21f=，令1y=，则()()()()()111f xf xf x ff x+=，即()()()11f xf xf x=+，所以()()()12f xf xf x=+，所以()()()()()11212f xf xf xf xf x=+

25、=+所以()()25f xf x+=+，所以()()15f xf x=+，即()()6f xf x=+，()f x是以 6 为周期的周期函数，所以()()()2024337 6221fff=+=，故答案为：1.15(1)证明见解析(2)15 74或135 716 【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可；（2）利用余弦定理及（1）的结论，三角形面积公式计算即可.【详解】（1）根据正弦定理知()()cos12cossincossin2sinsincosbCcBBCBCCB+=+=，整理得()sincossincossin2sinsinsin2sinBCCBBCBCBC+=+=，因为AB

26、C+=，所以()sinsinsinsin2sinABCABC=+=，由正弦定理可得2abc+=；答案第 10 页，共 15 页（2）因为9cos16C=，所以25 7sin1 cos16CC=，由余弦定理可得2222coscababC=+，即2227364cbb=+，则224144427cbb=+，因为6a=，所以62bc+=，所以2236 124bbc+=，则2214442736 12bbbb+=+，即213360bb+=，解得4b=或9b=，当4b=时，6a=，此时ABC的面积115 715 7sin4 622164SabC=，当9b=时，6a=，此时ABC的面积115 7135 7sin

27、6 9221616SabC=.所以ABC的面积为15 74或135 716.16(1)68(2)分布列见详解，()969.6E X；选择方案二更划算.【分析】（1）根据直方图估算平均数的方法直接计算即可；（2）先确定 X的取值，然后根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，再由期望公式求出期望；确定实际付款金额 Y 的值，然后根据所给概率写出分布列，即可计算出期望，通过比较期望大小即可作出判断.【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为：()0.01 450.02 550.025 650.025 750.015 850.005 951068+=.（2）摸到3个红球，返消费金额的20%，实际

28、付款为()1000 1 20%800=；摸到2个红球，返消费金额的10%，实际付款为()1000 1 10%900=，所以X的可能取值为800,900,1000，因为()()302135353388C CC C115800,900C56C56P XP X=，所以()11551000156567P X=，X的分布列为：X 800 900 1000 答案第 11 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 P 156 1556 57 所以()11558009001000969.656567E X=+（元）.若选择方案二，记实际付款金额为 Y，依题意，Y的可能取值为800,900,950，因为()

29、()()111800,900,950632P YP YP Y=，所以，Y的分布列为：Y 800 900 950 P 16 13 12 所以，()111800900950908.3632E Y=+（元）因为()()E XE Y，所以选择方案二付款更划算.17(1)nan=；(2)2nT144213nnn+=+.【分析】（1）根据,nna S的关系由：1nnnaSS=求解即可；（2）根据nb通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可.【详解】（1）当1n=时，111aS=.当2n 时，()()1111122nnnaSSn nn nn=+=，当1n=时，也符合nan=.综上，nan=

30、.（2）由21,2,nnnnna abn+=为奇数为偶数1 11,222,nnnbnnn=+为奇数为偶数 则()()21321242nnnTbbbbbb=+2421111111112222335572121nnn=+答案第 12 页，共 15 页()4 1 41112211 4nn=+144213nnn+=+，故 nb的前2n项和2nT144213nnn+=+.18(1)证明见解析(2)1010 【分析】（1）易知ACBD，由线面垂直的性质可得,OPAC OPBD，建立如图空间直角坐标系Oxyz，利用空间向量法证明2233AMAEAF=+，即可证明；（2）由（1）求出BM 的坐标，利用空间向量

31、法求解线面角即可.【详解】（1）因为平面ABCD是菱形，所以ACBD，由OP 平面ABCD，,AC BD 平面ABCD，得,OPAC OPBD，所以,OP OA OB两两垂直，建立如图空间直角坐标系Oxyz，(4,0,0),(0,3,0),(4,0,0),(0,3,0),(0,0,4)ABCDP，则33(0,2),(0,2)22EF，由2CMMP=，得48(,0,)33M，所以33168(4,2),(4,2),(,0,)2233AFAEAM=，则2233AMAEAF=+，所以,AM AE AF 共面，又直线,AM AE AF的公共点为A，所以,A E M F四点共面；（2）由（1）知，48(4

32、,0,4),(0,6,0),(,3,)33PADBBM=，设平面BDM的一个法向量为(,)nx y z=，则60483033n DByn BMxyz=+=，令1z=，得2,0 xy=，所以(2,0,1)n=，得410cos,104 25PA nPA nPA n=，答案第 13 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 即直线PA与平面BDM所成角的正弦值为1010.19(1)2xy=(2)()2123133yxx=(3)0 【分析】（1）根据抛物线的几何意义求出 p，即可求解；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，则D为AB的中点，利用平面向量的基本定理可证得P是ABC的重心，建立方程组，

33、即可求解；（3）易知直线l的斜率存在，设直线 l,()()1122,M x yN xy，联立抛物线方程，利用韦达定理，由MRRN=可得12xx=，结合平面向量的坐标表示求解QR QMQR QN 即可.【详解】（1）因为抛物线()220 xpy p=上的动点到其焦点的距离的最小值为14，所以124p=，解得12p=，故抛物线方程为2xy=；（2）由（1）知，2yx，则(1,1)A，2yx=，所以在点 A的切线方程为12(1)yx=，即21yx=，得1(,0),(0,1)2DB，所以D为AB的中点，得1211112222CDCACBCECG+=+=+，设()1,CPCECG CDkCP=+=，则(

34、)1CDk CEkCG=+，所以12121(1)2kk+=+=，两式相加得32k，即P是ABC的重心，答案第 14 页，共 15 页 设2000(,),(,)(1)P x y C x xx，则0022000 112()3331 133xxxxxxy+=+=，消去0 x，得21(31)3yx=，故点P的轨迹方程为212(31)()33yxx=；（3）由（2）知，2211:3()1333yxx=+=，易知直线l的斜率存在，设:l ykxm=+，()()1122,M x yN xy，23ykxmyx=+=，消去 y，得230 xkxm=，所以123mx x=，又MRRN=，则12xx=，解得1233

35、mxmx=或1233mxmx=，所以22112212(0,2)(,)(0,2)(,)2222QR QMQR QNmx ymmxymmmmymy=+=+，又21133()3myxm=，22233()3mmyx=，所以222212222222220mQR QMQR QNmmmymymmm mm=+=+=，即QR QMQR QN 的值为 0.答案第 15 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x xx+或1212,y yyy+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.