浙江省9+1高中联盟2022-2023学年高二上学期期中数学试题(含解析).docx
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1、浙江省9+1高中联盟2022-2023学年高二上学期期中数学试题(含解析)2022年学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1. 设集合,则等于( )A. B. C. D. 2. 若a,则“复数为纯虚数(是虚数单位)”是“”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 向量,分别是直线,的方向向量,且,若,则( )A. 12B. 14C. 16D. 184. 已知定义域为R的奇函数,满足,且当时,则的值为( )A.
2、 B. 0C. 1D. 25. 若圆锥的表面积为,其侧面展开图为一个半圆,则下列结论正确的为( )A. 圆锥的母线长为B. 圆锥的底面半径为C. 圆锥的体积为D. 圆锥的侧面积为6. 如图,在三棱锥中,且,E,F分别是棱,的中点,则EF和AC所成的角等于A. 30B. 45C. 60D. 907. 已知,则( )A. B. C. D. 8. 在正方体中,点P满足,且,直线与平面所成角为,若二面角大小为,则的最大值是( )A. B. C. D. 二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分每小题列出的四个备选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. 设
3、是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的有( )A. 若, ,则B 若,则C. 若,则D. 若,则10. 已知,对于,下述结论正确是( )A. B. C. D. 11. 已知为双曲线的两个焦点,为双曲线上任意一点,则( )A. B. 双曲线的渐近线方程为C. 双曲线的离心率为D. 12. 在正三棱锥中,分别为,的中点,若点是此三棱锥表面上一动点,且,记动点围成的平面区域的面积为,三棱锥的体积为,则( )A. 当时,B. 当时,C. 当时,D. 当时,三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13. 将函数的图象向右平移个单位长度后的图象过原点,则m的最小值是_.14. 若点在
4、幂函数的图象上,则的值为_.15. 已知四面体ABCD中,平面ACD,平面ABD,则四面体ABCD外接球的半径是_16. 已知,分别是椭圆左右焦点,P是椭圆C上一点,若线段上有且只有中点Q满足其中O是坐标原点,则椭圆C的离心率是_.四、解答题(本题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. 已知圆C的圆心在x轴上,且经过点,(1)求圆C的标准方程;(2)若过点的直线l与圆C相交于 两点,且,求直线l的方程.18. 已知函数(1)求函数的值域;(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数a的取值范围.19. 某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩单位:分进行分析,随机抽
5、取100名学生,将分数按照分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图:(1)估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数;(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况,由频率分布直方图,成绩在和的两组中,用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.20. 已知四棱锥中,(1)求证:(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.21. 在,这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知内角 的所对的边分别为,_.(1)若,求(2)求的最大值.22. 已知点P在圆上运动,过点P作x轴的垂线段P
6、Q,Q为垂足,动点M满足(1)求动点M的轨迹方程(2)过点的动直线l与曲线E交于A,B两点,与圆O交于C,D两点,(i)求的最大值;(ii)是否存在定点T,使得的值是定值?若存在,求出点T的坐标及该定值;若不存在,请说明理由.2022年学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1. 设集合,则等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式求出集合,再由补集和交集的概念计算即可.【详解】,或,则.故选:D.2. 若a,则“复数为纯虚数(是虚数
7、单位)”是“”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】复数为纯虚数,即,且,判断其与的推断关系.【详解】复数为纯虚数,等价于,且,且可推出,但,不一定得到,且,所以 “复数为纯虚数”是“”充分不必要条件故选:B.3. 向量,分别是直线,的方向向量,且,若,则( )A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】依题意可得,即可得到存在非零实数,使得,从而求出、的值,求出,最后根据数量积的坐标表示计算可得.【详解】解:,存在非零实数,使得,解得,即,.故选:B4. 已知定义域为R的奇函数,满足,且当时,则
8、的值为( )A. B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性和周期性即可求解.【详解】由题可知即,由奇函数性质可知,所以,所以,所以是以4为周期的周期函数,则当时,所以,所以故选:A5. 若圆锥的表面积为,其侧面展开图为一个半圆,则下列结论正确的为( )A. 圆锥的母线长为B. 圆锥的底面半径为C. 圆锥的体积为D. 圆锥的侧面积为【答案】C【解析】【分析】根据已知条件及圆锥的表面积公式,结合圆锥的侧面积公式及体积公式即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为,母线为,由于其侧面展开图是一个半圆,所以,解得,又因为圆锥的表面积为,所以表面积,解得,得母线长,所以圆锥的高,所以
9、侧面积,体积故选:C.6. 如图,在三棱锥中,且,E,F分别是棱,的中点,则EF和AC所成的角等于A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】B【解析】【分析】取BC的中点G,连接FG、EG,则为EF与AC所成的角解【详解】如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG,F分别是CD,AB的中点,且,为EF与AC所成的角又,又,为等腰直角三角形,即EF与AC所成的角为45故选:B【点睛】本题主要考查异面直线所成的角,找角证角求角,主要是通过平移将空间角转化为平面角,再解三角形,属于基础题7. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简,利用三角函数二倍角余弦公式求得,比
10、较大小可得,利用对数函数单调性可得,和b比较,综合可得答案.【详解】由题意得,由于,故,综上:,故选:A.8. 在正方体中,点P满足,且,直线与平面所成角为,若二面角的大小为,则的最大值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题可得在平面上,根据正方体的性质结合条件可得平面,进而可得在以为圆心,半径的圆上,且圆在平面内,作于点,过点作交AD于N点,可得为二面角的平面角,设结合条件可表示出,再利用二次函数的性质即得.【详解】,且,在平面上,设,连接,且,因为平面,又平面,所以,又,平面,平面,所以平面,平面,所以,同理可得,又平面,平面,所以平面,设正方体的棱长为1,则可知为
11、棱长为的正四面体,所以为等边三角形的中心,由题可得,得,所以,又与平面所成角为,则,可求得,即在以为圆心,半径的圆上,且圆在平面内,由平面,又平面,平面平面,且两个平面的交线为AO,把两个平面抽象出来,如图,作于点,过点作交AD于N点,连接,平面平面,平面,平面平面,平面,平面,又,MN与PM为平面PMN中两相交直线,故平面PMN,平面PMN,为二面角的平面角,即为角,设,当M与点不重合时,在中,可求得,若M与点重合时,即当时,可求得,也符合上式,故,令,则,当,即时等号成立,故的最大值是故选:C.【点睛】关键点点睛:本题的关键是找出动点的位置,根据空间向量共面定理及线面角可得在以为圆心,半径
12、的圆上,且圆在平面内,然后利用面面角的定义作出面面角,转化为函数问题即得.二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分每小题列出的四个备选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. 设 是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的有( )A. 若, ,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】BD【解析】【分析】根据面面平行的判定定理可判断A; 根据线面垂直的性质B; 根据直线与平面平行的判定定理判断C,根据平面的法向量和一向量的数量积为0,判断D.【详解】若,m,时,根据面面平行的判定定理应该还需要 相交于一点,才可以得到,故A错误;根据线
13、面垂直的性质可知,当,有,故B正确;若,时,根据直线与平面平行的判定定理可知,应该还需要,才可以得到,故C错误;当,时,可在直线n上取,即可作为平面的法向量,在直线m上取,则有 ,即,而,故有,故D正确,故选:BD.10. 已知,对于,下述结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据分段函数的性质,结合各选项逐一验证即可.【详解】对于A,所以A正确.对于B,取,所以B错误.对于C,当,则,满足,当,时,由在R上的单调性知,满足,当,时,同理满足,当,时,满足,故,所以C正确.对于D,取,不满足,所以D错误.故选:AC.11. 已知为双曲线的两个焦点,为双曲线上任意
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