湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析）.docx

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1、长郡中学2022年下学期高二期末考试数学命题人：得分：_本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共8页时量120分钟满分150分第I卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 在等差数列中，若，则的公差为( )A. B. 2C. D. 32. 如果直线平面，直线平面，且，则a与b( )A. 共面B. 平行C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线3. 4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种4. 的展开式的第6项的系数是A. B. C

2、. D. 5. 已知等差数列前n项和为；等比数列的前n项和为，且，则( )A. 22B. 34C. 46D. 506. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为( )A. B. C. D. 7. 已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 8. 设，则、的大小关系是( )A

3、. B. C. D. 二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 已知曲线：，则( )A. 时，则的焦点是，B. 当时，则渐近线方程为C. 当表示双曲线时，则的取值范围为D. 存在，使表示圆10. 设直线与圆，则下列结论正确的为( )A 与可能相离B. 不可能将的周长平分C. 当时，被截得的弦长为D. 被截得的最短弦长为11. 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是()A. DP面AB1D1B. 三棱锥AD1PC的体积为C. 平

4、面PB1D与平面ACD1所成二面角为90D. 异面直线与所成角的范围是12. 已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是( )A. 若为线段中点，则B. 若，则C. 存在直线，使得D. 面积的最小值为2第卷三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为_14. 函数在其图象上的点处的切线方程为_15. 已知，则_16. 已知甲、乙两人的投篮命中率都为，丙的投篮命中率为，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为_四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚

5、)17. 已知的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大.(1)求展开式中第三项系数；(2)求出展开式中所有有理项(即x的指数为整数的项).18. 设数列满足，(1)计算，猜想的通项公式；(2)求数列的前n项和19. 如图，直三棱柱的侧面菱形，(1)证明：；(2)设为的中点，记二面角为，求的值20. 选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为(1)若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？(2)若采用局胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？2

6、1. 已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程是，点，且的面积为6(1)求双曲线C标准方程；(2)直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围22 已知函数(1)若在上恒成立，求的取值范围；(2)在(1)的条件下证明:对任意，都有；(3)设，讨论函数的零点个数长郡中学2022年下学期高二期中考试数学本试卷共8页，时量120分钟，满分150分第卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在数列中，且，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定的条件，利用等比数列通项公式求解作答.【详解】数列中

7、，且，因此数列是首项为1，公比为-2的等比数列，所以.故选：D2. 在棱长为1的正方体中，( )A. 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果【详解】故选：B3. 在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程【详解】由题意可得圆心为点(0，1)，半径为，要求的圆的标准方程为，故选：A4. 在等比数列中，若、成等差数列，则的公比为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，则，根据题意

8、可得出、的等量关系，即可求得数列的公比.【详解】设等比数列的公比为，则，由题意可得，即，则，故.故选：B.5. 若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意列出关系式，结合与可求出椭圆的离心率【详解】椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，即，又，又，则，因此椭圆的离心率为故选：B6. 已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，表示，利用均值不等式求最值，结合线面角定义可

9、得结果.【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，则，于是(当且仅当，即时取等号)此时，由线面角的定义得，所求的母线与底面所成角的正弦值为，故选：A7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆()的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为( )A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积.【详解】设，则有，两式作差得：，即，弦中点坐标为，则，又，又，可解得，故椭圆的面积为.故选：C8. 如图，

10、在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为和的重心，P为线段CM上一点( )A. 的最小为2B. 若DP平面ABC，则C. 若DP平面ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为D. 若F为线段EN的中点，且，则【答案】D【解析】【分析】A选项由线面垂直证得CMBM，CMAM，进而由点P与点M重合时即可判断；B选项利用内切球求得即可判断；C选项找到球心，由勾股定理求得半径，即可判断；D选项由空间向量的线性运算即可判断.【详解】易得，又，则面，又面，则，同理可得，则CM平面ABD，又平面，所以CMBM，CMAM则当点P与点M重合时，取得最小值，又，则最小值为，A错误在正四面体ABCD中，因为DP

11、平面ABC，易得在上，所以，又点N，M也是和的内心，则点P为正四面体ABCD内切球的球心，设正四面体ABCD内切球的半径为r，因为，所以，解得，即，故，B错误设三棱锥PABC外接球球心为O，半径为R，易得球心在直线上，且，则，解得，故三棱锥PABC外接球的表面积为，C错误若F为线段EN的中点，则，设，则因为，所以设，则解得故，D正确.故选：D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线，则( )A. 直线过定点B 当时，C. 当时，D. 当时，两直线之间的距离为1【答案】CD

12、【解析】【分析】根据给定的直线的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答.【详解】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确；当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确；当时，直线，而直线，显然，即，C正确；当时，有，解得，即直线，因此直线之间的距离，D正确.故选：CD10. 若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )A. B. C. (为常数)D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A不符合题意；对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，故

13、选项B符合题意；对于选项C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列，故为等差数列，故选项C符合题意；对于选项D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，故选项D符合题意，故选：BCD.11. “堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解(图1)，得到一模一样的两个堑堵(图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2)，得一个四棱锥称为阳马(图3)，一个三棱锥称为鳖臑(图4).若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项正确的是( )A.

14、B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖臑的体积与长方体的体积的数量关系，即可得答案.【详解】由题意，堑堵的体积，阳马的体积，瞥臑的体积，故选：ACD12. 已知是抛物线的焦点， 是抛物线上的两点，为坐标原点，则( )A. 曲线的准线方程为B. 若，则的面积为C. 若，则D. 若，的中点在的准线上的投影为，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由抛物线的方程易知准线为，故A错误；对于B，利用抛物线的定义求得，进而可求的面积，故B正确；对于C，由及点抛物线上得到，再利用两点距离公式及基本不等式，即可证得，故C正确；对于D，结合图像，利用余弦定理及基本不等式即可

15、证得，故D正确.【详解】因为抛物线，故，焦点，准线为，设，则对于A，易知准线为，故A错误；对于B，如图1，由抛物线的定义可知，即，故，代入，解得，所以，故B正确；对于C，由得，故，即，又，故，得或(舍去)，则，所以，故，故C正确； 对于D，如图2，过作准线的垂线，垂足分别为，连接，则，在中，故所以，即，故D正确.故选：BCD.第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_【答案】24【解析】【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点，从而得到P与双曲线两焦点的距离之和，再根据，求出周长.【详解】由

16、已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点，由椭圆定义可知：，故P与双曲线两焦点的距离之和为14，又，因此P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为.故答案为：2414. 已知，若三向量共面，则实数_.【答案】1【解析】【分析】由题意存在，使得，代入坐标，列方程组计算，即得解.【详解】由题意，三向量共面，故存在，使得，即，故，解得.故答案为：115. 在平面直角坐标系中，若动点在直线上，圆过、三点，则圆的面积最小值为_.【答案】【解析】【分析】要使圆的面积尽可能小，则点位于第一象限，设，再求出的中垂线方程，设设圆心坐标为，根据，得到，参变分离求出的最小值，即可求出，从而求出面积最小值.【详解】解：要使圆的面

17、积尽可能小，则点位于第一象限，设，又，所以线段的中垂线方程为，则圆心在直线上，不妨设圆心坐标为，圆的半径为，所以，即，则，所以，所以，当且仅当即时取等号，所以，所以圆的面积最小值为，此时；故答案为：16. 已知数列满足，则数列的通项公式为_，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为_【答案】 . . 6【解析】【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出，再借助数列单调性计算得解.【详解】在数列中，由得：，而，于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，所以数列的通项公式为；显然，则，由得：，即，令，则，即数列是递增数列，由，得，而，因此，从而得，所以满足不等式的

18、的最小值为6.故答案为：；6四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点(1)求异面直线EF与所成角的大小(2)证明：平面【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)通过建立空间直角坐标系，利用可得解；(2)利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详解】据题意，建立如图坐标系于是：，(1)，异面直线EF和所成的角为(2)，即，即又，平面且平面18. 已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.(1)求曲线的方程；(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.【答案】(1)

19、(2)或或【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义可得曲线方程；(2)分类讨论：斜率为0，即与抛物线的对称轴平行；斜率不存在与抛物线相切，斜率存在且与抛物线相切(应用判别式为0)，分别求解可得【小问1详解】设的坐标，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标，所以的轨迹方程为.故曲线C的方程为：【小问2详解】当直线过点，且斜率为0时，即直线与拋物线的对称轴平行时，直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为；当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，显然与拋物线相切；当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，联立，整理可得，则，即，解得，此时直线的方程为，综上所述，满足条件的直线的方程为

20、或或.19. 在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为，(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；(2)求ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；(2)先求ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.【小问1详解】，BC边的中点D的坐标为，中线AD的斜率为，中线AD的直线方程为：，即【小问2详解】设ABC的外接圆O的方程为，A、B、C三点在圆上，解得：外接圆O的方程为，即，其中圆心O为，半径,又圆心O到直线l的距离为,被截得的弦长的一半为,被截得的弦长为.20. 已知各项均不

21、为零的数列的前n项的和为，且满足，(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足的前n项和为，证明【答案】(1)； (2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用给定的递推公式，探求数列相邻两项的关系，即可求解作答.(2)由(1)结合已知求出，再利用错位相减法求和推理作答.【小问1详解】，当时，两式相减得：，由得：，即，满足上式，因此，于是得数列是首项为4，公比为4的等比数列，所以数列的通项公式是.【小问2详解】由(1)知，而，则，即，则，于是得，两式相减得：，所以21. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，为棱的中点，四棱锥的体积为(1)若为棱的中点，求证：平面；(2)在棱上是否

22、存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，位于靠近点三等分点处满足题意.【解析】【分析】(1)取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；(2)假设在棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论.【小问1详解】取中点，连接，分别为的中点，底面四边形是矩形，为棱的中点，故四边形是平行四边形，又平面，平面，平面【小问2详解】假设在棱上存在点满足题意，在等边中，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，

23、平面，平面，则是四棱锥的高设，则，所以.以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设，设平面PMB的一个法向量为，则 取易知平面的一个法向量为，故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.22. 已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；(1)求双曲线的方程；(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据通径，直接求得，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；(2)通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.【小问1详解】依题意，当l垂直于x轴时，即，即，解得，因此；【小问2详解】设，联立双曲线方程，得：，当时，当时，设，因为直线与双曲线右支相交，因此，即，同理可得，依题意，同理可得，而，代入，分离参数得，因为，当时，由，所以，综上可知，的取值范围为.