广东省广州市六区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析）.docx

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1、广东省广州市六区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析）2022学年第一学期期末教学质量监测高二数学(试题)本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答信息点涂累，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答

2、的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角是A. B. C. D. 2. 准线方程为的抛物线的标准方程为( )A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率是( )A. B. C. D. 4. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是( )A B. C D. 5. 在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则( )A. B. C. D. 6. 动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )A. B. C. D. 7. 椭圆的一个焦点是F，过原点O作直

3、线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是( )A. 14B. 15C. 18D. 208. 已知数列满足，记数列的前n项和为，则=( )A. 506B. 759C. 1011D. 1012二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则( )A. B. C. D. 10 数列满足，则( )A. 数列是递减数列B. C. 点()都在直线D. 数列的前项和的最大值为3211. 过双曲线C：的左焦点作直线l与双曲线C的右支交于点A，则( )A. 双曲线C的渐近线方程为B. 点

4、到双曲线C的渐近线的距离为4C. 直线l的斜率k取值范围是D. 若的中点在y轴上，则直线l的斜率12. 过直线l： 上的动点P分别作圆C1：与圆C2：的切线，切点分别为A，B，则( )A. 圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为B. |PA|的最小值为C. 的最小值为D. 直线l上存在两个点P，使得三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 经过点，且与直线平行的直线的方程为_.14. 若数列为等差数列，则数列的前9项和=_.15. 图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为_.16. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动

5、点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为_.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 等差数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)记为等差数列的前n项和，求使不等式成立的n的最小值.18. 已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.(1)求圆C的方程；(2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程.19. 如图，在长方体中，点是的中点.(1)求与所成角的余弦值；(2)求与平面所成角的正弦值.20. 已知数列前n项和为，.(1)求证:数列是等比数列；(2)若，求数列的前n项和.21. 如图，在三棱锥中，分别为，的中点，为正三角形，

6、平面平面.(1)求点到平面的距离；(2)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.22. 已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.(1)求椭圆的方程；(2)设点为椭圆上的两点，为坐标原点，求的取值范围.2022学年第一学期期末教学质量监测高二数学(试题)本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答信息点涂累，

7、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的

8、斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2. 准线方程为的抛物线的标准方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，抛物线，可得，且开口向左，其准线方程为.故选B考点：抛物线的几何性质3. 双曲线的离心率是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲线的方程知再由求得，即可求得双曲线的离心率.【详解】由双曲线知，则，则离心率.故选：B4. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】联立方程计算交点为，根据直线垂直得到，得到直线方程.【详解】，解得，

9、故直线交点为，直线的斜率，故垂直于它的直线斜率，故所求直线方程为，整理得到.故选：B5. 在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的运算法则得到，得到答案.【详解】，故.，故选：A6. 动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.【详解】圆N：的圆心为，半径为，且设动圆半径为，则，即.即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，故动圆圆心P的轨迹方程是

10、故选：A7. 椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是( )A. 14B. 15C. 18D. 20【答案】C【解析】【分析】不妨取为左焦点，为右焦点，连接，则为平行四边形，的周长大于等于，计算得到答案.【详解】如图所示：不妨取为左焦点，为右焦点，连接，则为平行四边形，的周长为，当，为椭圆上下顶点时等号成立.故选：C8. 已知数列满足，记数列前n项和为，则=( )A. 506B. 759C. 1011D. 1012【答案】A【解析】【分析】根据数列递推公式可知，当为偶数时，即可出现分组求和，再利用累加根据等差数列求和公式即可求得结果.【详解】由

11、递推公式可得，；而故选：A二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据向量的坐标模长公式、线性运算、数量积的坐标表示、共线向量定理逐项判断即可.【详解】对A，因为，所以，故A正确；对B，故B不正确；对C，所以不垂直，故C不正确；对D，所以，故D正确.故选：AD.10. 数列满足，则( )A. 数列是递减数列B. C. 点()都在直线D. 数列前项和的最大值为32【答案】AC【解析】【分析】根据数列的递推关系式，可判断数列的

12、单调性及，可判断A；又可得数列为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C；由等差数列的前项和公式结合二次函数的性质，即可求得的最大值，可判断D.【详解】数列满足，即，所以数列是递减数列，故A正确；且数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则点()都在直线上，故B不正确，C正确；数列的前项和，又因为，所以时，时，则的最大值为，故D不正确.故选：AC.11. 过双曲线C：的左焦点作直线l与双曲线C的右支交于点A，则( )A. 双曲线C的渐近线方程为B. 点到双曲线C的渐近线的距离为4C. 直线l的斜率k取值范围是D. 若的中点在y轴上，则直线l的斜率【答案】ACD【解析】【分析】双曲线C的渐

13、近线方程为，A正确，计算点到直线的距离得到B错误，根据渐近线得到斜率k取值范围是，C正确，确定的横坐标为，得到或，计算斜率得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：双曲线C的渐近线方程为，正确；对选项B：，取渐近线方程为，距离为，错误；对选项C：渐近线方程为，故斜率k取值范围是，正确；对选项D：的中点在y轴上，则的横坐标为，得到，故或，斜率为，正确.故选：ACD12. 过直线l： 上的动点P分别作圆C1：与圆C2：的切线，切点分别为A，B，则( )A. 圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为B. |PA|的最小值为C. 的最小值为D. 直线l上存在两个点P，使得【答案】BCD【解析】【分析】确定两

14、圆圆心和半径，到直线的距离为，A正确，的最小值为，B错误，计算对称点得到最小距离为，C正确，计算轨迹方程为圆，再判断直线和圆的位置关系得到D正确，得到答案.【详解】圆C1：，圆心，半径；圆C2：，圆心，半径，对选项A：到直线的距离为，故只有1个点满足条件，错误；对选项B：，的最小值为，故的最小值为，正确；对选项C：设关于直线的对称点为，则，解得，故，正确；对选项D：，即，即，设，则，整理得到，轨迹为圆心为，半径为的圆，圆心到直线的距离为，直线和圆相交，有2个交点，正确.故选：BCD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 经过点，且与直线平行的直线的方程为_.【答案】【解析】【分

15、析】根据直线平行得到，得到，整理得到答案.【详解】直线与直线平行，则，直线方程为，即.故答案为：14. 若数列为等差数列，则数列的前9项和=_.【答案】【解析】【分析】利用等差数列的性质得到，代入数据计算得到答案.【详解】.故答案为：15. 图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为_.【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，对应的坐标为，代入抛物线，解得答案.【详解】如图所示，建立直角坐标系，直线交抛物线于两点， 抛物线方程为，设，水面下降2m后，水面宽8m，对应的坐标为，则，解得，故拱顶点O离水面

16、l的距离为.故答案为：16. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为_.【答案】【解析】【分析】以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面的法向量，设，且，求，根据平面，可得满足的等式关系，并用表示，确定的取值范围，利用空间中两点距离公式得，结合二次函数的性质，即可确定长度的最大值.【详解】如图，以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，动点在底面正方形内(包括边界)，则设，且则，设平面的法向量为，又则，令，则因为平面，所以，即，则，所以则，由二次函数的性质可得当时，时，所以长度的最大值为.故

17、答案为：.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在等差数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)记为等差数列的前n项和，求使不等式成立的n的最小值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据等差数列公式得到，得到通项公式.(2)计算，解不等式得到答案.【小问1详解】等差数列中，故，故【小问2详解】，即，解得，故的最小值为18. 已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.(1)求圆C的方程；(2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程.【答案】(1) (2)或.【解析】【分析】(1)计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再计算半径得到答

18、案.(2)考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案.【小问1详解】，的中点为，故的垂直平分线为，即，解得，故圆心为，半径，故圆方程为.【小问2详解】当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，故圆心到直线的距离为，解得，故直线方程为，即.综上所述：直线的方程为或.19. 如图，在长方体中，点是的中点.(1)求与所成角的余弦值；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据长方体以为原点，为轴建立空间直角坐标系，求解，按照异面直线夹角余弦公式求解与所成角的余弦值即可；(2)由(1)求平

19、面的法向量与直线的方向向量，再利用空间向量坐标运算解求得与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在长方体中，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，所以，则，则与所成角的余弦值为；【小问2详解】设平面的法向量为，又，所以，令，则所以，故与平面所成角的正弦值为.20. 已知数列的前n项和为，.(1)求证:数列是等比数列；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析； (2)【解析】【分析】(1)利用得数列的递推关系，从而由等比数列定义得证结论；(2)由错位相减法求和小问1详解】，时，相减得：，又，,所以，,所以是等比数列，首项是9，公比是3；【小问2详解】由(1)得，则，相减得，21.

20、如图，在三棱锥中，分别为，的中点，为正三角形，平面平面.(1)求点到平面的距离；(2)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为中点【解析】【分析】(1)根据线面关系证得，则以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求平面的法向量与，即可求得点到平面的距离；(2)由(1)知平面的法向量，设，且，利用空间向量的坐标求平面的法向量，根据平面与平面夹角余弦值的向量的坐标运算列方程，即可求得的值，从而确定的位置.【小问1详解】连接，因为为正三角形，又为中点，所以，

21、因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，分别为，的中点，所以，所以，则如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，因为，则，设平面的法向量为，由于，则，令，则又，则点到平面的距离为；【小问2详解】由(1)可知是平面的一个法向量，由题可设，且，则，所以，设平面的法向量为，由于，则，令，则，所以，整理得，解得或(舍)，故存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为中点.22. 已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.(1)求椭圆的方程；(2)设点为椭圆上的两点，为坐标原点，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用椭圆的定义求解即可；(2)设直线的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率的计算公式和数量积的坐标表示即可求解，注意讨论斜率不存在的情况.【小问1详解】由题意可得，又因为椭圆中，所以，故椭圆的方程为.【小问2详解】当直线斜率存在时，设，直线方程为，联立得，即，所以，因为，所以，又因为，所以，即，所以，因为，所以，即，当直线斜率不存在时，设，且，所以，解得，又因为在椭圆上，则，所以，所以，综上的取值范围为.