江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题（含解析）.docx

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1、20222023镇江高二4月期中考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z满足z(1i)2(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 函数的导函数为( )A. B. C. D. 3. 已知，则是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 已知等差数列的前项和为，且，则( )A. 12B. 14C. 16D. 185. 青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗

2、口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为( ) A. B. C. D. 6. 从3名男同学和2名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记，则至少有一名女生当选的不同选举结果为( )A. 12B. 14C. 16D. 187. 已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为( )A. B. C. D. 8 求和：( )A. 512B. 1024C. 5120D. 10240二、选择题：本题共4小题，每小题5分

3、，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知虚数，则( )A. B. C. D. 是方程的一个根10. 已知，则( )A. B. C. 数列，的最大项为D. 11. 已知函数，则( )A. 函数有两个极值点B. 函数的所有极值的和为2C. 函数只有1个零点D. 是函数图像的一条切线12. 已知点，动点在：上，则( ) A. 直线与相交B. 线段中点轨迹是一个圆C. 的面积最大值为D. 在运动过程中，能且只能得到4个不同的三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在展开式中，项的系数为_.14. 双曲线：(

4、，)的焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的渐近线方程为_.15. 今天是第一天星期一，则第天是星期_.16. 某公司第1年年初向银行贷款1000万元投资项目，贷款按复利计算，年利率为10%，约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元，利润随即存入银行，存款利息按复利计算，年利率也为10%，则到第年年初该项目总收益为_万元，到第_年的年初，可以一次性还清贷款.四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，二项式.(1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.

5、18. 喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.19. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程；(2)经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程.20. 已知数列中，点直线上，数列中，且对任意，满足：.(1)分别求数列和的通项公式；(2)请比

6、较与的大小，并证明你的结论.21. 已知双曲线：左、右顶点分别为，. (1)若过点的直线交双曲线于，两点，求直线的斜率范围；(2)过原点的直线与双曲线相交于，两点(在轴的上方)，直线，与圆分别交于，直线与直线的斜率分别为，求.22. 已知.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围.20222023镇江高二4月期中考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z满足z(1i)2(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【

7、解析】【分析】根据复数的乘除法运算，求得，再求其对应点即可判断.【详解】，在复平面内复数z对应的点位于第四象限故选：D2. 函数的导函数为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.【详解】依题知，即，由求导公式：，复合函数的求导法则：设，则得：，故选：D.3. 已知，则是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据两点间的距离公式计算出，的长度即可判断详解】，是直角三角形故选：A4. 已知等差数列的前项和为，且，则( )A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D【解析

8、】【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质即可求出结果.【详解】因为，又，所以.故选：D.5. 青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为，碗口直径为，碗深，所以

9、抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为，设，过中点作轴，由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.故选：B. 6. 从3名男同学和2名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记，则至少有一名女生当选的不同选举结果为( )A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】B【解析】【分析】根据题意，先求出从3名男同学和2名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记的方法总数，再求出没有一名女生当选的方法总数，即可得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记，共有：种，没有一名女生当选，共有种，故至少有一名女生当选的不同选举结果为种.故选：B

10、.7. 已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，由椭圆的性质，可得.过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，.等于的最小值的3倍，.椭圆中，即，则.，解得或(舍).故选：B.8. 求和：( )A. 512B. 1024C. 5120D. 10240【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，结合组合数公式，以及倒序法，即可求解【详解】令，则，即

11、，可得，故故选：二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知虚数，则( )A. B. C. D. 是方程的一个根【答案】BCD【解析】【分析】利用复数的四则运算和复数的模长公式可判断AB选项；利用复数的乘法方法则与共轭复数的定义可判断C选项；解方程可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，所以，故A错；对于B选项，所以，故B对；对于C选项，故C对；对于D选项，由，可得，解得或，故D对.故选：BCD.10. 已知，则( )A. B. C. 数列，的最大项为D. 【答案】BD【解析】【分析

12、】求出的通项，令，求出可判断A；赋值法可判断B；利用的通项知可判断C；对二项式两边同时求导结合赋值法可判断D.【详解】对于A，的通项为：，令，则，故A错误；对于B，令可得：，故B正确；对于C，由的通项知，故数列，的最大项不为，故C错误；对于D，对函数两边同时取导，可得：，令可得：，故D正确.故选：BD.11. 已知函数，则( )A. 函数有两个极值点B. 函数的所有极值的和为2C. 函数只有1个零点D. 是函数图像的一条切线【答案】ABC【解析】【分析】求得，得出函数的单调性，求得极小值为，极大值为，求得，结合当时，得到函数只有一个零点，设切点为，利用导数的几何意义，求得切线坐标，即可求解.【

13、详解】由函数，可得，令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减，所以函数当时，取得极小值，极小值为，当时，取得极大值，极大值为，所以，又由当时，所以函数只有一个零点，所以A、B、C正确.假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，显然点和均不在曲线上，所以D错误.故选：ABC.12. 已知点，动点在：上，则( ) A. 直线与相交B. 线段的中点轨迹是一个圆C. 的面积最大值为D. 在运动过程中，能且只能得到4个不同的【答案】BD【解析】【分析】求出直线的方程，利用圆的圆心到直线的距离判断A的正误，求线段的中点轨迹判断B的正误，利用圆的圆心到直线的距离，转化求解三角形的面积的最在值判

14、断C，判断为直径的圆与已知圆的位置关系，结合直角三角形的定义，判断D的正误.【详解】对于A，因为，所以，所以直线的方程，即，由，得，所以圆心，半径为3，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，所以A错误，对于B，设线段的中点为，则，因为点在圆上，所以，即表示一个圆，所以线段的中点轨迹是一个圆，所以B正确，对于C，的面积最大值为，所以C错误，对于D，设与直线垂直且过点的直线为，则，得，即直线为，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆有两个交点，所以以为直角顶点的直角三角形有2个，设与直线垂直且过点的直线为，则，得，即直线为，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，无公共点，所以以为直角顶点的直

15、角三角形不存在，以为直径的圆为，设圆心为，则，半径为，所以，因为，所以以为直径的圆与圆相交，所以以为直角顶点的直角三角形有2个，综上，在运动过程中，能且只能得到4个不同的，所以D正确，故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在展开式中，项的系数为_.【答案】【解析】【分析】根据组合数的运算，展开式中的系数为，结合组合数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，多项式，根据组合数的运算，展开式中的系数为，又由.故答案为：.14. 双曲线：(，)的焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】先根据点到直线的距离公式求出点到渐近线的距离，结合已知即

16、可得出，进而得出答案.【详解】由已知可得双曲线的焦点坐标为，渐进线方程为，则点到渐近线，即的距离.又因为，所以，所以，双曲线的渐近线方程为.故答案为：.15. 今天是第一天星期一，则第天是星期_.【答案】一【解析】【分析】先将化为，根据二项式定理展开可得，除以7的余数为1，即可得出答案.【详解】因，所以，除以7的余数为1，所以，第天是星期一.故答案为：一.16. 某公司第1年年初向银行贷款1000万元投资项目，贷款按复利计算，年利率为10%，约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元，利润随即存入银行，存款利息按复利计算，年利率也为10%，则到第年年初该项目总收益为_万元，到第

17、_年的年初，可以一次性还清贷款.【答案】 . . 【解析】【分析】根据题意列出第年年初时借贷总额和总收益，即可求解.【详解】由题知，到第年年初，借贷总额为，总收益为，当时，当时，故第年年初该项目总收益为，到第年的年初，可以一次性还清贷款.故答案为：；四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，二项式.(1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.【答案】(1)； (2)或.【解析】【分析】(1)根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项

18、，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；(2)写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，设第项的系数最大得，求解即可.【小问1详解】因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，则展开式的通项公式为，令，解得，代入通项公式有：，所以的系数为；【小问2详解】二项式通项公式为：，所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或，因为至少有前三项，所以(舍)，故，二项式通项公式为：，设第项的系数最大，故，即，即，解得，因为，所以或，故系数最大的项为或.18. 喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距

19、的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.【答案】最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元.【解析】【分析】根据题设可得，利用对勾函数的性质可求该函数的最小值.【详解】设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为，油耗为，则总费用，由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增，因为，所以当时，取到最小值，最小值为.最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元.19. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆面积等于圆周率与椭圆的长

20、半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程；(2)经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程.【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)由题意可得，解方程即可求出，即可求出椭圆的标准方程；(2)对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，通过将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合三角形的面积公式求解直线的斜率，进而得出直线方程.【小问1详解】设椭圆的方程为：，因为椭圆的面积为，点在椭圆上.所以解得：，所以椭圆的标准方程为：.【小问2详解】因为经过点的直线与曲线交于，两点，当直线的斜率不存在时，此时

21、，因为与椭圆的面积比为，但，即直线斜率存在；不妨设直线的方程为，联立，消去并整理可得：，不妨设，则，因为，所以，因为与椭圆的面积比为，所以，化简为，即，即，解得：，所以直线的方程为或，所以直线的方程为或.20. 已知数列中，点在直线上，数列中，且对任意，满足：.(1)分别求数列和的通项公式；(2)请比较与的大小，并证明你的结论.【答案】(1) (2)当时,;当或时,【解析】【分析】(1)用递推关系构造出等差、等比数列，进而解出通项公式.(2)作差法，得到的表达式，然后构造函数，判断函数单调性，进而借助几个关键的值来比较大小即可.【小问1详解】因为点在直线上,所以有,即数列是首项为,公差为4的等

22、差数列.则.所以数列的通项公式为.因为,则,又因为，所以.所以数列是首项为1,公比为2的等比数列，则,即.所以数列 的通项公式为.【小问2详解】证明：,.构造函数,递增.当时,函数递减,则时,;当时,即时,.当时，,函数递增.当时;当时,.综上,当时，;当或时，.21. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，. (1)若过点的直线交双曲线于，两点，求直线的斜率范围；(2)过原点的直线与双曲线相交于，两点(在轴的上方)，直线，与圆分别交于，直线与直线的斜率分别为，求.【答案】(1)直线的斜率范围为且 (2)【解析】【分析】(1)由直线与双曲线有两个交点，联立方程组(注意排除直线与渐近线平行)求解即可；

23、(2)设出直线的方程，联立方程组求出，点坐标，然后计算直线与直线的斜率即可求解.【小问1详解】过点的直线的方程设为：，联立得：.因直线交双曲线于，两点，所以，解得且.故直线的斜率范围为且.【小问2详解】如图： 设：，则令所以的方程为，联立得.所以，由于，两点关于原点对称，所以，所以的斜率为，所以，又，所以，即.所以，所以.，所以22. 已知.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围.【答案】(1) 增区间是，递减区间是；(2) 【解析】【分析】(1)求得函数的导函数，对分成，两种情况，讨论函数的单调区间.(2)根据(1)的结论，首先判断时没有两个零点，当时，根据函数的单调性和零点存在性定理，求得的取值范围.【详解】解:(1)的定义域是R，且.当时，恒成立，在R上单调递增，当时，令，则，即函数的增区间是，同理，由得函数的递减区间是. (2)由(1)知，当时，函数单调递增，与条件不符.当时，函数)在上单调递增，在上单调递减，由条件得，解得.又，在上存在唯一零点，.令，则当时，单调递增，.即在上存在唯一零点综上所述：.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数零点问题，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.