浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含解析）.docx

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1、宁波市2022学年第二学期期末试题高二数学试卷第I卷(学考模拟 共100分)一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1 已知集合，则( )A. B. C. D. 2. 复数(i为虚数单位)的虚部是( )A. B. C. 1D. 23. 函数的定义域是( )A. B. C. D. 4. 已知，则 ( )A B. C. D. 5. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如下：体重变化体重减轻体重不变体重增加人数241571188如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的

2、概率是( )A. 0.57B. 0.33C. 0.24D. 0.196. 已知平面向量，若，则实数( )A. B. C. 1D. 47. 已知球的半径是3，则该球的体积是( )A. B. C. D. 8. 对数与互相反数，则有( )A. B. C. D. 9. 取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于，则n的最

3、大值为( )(参考数据：)A. 7B. 8C. 9D. 1010. 已知为非零实数，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 在中，则直线通过的( )A. 垂心B. 外心C. 重心D. 内心12. 已知函数的定义域为R，为奇函数，且对于任意，都有，则下列结论中一定成立的是( )A B. C. 为偶函数D. 为奇函数二、多项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.)13. 下列函数是增函数的是( )A. B. C. D.

4、14. 已知平面平面，且，则下列命题不正确的是( )A. 平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线B. 平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线C. 平面内的任意一条直线必垂直于平面D. 过平面内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.以下列选项为条件，一定可以推出的有( )A. B. C. D. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，点E为的中点，点P在线段(不包含端点)上运动，记二面角的大小为，二面角的大小为，则( ) A. 异面直线BP与AC所成角的范围是B. 的最小值为C. 当的周长最小时，三棱锥的体积为D. 用平面截正方体，

5、截面的形状为梯形三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分.)17. 已知函数，则_，_.18. 在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为，下底面直径为，高为.为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为_. 19. 已知正实数x，y满足，则的最小值是_.20. 在锐角中，内角，所对的边分别为，若，则的取值范围为_.四、解答题(本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)21. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用款订餐软件的

6、商家中随机抽取个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在范围内，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值；(2)试估计该市使用款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第百分位数.22. 已知函数.其中.若的最小正周期为，且；(1)求的值；(2)若，求在区间上的值域.23. 已知函数，其中.(1)若，求的值；(2)判断函数的零点个数，并说明理由；(3)设，求证：.第II卷(能力提升 共50分)五、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分)24. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，

7、设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次正面朝上”，则( )A. B. C. 事件A与事件B互斥D. 事件A与事件B相互独立25. 已知平面向量满足，则( )A. 的最大值为3B. 的最大值为3C. 的最大值为6D. 的最大值为226. 已知函数，若满足，对，都使得成立，则的值可能为( )A. B. C. D. 27. 已知正实数、满足，其中，则( )A. B. C. D. 六、解答题(本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，)28. 如图，正四棱锥的高为，体积为. (1)求正四棱锥的表面积；(2)若点为线段的中点，求直线AE与平面所成角的正切值；(3)求二面角的余弦值

8、.29. 已知定义在R上的函数，其中a为实数.(1)当时，解不等式；(2)若函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围；(3)对于，若存在实数，满足，求的取值范围.(结果用a表示)宁波市2022学年第二学期期末试题高二数学试卷第I卷(学考模拟 共100分)一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据并集的定义计算可得.【详解】因为，所以.故选：D2. 复数(i为虚数单位)的虚部是( )A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【

9、分析】利用复数的相关概念求解.【详解】因为复数，所以复数(i为虚数单位)的虚部是.故选：A3. 函数的定义域是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.【详解】因为，所以，则，所以的定义域为.故选：B.4. 已知，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可.【详解】因为且，所以.故选：B5. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如下：体重变化体重减轻体重不变体重增加人数241571188如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是( )A. 0.57B.

10、0.33C. 0.24D. 0.19【答案】C【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.利用表中数据直接计算即可.【详解】由已知统计表可知在1000名志愿者中，服药后出现体重减轻的人数为241人，因此服药后出现体重减轻的频率为，故选：C.6. 已知平面向量，若，则实数( )A. B. C. 1D. 4【答案】A【解析】【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，且，所以，解得.故选：A7. 已知球的半径是3，则该球的体积是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据球的体积公式计算可得.【详解】因为球的半径，所以

11、球的体积.故选：D8. 对数与互为相反数，则有( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题得，化简即可得答案.【详解】解：由已知得，即，则.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题.9. 取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于，则n的最大值为( )(参考数据：)A. 7B. 8C.

12、9D. 10【答案】B【解析】【分析】根据题设可得第n次操作去掉的线段长度之和为，则有，再根据指数函数性质结合参考数据求n的最大值.【详解】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度之和为，第三次操作去掉的线段长度之和为，第n次操作去掉的线段长度之和为，由题意知，则，则， 因为，所以指数函数为增函数，又，所以，故选：B.10. 已知为非零实数，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】当时，所以由得不出，若即，若，则，即，所以由得不出，所以“”是“”的既不

13、充分也不必要条件，故选：D.11. 在中，则直线通过的( )A. 垂心B. 外心C. 重心D. 内心【答案】D【解析】【分析】根据向量的加法的几何意义，结合菱形的对角线为相应角的平分线，得到在的角平分线上，从而作出判定.【详解】因为,，设,则，又，在的角平分线上，由于三角形中, 故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合，故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，故选D.12. 已知函数的定义域为R，为奇函数，且对于任意，都有，则下列结论中一定成立的是( )A. B. C. 为偶函数D. 为奇函数【答案】C【解析】【分析】由是奇函数，得即可判断，先证明，得到，从而判断，证明的周

14、期为，再证明函数的图象关于对称，可判断C，由结合周期性判断D.【详解】由是奇函数，得，即，选项错误；由，得，所以，即，则，B错；由可得可得函数的周期为，与可得，即函数的图象关于对称，根据周期为2可得函数的图象关于对称，即，所以为偶函数，C正确；因为且函数的周期为，所以，为偶函数，故选项错误故选：二、多项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.)13. 下列函数是增函数的是( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据幂函数的性质判断各选项的单调性即可.【详解】对于A，

15、函数的定义域为，函数在上单调递增，A正确；对于B，函数的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递增，B错误；对于C，函数的定义域为，函数在上单调递增，C正确；对于D，函数的定义域为，函数在上单调递增，在上单调递增，但，D错误；故选：AC.14. 已知平面平面，且，则下列命题不正确的是( )A. 平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线B. 平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线C. 平面内的任意一条直线必垂直于平面D. 过平面内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面【答案】ACD【解析】【分析】根据线面、面面关系逐一判断即可.【详解】对于A，平面内取平行于交线的直线时，该直线与平面平

16、行，不垂直于平面内的任意一条直线，故A错误； 对于B，取平面内无数条与交线垂直的直线，平面内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；对于C，平面内取与平行的直线，不垂直于平面，故C错误； 对于D，若内的任意一点取在交线上，所作垂线可能不在平面内，所以不一定垂直于平面，故D错误.故选：ACD15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.以下列选项为条件，一定可以推出的有( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】由余弦定理判断A，由正弦定理判断B，举例判断C，结合内角和关系和二倍角公式诱导公式判断D.【详解】对于A，由余弦定理可得，又，所以，A正确；对于B，由正弦定理可得，

17、又，所以，又，所以或，B错误；对于C，取，为锐角，且，可得为锐角，且，此时，C错误；对于D，由可得，所以，所以，解得或(舍)，又，所以，D正确；故选：AD.16. 如图，在棱长为2的正方体中，点E为的中点，点P在线段(不包含端点)上运动，记二面角的大小为，二面角的大小为，则( ) A. 异面直线BP与AC所成角的范围是B. 的最小值为C. 当的周长最小时，三棱锥的体积为D. 用平面截正方体，截面的形状为梯形【答案】ABD【解析】【分析】由异面直线夹角定义确定异面直线BP与AC所成角，由此判断A；由二面角的定义确定，求，利用两角和的正切公式求，再求其最小值，判断B；确定周长最小时点的位置，结合锥

18、体体积公式求的体积，判断C；根据平面的性质，确定正方体的过点的截面，判断D.【详解】因为，所以异面直线BP与AC所成角为或中的锐角或直角， 又，所以为为等边三角形，因为点P在线段(不包含端点)上运动，所以当为线段的中点时，此时异面直线BP与AC所成角为，当点趋近或时，异面直线BP与AC所成角趋近，所以异面直线BP与AC所成角的范围是，A正确； 过点作，因为平面，所以平面，过点作，垂足，所以为二面角的平面角，为二面角的平面角，故，设，则，所以，所以，因为，所以，所以， 所以当时，取最小值，最小值为，B正确；延长到点，使得，则，所以，当且仅当三点共线时等号成立，所以当点为线段与的交点时，的周长最小

19、，因，所以，所以，又，所以，所以的面积，又，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，所以当的周长最小时，三棱锥的体积为，C错误； 延长，两直线交于点，连接，设，连接，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以四边形为梯形，所以用平面截正方体，截面的形状为梯形，D正确. 故选：ABD.【点睛】知识点点睛：本题主要考查异面直线的夹角，二面角的求法，锥体体积问题，正方体的截面，属于综合题主要考查学生的逻辑推理能力和直观想象能力.三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分.)17. 已知函数，则_，_.【答案】 . # . #【解析】【分析】利用函数的解析式可求得的值，计算出的范围，根据函数的

20、解析式可求得的值.【详解】因为，则；因为，所以，所以，.故答案为：；.18. 在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为，下底面直径为，高为.为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为_. 【答案】【解析】【分析】作圆台的轴截面，利用条件求其母线长，再由圆台侧面积公式求其侧面积即可.【详解】作圆台的轴截面如下： 过点作，垂足为，由已知，所以，所以圆台的母线长为，由已知圆台的上底半径为，下底半径为，所以圆台的侧面积，故答案为：.19. 已知正实数x，y满足，则的最小值是_.【答案】#【解

21、析】【分析】由条件可得，结合基本不等式求的最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，当且仅当，时等号成立，即时等号成立，所以的最小值是.故答案为：.20. 在锐角中，内角，所对的边分别为，若，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理将边角互化，结合余弦定理及两角和差的正弦公式得到，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.【详解】因为，由正弦定理可得，由余弦定理，所以，即，由正弦定理可得，所以，即，所以，因为，所以，所以，即，所以，由为锐角三角形，所以，可得，所以，由正弦定理得，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题关键是通过边

22、角互化得到，从而得到，最后由正弦定理将式子转化为角的三角函数，结合余弦函数的性质计算可得.四、解答题(本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)21. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用款订餐软件的商家中随机抽取个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在范围内，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值；(2)试估计该市使用款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第百分位数.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可.(2)首先判断第百分位数位于之间，设为，则，解

23、得即可.【小问1详解】依题意可得，解得.【小问2详解】因为，所以第百分位数位于之间，设为，则，解得，故第百分位数为.22. 已知函数.其中.若的最小正周期为，且；(1)求的值；(2)若，求在区间上的值域.【答案】(1)，； (2)在区间上的值域为.【解析】【分析】(1)由函数的周期，结合周期公式求，由条件化简求；(2)结合条件确定，利用不等式性质结合正弦函数性质求在区间上值域.【小问1详解】因为的最小正周期为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，【小问2详解】由(1)，又，所以，所以，由已知，所以，所以，所以在区间上的值域为.23. 已知函数，其中.(1)若，求的值；(2)判断函数

24、的零点个数，并说明理由；(3)设，求证：.【答案】(1) (2)1个零点，理由见详解 (3)证明见详解【解析】【分析】(1)根据解析式直接计算即可；(2)利用导数讨论其单调性，结合零点存在性定理判断即可；(3)利用单调性结合放缩法证明.【小问1详解】若，则，所以.【小问2详解】，因为，所以，所以，所以在上单调递增，又，因为，所以，所以，又，所以在内有唯一零点.【小问3详解】由(2)可知，因为，所以，所以，令，则，记，因为，所以，易知在上单调递增，又因为，所以，所以，因为，所以要证，只需证，即证，令，因为，所以在单调递增，所以，即，即.综上，即.第II卷(能力提升 共50分)五、多项选择题(本大

25、题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分)24. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第一次正面朝上”，事件“第二次正面朝上”，则( )A. B. C. 事件A与事件B互斥D. 事件A与事件B相互独立【答案】ABD【解析】【分析】根据对立事件，并事件，互斥与相互独立事件的概念，结合选项依次判断即可.【详解】对于A，试验的样本空间为: (正, 正),(正, 反),(反, 正),(反, 反) ,共4个样本点，所以，故，故A正确;对于B，试验的样本空间为: (正, 正),(正, 反),(反, 正),(反,

26、 反) ,共4个样本点，事件含有(正, 正),(正, 反),(反, 正),这三种结果,故，故B正确；对于C，(正,正),(正,反), (正,正),(反,正)，显然事件, 事件都含有“(正,正)这一结果, 事件, 事件能同时发生,因此事件与事件不互斥,故C不正确;对于D，,所以,所以事件与事件为相互独立事件，故D正确.故选:ABD.25. 已知平面向量满足，则( )A. 的最大值为3B. 的最大值为3C. 的最大值为6D. 的最大值为2【答案】ABD【解析】【分析】设的夹角为，通过平方转化得，利用三角函数的性质求出其最大值，即可判断A；选项BCD采用同样的方法求解判断即可.【详解】设的夹角为，当

27、时，有最大值3，故A正确；，当时，有最大值3，故B正确；，当时，有最大值， 所以的最大值为，故C错误；，要使取最大值，只需考虑的情形，此时，当时，有最大值， 所以的最大值为，故D正确.故选：ABD.26. 已知函数，若满足，对，都使得成立，则的值可能为( )A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由条件可得，的值域包含于函数，的值域，求函数，的值域，并对各选项逐一检验，可得结论.【详解】因为对，都使得成立，所以，的值域包含于函数，的值域，函数，的值域为，所以，的值域包含区间，由，可得，当时，所以，的值域为不满足要求，A错误；当时，所以，的值域为满足要求，B正确；当时，所以，的值域为

28、满足要求，C正确；当时，所以，的值域为不满足要求，D错误；故选：BC.27. 已知正实数、满足，其中，则( )A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用换底公式可判断A选项；设，利用对数与指数的互化，以及幂函数的单调性可判断B选项；比较、的大小，利用作商法结合幂函数的单调性可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，所以，由，可得，则，所以，故A对；对于B选项，设，则，因为幂函数在上为增函数，所以，即，设，则，因为幂函数在上为增函数，所以，即，则，故B错；对于C选项，因为，且，所以，所以，则，故，所以，即，故C对；对于D选项，由基本不等式，可得，所以，故

29、D对.故选：ACD.六、解答题(本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，)28. 如图，正四棱锥的高为，体积为. (1)求正四棱锥的表面积；(2)若点为线段的中点，求直线AE与平面所成角的正切值；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】(1)先由棱锥的体积公式求得底面边长，再利用正四棱锥的性质求得，从而求得，进而求得该正四棱锥的表面积；(2)结合(1)中结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示，结合三角函数的基本关系式即可得解；(3)分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】连接，连

30、接，如图， 因为在正四棱锥中，底面是正方形，则，且是与的中点，底面，因为正四棱锥的高为，体积为，则，设底面边长，则，所以由得，解得，因为底面，底面，故，在中，则，同理，所以在中，则，同理：，所以正四棱锥的表面积为.【小问2详解】由(1)可得，以原点，为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，因为点为线段的中点，所以，则，易知平面的一个法向量为，设直线AE与平面所成角为，则，所以，故，所以直线AE与平面所成角的正切值为.【小问3详解】由(2)知，设平面的一个法向量为，则，取，则，故，设平面的一个法向量为，则，取，则，故，设二面角为，则由图形可知，所以，所以二面角的余弦值为.29. 已知定义在R上的函数

31、，其中a为实数.(1)当时，解不等式；(2)若函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围；(3)对于，若存在实数，满足，求的取值范围.(结果用a表示)【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】(1)将代入解不等式即可；(2)令，再对a分类讨论；(3)用求根公式将转化为和m，再根据m的取值范围讨论.【小问1详解】，当时，无解；当时，即，满足题设；所以的解集为；【小问2详解】令，则有，如果，则有，当时都能成立，不满足题意；当时，又，a的取值范围是；【小问3详解】对于，令有2个不同的实数解，并且，当时，当时，函数的大致图像如下：当并且时，有，即，令，则，并且， ，令，则 ，显然是关于t的增函数，即， ，是关于t的增函数，并且，即；当 时，同理令， ，y是关于t的增函数，；所以的取值范围是；综上，(1)的解集为，(2)a的取值范围是，(3)的取值范围是.【点睛】本题计算量比较大，容易出错，第三问的关键是根据参数m的范围确定t的范围，运用换元法解决问题.