江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）.docx

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1、江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期12月考高二数学2022.12试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.)1. 已知点，则直线的倾斜角为( )A. 30B. 60C. 30或150D. 60或1202. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为( )A. B. C. D. 3. 在等比数列中，已知，则( )A. 4B. 6C. 8D. 104. 抛物线的准线方程为( )A B. C. D. 5. 已知圆：与轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的面积为( )A. B. C. D. 6. 已知，双曲

2、线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为( )A. 5B. 7C. 9D. 117. 已知数列满足，且，则( )A. B. C. D. 8. 已知为椭圆上不同三点，直线，直线交于点，直线交于点，若，则( )A. 0B. C. D. 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9. 下列说法中，正确的有( )A. 直线在y轴上的截距是2B. 直线经过第一、二、三象限C. 过点，且倾斜角为90的直线方程为D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为10. 过点且与圆相切的直线

3、的方程为( )A. B. C. D. 11. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是( )A. B. 的离心率等于C. 双曲线渐近线的方程为D. 的内切圆半径是12. 已知数列满足，设数列的前项和为，其中，则下列四个结论中，正确的是( )A. 的值为2B. 数列的通项公式为C. 数列为递减数列D 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 曲线在点处的切线的斜率为_14. 已知数列首项为2，且，则_15. 已知直线与直线相交于点M，点N是圆上的动点，则的取值范围为_16. 已知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线

4、l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为_.四、解答题(本大题共6小题，计70分.)17. 已知二次函数，其图象过点，且.(1)求、的值；(2)设函数，求曲线在处的切线方程.18. 已知抛物线，点到抛物线的焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值.19. 已知数列an前n项和Snn2+n(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn20 已知圆.(1)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；(2)若直线l过点且与圆C相交于M，N两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.21. 已知各项均为正数的数列的前项和

5、为，且，.各项均为正数的等比数列满足，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前项和.22. 已知椭圆：的离心率为，直线过椭圆的两个顶点，且原点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点，过点的直线不经过点，且与椭圆交于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和是定值.江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期12月考高二数学2022.12试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.)1. 已知点，则直线的倾斜角为( )A. 30B. 60C. 30或150D. 60或120【答案】B【解析

6、】【分析】由两点间的斜率公式可求其斜率，即可知直线的倾斜角.【详解】由题意可知两点间的斜率，设直线的倾斜角为， 则，所以故选：B2. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平均变化率的定义直接求解.【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：A3. 在等比数列中，已知，则( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】【分析】用基本量表示出来可以求；或者考虑下标和公式.【详解】在等比数列中，解得，则.故选：A.4. 抛物线的准线方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线定义，求出p

7、，则可求准线方程.【详解】抛物线的方程可变为，由，则其准线方程为.故选：D.5. 已知圆：与轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆与轴相切，可得，再结合圆心到轴的距离、半弦长、半径满足勾股定理，建立方程即可求解.【详解】圆：与轴相切，截轴所得的弦长为，圆心为，半径为，半弦长为，圆心到轴的距离为，解得，即圆的面积为：.故选：A.6. 已知，双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为( )A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系

8、，可得答案.【详解】由双曲线，则，即，且，由题意，作图如下：，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.7. 已知数列满足，且，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案.【详解】因为，由递推知，所以，则，有，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以则，所以.故选：C.【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等,其中待定

9、系数法较为常见.一、倒数变换法，适用于(为常数)二、取对数运算三、待定系数法1、构造等差数列法2、构造等比数列法定义构造法。利用等比数列的定义通过变换，构造等比数列的方法.(为常数)型递推式可构造为形如的等比数列.(为常数，下同)型递推式，可构造为形如的等比数列.四、函数构造法对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法.8. 已知为椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，若，则( )A 0B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形面积公式及或得，再应用相交弦长公式列方程，即可求.【

10、详解】由，则， 由图知：当位置变化时，或，故，所以，而直线、斜率存在且不为0，故，所以，即或，当，化简得.当时，显然，无解.所以故选：B.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9. 下列说法中，正确的有( )A. 直线在y轴上的截距是2B. 直线经过第一、二、三象限C. 过点，且倾斜角为90的直线方程为D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为【答案】BC【解析】【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。【详解】对于A:令时，故在y轴上的截距是2，A错.对于B:直线的斜率

11、为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代人直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代人直线得，直线方程为：，故D错.故选：BC10. 过点且与圆相切的直线的方程为( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】设切线为,圆心到切线的距离为,圆的半径为 若的斜率不存在,则直线方程为,圆心到直线的距离,满足题意；若的斜率存在,设直线方程为,即，因为直线与圆相切，所以,解得，所以切线方程为

12、.故选:AC11. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是( )A. B. 的离心率等于C. 双曲线渐近线的方程为D. 的内切圆半径是【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合，得到，即可求得渐近线方程，可判断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径r的表达式与c有关，可判断D项正确.【详解】如图所示，因为分别是，的中点，所以中，所以轴，A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；B选项中，直角中，所以，得：，故B不正确；C选项

13、中，由，即，即，即，所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，故D正确故选：ACD.12. 已知数列满足，设数列的前项和为，其中，则下列四个结论中，正确的是( )A. 的值为2B. 数列的通项公式为C. 数列为递减数列D. 【答案】ACD【解析】【分析】对于A.只需令即可得出的值；对于B.已知数列的前n项和，根据前n项和与数列的关系即可求出的通项公式，继而得到的通项公式；对于C.已知的通项公式，利用递减数列定义列式判断即可；对于D.化简得出数列，裂项相消即可得出.【详解】对于A. ，即，故A正确；对于B. ， ，得，当时，故数列的通

14、项公式为，B错误.对于C.令因为，所以，数列为递减数列，故C正确对于D. 故D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：给出 与 的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 曲线在点处的切线的斜率为_【答案】2【解析】【分析】由导数几何意义即可求.【详解】，所求切线斜率为2.故答案为：214. 已知数列首项为2，且，则_【答案】【解析】【分析】根据递推关系可得等比数列，求通项公式即可.【详解】由可得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，即，故答案为：15

15、. 已知直线与直线相交于点M，点N是圆上的动点，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据题设易知过定点，过定点且，则在以为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆的圆心距，根据动点分别在两圆上知的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案.【详解】由题设，恒过定点，恒过定点， 因为，所以，即垂足为，所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故轨迹方程为，而的圆心为，半径为2，所以两圆圆心的距离为，而、分别在两圆上，故的最大值为，最小值为，所以.故答案为：.16. 已知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为_.【答案】#【解

16、析】【分析】先由得到F为的重心，再利用点差法求得之间的关系，进而求得椭圆的离心率【详解】设，线段PQ的中点为，由，知F为的重心，故，即，解得，又M为线段PQ的中点，则，又P、Q为椭圆C上两点，则，两式相减得，所以，化简得，则解得或(故舍去)则，则离心率.故答案为：四、解答题(本大题共6小题，计70分.)17. 已知二次函数，其图象过点，且.(1)求、的值；(2)设函数，求曲线在处的切线方程.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用导数和已知条件可得出关于实数、的方程组，可求得实数、的值；(2)求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.【小问1详解】解：因为，则，所

17、以，解得.【小问2详解】解：因为的定义域为，且，所以，故切点坐标为，所以，函数在处的切线方程为.18. 已知抛物线，点到抛物线焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)运用抛物线定义即可；(2)联立方程解到韦达定理，再将转化为向量垂直，根据数量积为0列方程，化简，求值即可.【小问1详解】已知抛物线过点，且，则，故抛物线的方程为.【小问2详解】设.联立，消去整理得，则，则.由得或.当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，综上，实数的值为.19. 已知数列an前n项和Snn2+n(1)求数列

18、an的通项公式；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn【答案】(1)an2n，nN* (2)Tn=【解析】【分析】(1)根据已知条件并结合公式即可计算出数列an的通项公式；(2)先根据第(1)题结果计算出数列bn的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn【小问1详解】由题意，当n1时，a1S112+12，当n2时，anSnn2+n(n1)2(n1)2n，当n1时，也满足上式，an2n，nN*【小问2详解】由(1)，可得bn则Tnb1+b2+bn20. 已知圆.(1)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；(2)若直线l过点且与圆C相交于M，N两点，求的面积的最大值，并求此时直

19、线l的方程.【答案】(1)或； (2)最大值为8，或.【解析】【分析】(1)求出圆的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；(2)设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，而的面积，从而可求出的面积的最大值，再由的值可求出，进而可求出直线方程.【小问1详解】圆C的圆心坐标为，半径，因为直线l被圆C截得的弦长为，所以由勾股定理得到圆心C到直线l的距离.当直线l的斜率不存在时，显然不满足；当直线l的斜率存在时，设，即，由圆心C到直线l的距离，得，即，解得或，故直线l的方程为或.【小问2详解】因为直线l过点且与圆C相交，所

20、以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，即，则圆心C到直线l的距离为，又的面积，所以当时，S取最大值8.由，得，解得或，所以直线l的方程为或.21. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.各项均为正数的等比数列满足，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)， (2)【解析】【分析】(1)由，可得，两式相减化简可得，再求出，可得是首项为1，公差为3的等差数列，从而可求出，再由，可求出数列的公比，从而可求出；(2)由(1)可得，然后利用错位相减法可求得.【小问1详解】因为，当时，解得；当时，两式相减，得，即，又各项均为正数，所以，即.因为满足上式，所以是首项为1，公

21、差为3的等差数列.所以.设等比数列的公比为，因为，所以，解得(或舍去)，所以【小问2详解】，所以，两式相减得：所以.22. 已知椭圆：的离心率为，直线过椭圆的两个顶点，且原点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点，过点的直线不经过点，且与椭圆交于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和是定值.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.(2)设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此计算出直线的斜率与直线的斜率之和是定值.【小问1详解】由题意得，所以，不妨设直线的方程为，即，所以原点到直线的距离为，解得，所以，故椭圆的标准方程为.【小问2详解】由题意得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，即，设，联立，整理得：，则，解得，设直线的斜率与直线的斜率分别为，则，故直线的斜率与直线的斜率之和是定值.