浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含解析）.docx

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1、镇海中学2022学年第一学期期中考试高二年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线焦点到准线的距离为A. 4B. 2C. 1D. 2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为( )A. B. C. 1D. 23. 与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是( )A B. C. D. 4. 等差数列中，已知，则n为( )A. 58B. 59C. 60D. 615. 函数的图象大致是( )A. B. C. D. 6. 设，是双曲线E：的两个焦点，双曲线E与以O为圆心为半径的圆在第一象限的交点为，且，则该

2、双曲线的离心率为( )A. B. C. 13D. 7. 已知数列满足：对于任意的m，都有恒成立，且，则的值为( )A. B. C. D. 8. 已知椭圆，两条直线：；：，过椭圆上一点P作，的平行线，分别交，于M，N，若为定值，则( )A. 9B. 4C. 3D. 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知等差数列的公差，当且仅当时，的前项和最大，则( )A. B. C. D. 10. 如图，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有( )

3、A. 有极大值，也有极小值B. 是的极小值点C. 是的极大值点D. 是的极大值点11. 已知抛物线：的焦点为，直线过焦点分别交抛物线于点、，其中位于轴同侧，且经过点，记，的斜率分别为，则下列正确的有( )A. B. 过定点C. D. 的最小值为12. 已知数列满足，；则( )A. 或5B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数，则_.14. 已知双曲线的焦点为，过左焦点交双曲线左支于A、B两点，若则等于_.15. 把自然数按如下规律排列：0，1，1，2，2，2，3，3，3，3，则第2022个数是_.16. 对于首项和公比均为q的等比数列满足：对于任意正

4、整数n都有成立，求正实数q的取值范围为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列的前n项和，是首项为1的等比数列，且.(1)求数列，通项公式；(2)设数列满足，求的前12项的和.18. 已知函数.(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.19. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线垂直x轴于Q，为等腰直角三角形.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l交抛物线C于A，B两点，且F恰为的重心，求直线l的方程.20 已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若对于任意的，且，都有成立，求a的取值范围.

5、21. 已知曲线C:上一点,过作曲线C的切线交x轴于点,垂直于x轴且交曲线于再过作曲线C的切线交x轴于.,依次过作曲线C的切线x轴于垂直于x轴,得到一系列的点,其中.(1)求的坐标和数列的通项公式;(2)设的面积为,为数列的前n项和,是否存在实数M,使得对于一切恒成立,若存在求出M的最小值,不存在说明理由.22. 已知直线是双曲线的渐近线，且双曲线过点，(1)求双曲线标准方程；(2)若双曲线与直线交于，(，)两点，直线又与圆切于点M，且，求直线的方程.镇海中学2022学年第一学期期中考试高二年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

6、要求的.1. 抛物线的焦点到准线的距离为A. 4B. 2C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线方程中的几何意义进行求解即可【详解】抛物线的焦点到准线的距离为：故选：C.【点睛】本题考查对抛物线方程及对的几何意义的理解，属于基础题2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为( )A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义求解.【详解】因为,所以,故选:A.3. 与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的性质即可求解.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设所求双曲线方程为且，

7、双曲线的渐近线方程为，所以，即联立，解得.所以双曲线方程为.故选：B.4. 等差数列中，已知，则n为( )A. 58B. 59C. 60D. 61【答案】C【解析】【分析】由等差数列和与求出公差，写出，再利用，即可求出答案.【详解】由是等差数列，得则即，故选：C.5. 函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性排除选项B，再代入特殊值排除选项A，利用导数分析单调性可排除C,即可得到答案.【详解】函数的定义域为，且，函数为偶函数，排除选项B；，排除选项A；当时，则，所以当时，函数单调递减，排除C.故选：D.6. 设，是双曲线E：的两个焦点，双曲线E与以

8、O为圆心为半径的圆在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 13D. 【答案】D【解析】【分析】因为，结合双曲线定义得，由，得，继而得解【详解】，又由双曲线定义可知，所以，P在以为直径的圆上，则，由，得，故，所以.故选：D7. 已知数列满足：对于任意的m，都有恒成立，且，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由对数的运算性质化简，由等比数列的通项公式求解，【详解】由题意得，即，则，为首项为2，公比为2的等比数列，故，故选：A8. 已知椭圆，两条直线：；：，过椭圆上一点P作，的平行线，分别交，于M，N，若为定值，则( )A. 9B. 4C. 3

9、D. 2【答案】A【解析】【分析】设点，可得出，求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合为定值可求得的值，即可得解.【详解】设点，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，联立，解得，即点，由已知可得，则，所以，为定值，则，可得.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知等差数列的公差，当且仅当时，的前项和最大，则( )A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】由为唯一最大值可知，结合等差数列通项公式可求得的范围，根据等差数列求和公式，结合范围可确定各选项的正

10、误.【详解】当且仅当时，最大，当时，；当时，解得：，；ABD正确；，则当时，；当时，；当时，；C错误.故选：ABD.10. 如图，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有( )A. 有极大值，也有极小值B. 是的极小值点C. 是的极大值点D. 是的极大值点【答案】ABD【解析】【分析】结合导函数的几何意义，在对应区间上判断与的大小关系，进而利用导数判断函数的单调性，从而判断极大值与极小值，进而结合选项即可得出结论.【详解】=，当时，故，在上单调递减，当时，故，在上单调递增，当时，故，在上单调递减，当时，故，在上单调递增，故在处取得极小值，在处取得

11、极大值，处取得极小值.故ABD正确，C错误，故选：ABD.11. 已知抛物线：的焦点为，直线过焦点分别交抛物线于点、，其中位于轴同侧，且经过点，记，的斜率分别为，则下列正确的有( )A. B. 过定点C. D. 的最小值为【答案】AB【解析】【分析】根据直线与抛物线的关系，利用韦达定理求解.【详解】设的直线方程为，联立整理得，由韦达定理得故A正确；设的直线方程为，联立整理得，由韦达定理得设的直线方程为，联立整理得，由韦达定理得由A选项的结论得，同A选项推理过程可知，所以，所以解得，即的直线方程为，所以过定点，故B正确；由以上得，所以，又因为，所以C错误；由以上知，设的直线方程为，联立整理得，由

12、韦达定理得所以，因为，所以当时有最小值为，此时垂直于轴,与AD斜率存在矛盾，所以D错误.故选:AB.12. 已知数列满足，；则( )A. 或5B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】首先赋特殊值，利用，求,判断A；当时，递推公式变形为，与条件等式结合变形为，得数列是常数列，变形得，构造得到数列的通项公式，以及下标为奇数时的通项公式，判断BC；利用并项求和法求，判断D.【详解】当时，因为，得或，当时，令，求得，同理，令时，所以舍去，故A错误；，当时，两式相除得，即，所以数列是常数列，当时，即 (为奇数)当时，即(为偶数)，故B错误，C正确；利用并项求和法，得 ，故D正确.故选：CD三、填空

13、题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数，则_.【答案】【解析】【分析】利用基本初等函数导数公式求导，代入即得解.【详解】由题意，故.故答案为：14. 已知双曲线的焦点为，过左焦点交双曲线左支于A、B两点，若则等于_.【答案】8【解析】【分析】利用双曲线定义即可求得的长度.【详解】双曲线实轴长过左焦点交双曲线左支于A、B两点，则，又,则故答案为：815. 把自然数按如下规律排列：0，1，1，2，2，2，3，3，3，3，则第2022个数是_.【答案】63【解析】【分析】由等差数列的前项和公式求解，【详解】设最后一个出现在第个位置，则，则，第2022个数是63，故答案为：6316

14、. 对于首项和公比均为q的等比数列满足：对于任意正整数n都有成立，求正实数q的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由，得对于任意正整数n恒成立，即对于任意正整数n恒成立，构造函数，借助的单调性求的最大值即可，【详解】等比数列首项和公比均为q,所以，对于任意正整数n都有，则对于任意正整数n恒成立，所以，即，即对于任意正整数n恒成立，令，则，令，则，当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减.，而，所以，所以故答案为：【点睛】关键点点睛：对于任意正整数n恒成立，关键点是两边同时取对数，即对于任意正整数n恒成立，继而转化为函数求最值问题，构造函数，借助的单调性求的最大值即可，四、解答题：本题共6小

15、题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列的前n项和，是首项为1的等比数列，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列满足，求的前12项的和.【答案】(1)； (2)【解析】【分析】(1)利用数列通项与前n项和的关系去求数列的通项公式，解方程求得等比数列的公比q，进而求得数列的通项公式；(2)利用分组求和法去求数列的前12项和即可解决.【小问1详解】数列的前n项和，当时，当时，综上得数列的通项公式，即数列为等差数列.设等比数列的公比为q，则由，可得，则，则数列的通项公式【小问2详解】由(1)可得，则的前12项的和.18. 已知函数.(1)若在上恒成立,求实数的取值范

16、围;(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)对全分离,将在上恒成立,转化为,构造新函数,求导求单调性求最值即可.(2)由在上单调递增,即在上恒成立,求导后全分离转化为,构造新函数,求导求单调性求最值即可.【小问1详解】解:由题知在上恒成立,即,只需即可,即,记,在单调递减,;【小问2详解】由题知,在上单调递增,即在上恒成立,即恒成立,只需恒成立,即,记,在单调递增,只需即可,综上:.19. 已知抛物线C：焦点为F，过点的直线垂直x轴于Q，为等腰直角三角形.(1)求抛物线C方程；(2)若直线l交抛物线C于A，B两点，且F恰为的重心，求直线l的方程

17、.【答案】(1)； (2).【解析】【分析】(1)由题可得，进而即得；(2)设，联立抛物线方程，利用韦达定理结合条件即得.【小问1详解】因为过点的直线垂直x轴于Q，为等腰直角三角形，所以，即，所以抛物线C的方程为；【小问2详解】由题可设直线，由，可得，则，即，设，又，F恰为的重心，即，所以，解得，满足，所以直线l的方程为，即.20. 已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若对于任意的，且，都有成立，求a的取值范围.【答案】(1)时，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； (2).【解析】【分析】(1)求出函数导数，对分类讨论，分析的符号，即可得出函数单调性；(2)对已知式

18、子变形，转化为恒成立，即函数单调递增，利用导数求解即可.【小问1详解】,当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，解得，当，当，所以函数在上单调递增，在上单调递减，综上，时，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】对于任意的，且，都有成立，可得，即恒成立，令，则恒成立，所以在上恒成立，令，则，所以函数在上单调递增，故，所以.21. 已知曲线C:上一点,过作曲线C的切线交x轴于点,垂直于x轴且交曲线于再过作曲线C的切线交x轴于.,依次过作曲线C的切线x轴于垂直于x轴,得到一系列的点,其中.(1)求的坐标和数列的通项公式;(2)设的面积为,为数列的前n项和,是否存在实数M,使

19、得对于一切恒成立,若存在求出M的最小值,不存在说明理由.【答案】(1),; (2)存在,【解析】【分析】(1)根据过切线方程确定坐标,找到规律,设,根据题意找出坐标,进而找到之间的关系,根据递推关系式得到数列的性质,进而得到通项公式;(2)根据(1)的结论得到的坐标,根据三角形面积公式得到,利用乘公比错位相减得到的通项公式,由于对于一切恒成立,转化为即可.【小问1详解】解:由题知,不妨记,故是以1为首项,为公比的等比数列,;【小问2详解】由(1)知,-可得:,对于一切恒成立,即可,的最小值为.【点睛】(1)看到导数数列结合,不要紧张,根据题意递推出关系,找到规律,写出通项即可;(2)根据题意写

20、出面积公式,发现符合乘公比错位相减,求出,根据数列和恒成立之间结合,求出的范围进而求出结果即可.22. 已知直线是双曲线的渐近线，且双曲线过点，(1)求双曲线的标准方程；(2)若双曲线与直线交于，(，)两点，直线又与圆切于点M，且，求直线的方程.【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)通过渐近线设双曲线方程，将已知点代入求解；(2)根据题中所给向量关系，以点坐标的两种表示方法为等式，代入直线与双曲线交点坐标求解.【小问1详解】双曲线的渐近线方程为，即，设双曲线的方程为()双曲线过点，将点代入()，得，即，双曲线的方程为，其标准方程为.【小问2详解】由已知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：，即，直线与圆相切，圆心到直线的距离，且直线与直线垂直，直线的方程为：，由，解得，消去，整理得：，将，代入，得：，整理、化简、得：，两边同时平方，得：，即，解得(舍)或，且，(，)，或，直线的方程为或，即或.【点睛】根据题中向量关系，本题不同于常规问题，难以使用根与系数的关系(韦达定理)对直线与双曲线的交点设而不求，需求出直线与双曲线交点的横坐标，代入进行求解.